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Theorem mulgdi 16312
Description: Group multiple of a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgdi.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgdi.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
mulgdi.p  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
mulgdi  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgdi
StepHypRef Expression
1 ablcmn 16281 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. CMnd
)
21ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  G  e. CMnd )
3 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
4 simplr2 1031 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  X  e.  B )
5 simplr3 1032 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B )
6 mulgdi.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 mulgdi.m . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
8 mulgdi.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  G )
96, 7, 8mulgnn0di 16311 . . 3  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
102, 3, 4, 5, 9syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  M  e.  NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
111ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  G  e. CMnd )
12 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  -u M  e.  NN0 )
13 simpr2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
1413adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  X  e.  B )
15 simpr3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  Y  e.  B )
176, 7, 8mulgnn0di 16311 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e. CMnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( X  .+  Y
) )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y ) ) )
1811, 12, 14, 16, 17syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y
) ) )
19 ablgrp 16280 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
2019adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Grp )
21 simpr1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  M  e.  ZZ )
226, 8grpcl 15549 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
2320, 13, 15, 22syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X  .+  Y
)  e.  B )
24 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
256, 7, 24mulgneg 15643 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2620, 21, 23, 25syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
2726adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( -u M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )
286, 7, 24mulgneg 15643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) ) )
2920, 21, 13, 28syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  X
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) ) )
306, 7, 24mulgneg 15643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  Y )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) )
3120, 21, 15, 30syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( -u M  .x.  Y
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  Y ) ) )
3229, 31oveq12d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( -u M  .x.  X )  .+  ( -u M  .x.  Y ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  X ) ) 
.+  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  Y ) ) ) )
3332adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( -u M  .x.  X
)  .+  ( -u M  .x.  Y ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
3418, 27, 333eqtr3d 2481 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
35 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  G  e.  Abel )
366, 7mulgcl 15642 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( M  .x.  X )  e.  B )
3720, 21, 13, 36syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  X
)  e.  B )
386, 7mulgcl 15642 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  Y  e.  B )  ->  ( M  .x.  Y )  e.  B )
3920, 21, 15, 38syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  Y
)  e.  B )
406, 8, 24ablinvadd 16297 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( M 
.x.  Y )  e.  B )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4135, 37, 39, 40syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4241adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  ( M  .x.  X ) )  .+  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4334, 42eqtr4d 2476 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )
4443fveq2d 5693 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( ( invg `  G
) `  ( ( invg `  G ) `
 ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) ) )
4519ad2antrr 725 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  G  e.  Grp )
466, 7mulgcl 15642 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( X  .+  Y )  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
4720, 21, 23, 46syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
4847adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  e.  B )
496, 24grpinvinv 15591 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  ( X 
.+  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( X  .+  Y ) ) )
5045, 48, 49syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( X  .+  Y ) ) )
516, 8grpcl 15549 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  X )  e.  B  /\  ( M  .x.  Y )  e.  B )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
5220, 37, 39, 51syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
5352adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )
546, 24grpinvinv 15591 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) )  e.  B )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( M  .x.  Y ) ) )
5545, 53, 54syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  (
( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  .x.  X
)  .+  ( M  .x.  Y ) ) ) )  =  ( ( M  .x.  X ) 
.+  ( M  .x.  Y ) ) )
5644, 50, 553eqtr3d 2481 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  /\  -u M  e. 
NN0 )  ->  ( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M  .x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
57 elznn0 10659 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
5857simprbi 464 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
5921, 58syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
6010, 56, 59mpjaodan 784 1  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( M  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( M  .x.  ( X  .+  Y ) )  =  ( ( M 
.x.  X )  .+  ( M  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   RRcr 9279   -ucneg 9594   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   Grpcgrp 15408   invgcminusg 15409  .gcmg 15412  CMndccmn 16275   Abelcabel 16276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-seq 11805  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-mulg 15546  df-cmn 16277  df-abl 16278
This theorem is referenced by:  mulgghm  16314  mulgsubdi  16315  odadd1  16328  odadd2  16329  oddvdssubg  16335  pgpfac1lem3a  16575  pgpfac1lem3  16576  zlmlmod  17952
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