MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcl Structured version   Unicode version

Theorem mulgcl 15637
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )

Proof of Theorem mulgcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 eqid 2441 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 id 22 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
5 ssid 3372 . . 3  |-  B  C_  B
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  C_  B )
71, 3grpcl 15544 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
8 eqid 2441 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
91, 8grpidcl 15559 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
10 eqid 2441 . 2  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
111, 10grpinvcl 15576 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11mulgsubcl 15634 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ZZcz 10642   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407  .gcmg 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-mulg 15541
This theorem is referenced by:  mulgneg  15638  mulgdirlem  15644  mulgdir  15645  mulgass  15650  mulgsubdir  15651  cycsubgcl  15700  ghmmulg  15752  odmod  16042  odcong  16045  odmulgid  16048  odmulg  16050  odmulgeq  16051  odbezout  16052  odf1  16056  dfod2  16058  odf1o2  16065  gexdvds  16076  mulgdi  16307  mulgghm  16309  mulgsubdi  16310  odadd2  16324  gexexlem  16327  iscyggen2  16351  cyggenod  16354  iscyg3  16356  ablfacrp  16557  pgpfac1lem2  16566  pgpfac1lem3a  16567  pgpfac1lem3  16568  pgpfac1lem4  16569  mulgass2  16682  mulgghm2  17825  mulgrhm  17826  mulgghm2OLD  17828  mulgrhmOLD  17829  zlmlmod  17854  cygznlem2a  17900  zrhpsgnelbas  17924  isarchi3  26121  archirng  26122  archirngz  26123  archiabllem1a  26125  archiabllem2c  26129  isarchiofld  26204
  Copyright terms: Public domain W3C validator