MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcl Structured version   Unicode version

Theorem mulgcl 16726
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )

Proof of Theorem mulgcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 eqid 2429 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 id 23 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
5 ssid 3489 . . 3  |-  B  C_  B
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  C_  B )
71, 3grpcl 16630 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
8 eqid 2429 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
91, 8grpidcl 16645 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
10 eqid 2429 . 2  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
111, 10grpinvcl 16662 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11mulgsubcl 16723 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    C_ wss 3442   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   ZZcz 10937   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   invgcminusg 16621  .gcmg 16623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-seq 12211  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-mulg 16627
This theorem is referenced by:  mulgneg  16727  mulgdirlem  16733  mulgdir  16734  mulgass  16739  mulgsubdir  16740  cycsubgcl  16794  ghmmulg  16846  odmod  17137  odcong  17140  odmulgid  17143  odmulg  17145  odmulgeq  17146  odbezout  17147  odf1  17151  dfod2  17153  odf1o2  17160  gexdvds  17171  mulgdi  17402  mulgghm  17404  mulgsubdi  17405  odadd2  17422  gexexlem  17425  iscyggen2  17451  cyggenod  17454  iscyg3  17456  ablfacrp  17634  pgpfac1lem2  17643  pgpfac1lem3a  17644  pgpfac1lem3  17645  pgpfac1lem4  17646  mulgass2  17764  mulgghm2  18999  mulgrhm  19000  zlmlmod  19025  cygznlem2a  19069  zrhpsgnelbas  19093  isarchi3  28342  archirng  28343  archirngz  28344  archiabllem1a  28346  archiabllem2c  28350  isarchiofld  28419
  Copyright terms: Public domain W3C validator