Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgdi Structured version   Unicode version

Theorem mulgdi 16628
 Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b
mulgdi.m .g
mulgdi.p
Assertion
Ref Expression
mulgdi

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 16597 . . . 4 CMnd
21ad2antrr 725 . . 3 CMnd
3 simpr 461 . . 3
4 simplr2 1039 . . 3
5 simplr3 1040 . . 3
6 mulgdi.b . . . 4
7 mulgdi.m . . . 4 .g
8 mulgdi.p . . . 4
96, 7, 8mulgnn0di 16627 . . 3 CMnd
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1230 . 2
111ad2antrr 725 . . . . . . 7 CMnd
12 simpr 461 . . . . . . 7
13 simpr2 1003 . . . . . . . 8
1413adantr 465 . . . . . . 7
15 simpr3 1004 . . . . . . . 8
1615adantr 465 . . . . . . 7
176, 7, 8mulgnn0di 16627 . . . . . . 7 CMnd
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1230 . . . . . 6
19 ablgrp 16596 . . . . . . . . 9
2019adantr 465 . . . . . . . 8
21 simpr1 1002 . . . . . . . 8
226, 8grpcl 15861 . . . . . . . . 9
2320, 13, 15, 22syl3anc 1228 . . . . . . . 8
24 eqid 2467 . . . . . . . . 9
256, 7, 24mulgneg 15957 . . . . . . . 8
2620, 21, 23, 25syl3anc 1228 . . . . . . 7
2726adantr 465 . . . . . 6
286, 7, 24mulgneg 15957 . . . . . . . . 9
2920, 21, 13, 28syl3anc 1228 . . . . . . . 8
306, 7, 24mulgneg 15957 . . . . . . . . 9
3120, 21, 15, 30syl3anc 1228 . . . . . . . 8
3229, 31oveq12d 6300 . . . . . . 7
3332adantr 465 . . . . . 6
3418, 27, 333eqtr3d 2516 . . . . 5
35 simpl 457 . . . . . . 7
366, 7mulgcl 15956 . . . . . . . 8
3720, 21, 13, 36syl3anc 1228 . . . . . . 7
386, 7mulgcl 15956 . . . . . . . 8
3920, 21, 15, 38syl3anc 1228 . . . . . . 7
406, 8, 24ablinvadd 16613 . . . . . . 7
4135, 37, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . 6
4241adantr 465 . . . . 5
4334, 42eqtr4d 2511 . . . 4
4443fveq2d 5868 . . 3
4519ad2antrr 725 . . . 4
466, 7mulgcl 15956 . . . . . 6
4720, 21, 23, 46syl3anc 1228 . . . . 5
4847adantr 465 . . . 4
496, 24grpinvinv 15903 . . . 4
5045, 48, 49syl2anc 661 . . 3
516, 8grpcl 15861 . . . . . 6
5220, 37, 39, 51syl3anc 1228 . . . . 5
5352adantr 465 . . . 4
546, 24grpinvinv 15903 . . . 4
5545, 53, 54syl2anc 661 . . 3
5644, 50, 553eqtr3d 2516 . 2
57 elznn0 10875 . . . 4
5857simprbi 464 . . 3
5921, 58syl 16 . 2
6010, 56, 59mpjaodan 784 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5586  (class class class)co 6282  cr 9487  cneg 9802  cn0 10791  cz 10860  cbs 14483   cplusg 14548  cgrp 15720  cminusg 15721  .gcmg 15724  CMndccmn 16591  cabl 16592 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-mulg 15858  df-cmn 16593  df-abl 16594 This theorem is referenced by:  mulgghm  16630  mulgsubdi  16631  odadd1  16644  odadd2  16645  oddvdssubg  16651  pgpfac1lem3a  16914  pgpfac1lem3  16915  zlmlmod  18324
 Copyright terms: Public domain W3C validator