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Theorem mulgdi 16628
Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgdi.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgdi.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgdi  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 16597 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
21ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  G  e. CMnd )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
4 simplr2 1039 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  X  e.  B )
5 simplr3 1040 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B )
6 mulgdi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 mulgdi.m . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
8 mulgdi.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
96, 7, 8mulgnn0di 16627 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1230 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
111ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  G  e. CMnd )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  -u M  e.  NN0 )
13 simpr2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  X  e.  B )
15 simpr3 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  B )
176, 7, 8mulgnn0di 16627 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y ) ) )
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y
) ) )
19 ablgrp 16596 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simpr1 1002 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  M  e.  ZZ )
226, 8grpcl 15861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
2320, 13, 15, 22syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  B )
24 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
256, 7, 24mulgneg 15957 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2620, 21, 23, 25syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
286, 7, 24mulgneg 15957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
2920, 21, 13, 28syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  X
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) ) )
306, 7, 24mulgneg 15957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  Y )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) )
3120, 21, 15, 30syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  Y
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  Y ) ) )
3229, 31oveq12d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) 
.+  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) ) )
3332adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( -u M  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  Y ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
3418, 27, 333eqtr3d 2516 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
35 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Abel )
366, 7mulgcl 15956 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
3720, 21, 13, 36syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  X
)  e.  B )
386, 7mulgcl 15956 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  .x.  Y )  e.  B )
3920, 21, 15, 38syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  Y
)  e.  B )
406, 8, 24ablinvadd 16613 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( M 
.x.  Y )  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4135, 37, 39, 40syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4241adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4334, 42eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4443fveq2d 5868 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( ( invg `  G
) `  ( ( invg `  G ) `
 ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) ) )
4519ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  G  e.  Grp )
466, 7mulgcl 15956 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
4720, 21, 23, 46syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
4847adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
496, 24grpinvinv 15903 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( X  .+  Y ) ) )
5045, 48, 49syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( X  .+  Y ) ) )
516, 8grpcl 15861 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( M  .x.  Y )  e.  B )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
5220, 37, 39, 51syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
5352adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
546, 24grpinvinv 15903 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( M  .x.  Y ) ) )
5545, 53, 54syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( M  .x.  Y ) ) )
5644, 50, 553eqtr3d 2516 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
57 elznn0 10875 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
5857simprbi 464 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
5921, 58syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
6010, 56, 59mpjaodan 784 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   RRcr 9487   -ucneg 9802   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   Grpcgrp 15720   invgcminusg 15721  .gcmg 15724  CMndccmn 16591   Abelcabl 16592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-mulg 15858  df-cmn 16593  df-abl 16594
This theorem is referenced by:  mulgghm  16630  mulgsubdi  16631  odadd1  16644  odadd2  16645  oddvdssubg  16651  pgpfac1lem3a  16914  pgpfac1lem3  16915  zlmlmod  18324
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