MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdir Structured version   Unicode version

Theorem mulgdir 15977
Description: Sum of group multiples, generalized to  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnndir.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnndir.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgnndir.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgdir  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgdir
StepHypRef Expression
1 mulgnndir.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnndir.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 mulgnndir.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3mulgdirlem 15976 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( M  +  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
543expa 1196 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  +  N )  e.  NN0 )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
6 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  G  e.  Grp )
7 simpr2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  ZZ )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
98znegcld 10968 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u N  e.  ZZ )
10 simpr1 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ZZ )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
1211znegcld 10968 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u M  e.  ZZ )
13 simplr3 1040 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  X  e.  B )
1411zcnd 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  M  e.  CC )
158zcnd 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  N  e.  CC )
1614, 15negdid 9943 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u ( M  +  N )  =  ( -u M  +  -u N ) )
1714negcld 9917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u M  e.  CC )
1815negcld 9917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u N  e.  CC )
1917, 18addcomd 9781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  +  -u N
)  =  ( -u N  +  -u M ) )
2016, 19eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u ( M  +  N )  =  ( -u N  +  -u M ) )
21 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  -u ( M  +  N )  e.  NN0 )
2220, 21eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u N  +  -u M
)  e.  NN0 )
231, 2, 3mulgdirlem 15976 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( -u N  e.  ZZ  /\  -u M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  /\  ( -u N  +  -u M )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  +  -u M )  .x.  X
)  =  ( (
-u N  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) ) )
246, 9, 12, 13, 22, 23syl131anc 1241 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  +  -u M )  .x.  X
)  =  ( (
-u N  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) ) )
2520oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u ( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( -u N  +  -u M ) 
.x.  X ) )
2610, 7zaddcld 10970 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
2726adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
28 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
291, 2, 28mulgneg 15970 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )
306, 27, 13, 29syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u ( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )
3125, 30eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  +  -u M )  .x.  X
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )
321, 2, 28mulgneg 15970 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
336, 8, 13, 32syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
341, 2, 28mulgneg 15970 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
356, 11, 13, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
3633, 35oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) ) )
371, 2mulgcl 15969 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
386, 11, 13, 37syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
391, 2mulgcl 15969 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
406, 8, 13, 39syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
411, 3, 28grpinvadd 15926 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( N  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) ) )
426, 38, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( N  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) ) )
4336, 42eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( -u N  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  X ) )  =  ( ( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4424, 31, 433eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( M  +  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( ( M  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )
4544fveq2d 5870 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )  =  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
461, 2mulgcl 15969 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  +  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )
476, 27, 13, 46syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  e.  B )
481, 28grpinvinv 15915 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  +  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 ( ( M  +  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  +  N )  .x.  X ) )
496, 47, 48syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  +  N
)  .x.  X )
) )  =  ( ( M  +  N
)  .x.  X )
)
501, 3grpcl 15873 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  e.  B )
516, 38, 40, 50syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) )  e.  B )
521, 28grpinvinv 15915 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  .x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) )  e.  B )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
536, 51, 52syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( N  .x.  X ) ) )
5445, 49, 533eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  -u ( M  +  N )  e. 
NN0 )  ->  (
( M  +  N
)  .x.  X )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( N  .x.  X ) ) )
55 elznn0 10879 . . . 4  |-  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  <->  ( ( M  +  N )  e.  RR  /\  ( ( M  +  N )  e.  NN0  \/  -u ( M  +  N )  e.  NN0 ) ) )
5655simprbi 464 . . 3  |-  ( ( M  +  N )  e.  ZZ  ->  (
( M  +  N
)  e.  NN0  \/  -u ( M  +  N
)  e.  NN0 )
)
5726, 56syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  e.  NN0  \/  -u ( M  +  N )  e.  NN0 ) )
585, 54, 57mpjaodan 784 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  +  N )  .x.  X )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( N  .x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491    + caddc 9495   -ucneg 9806   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   Grpcgrp 15727   invgcminusg 15728  .gcmg 15731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870
This theorem is referenced by:  mulgp1  15978  mulgneg2  15979  mulgsubdir  15983  cycsubgcl  16032  odbezout  16386  cygabl  16696  ablfacrp  16919  pgpfac1lem2  16928  pgpfac1lem3  16930  mulgghm2  18326  mulgghm2OLD  18329  zlmlmod  18355  cygznlem3  18403  dchrptlem2  23296  archirngz  27423  archiabllem1a  27425  archiabllem1  27427  archiabllem2c  27429
  Copyright terms: Public domain W3C validator