MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcl Structured version   Unicode version

Theorem mulgcl 15969
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )

Proof of Theorem mulgcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 eqid 2467 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 id 22 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
5 ssid 3523 . . 3  |-  B  C_  B
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  C_  B )
71, 3grpcl 15873 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
8 eqid 2467 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
91, 8grpidcl 15888 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
10 eqid 2467 . 2  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
111, 10grpinvcl 15905 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11mulgsubcl 15966 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ZZcz 10864   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695   Grpcgrp 15727   invgcminusg 15728  .gcmg 15731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-mulg 15870
This theorem is referenced by:  mulgneg  15970  mulgdirlem  15976  mulgdir  15977  mulgass  15982  mulgsubdir  15983  cycsubgcl  16032  ghmmulg  16084  odmod  16376  odcong  16379  odmulgid  16382  odmulg  16384  odmulgeq  16385  odbezout  16386  odf1  16390  dfod2  16392  odf1o2  16399  gexdvds  16410  mulgdi  16641  mulgghm  16643  mulgsubdi  16644  odadd2  16658  gexexlem  16661  iscyggen2  16687  cyggenod  16690  iscyg3  16692  ablfacrp  16919  pgpfac1lem2  16928  pgpfac1lem3a  16929  pgpfac1lem3  16930  pgpfac1lem4  16931  mulgass2  17048  mulgghm2  18326  mulgrhm  18327  mulgghm2OLD  18329  mulgrhmOLD  18330  zlmlmod  18355  cygznlem2a  18401  zrhpsgnelbas  18425  isarchi3  27421  archirng  27422  archirngz  27423  archiabllem1a  27425  archiabllem2c  27429  isarchiofld  27498
  Copyright terms: Public domain W3C validator