MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgcl Structured version   Unicode version

Theorem mulgcl 15644
Description: Closure of the group multiple (exponentiation) operation. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgnncl.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgnncl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )

Proof of Theorem mulgcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulgnncl.b . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 mulgnncl.t . 2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
3 eqid 2443 . 2  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 id 22 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
5 ssid 3375 . . 3  |-  B  C_  B
65a1i 11 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  C_  B )
71, 3grpcl 15551 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( x ( +g  `  G ) y )  e.  B )
8 eqid 2443 . 2  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
91, 8grpidcl 15566 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
10 eqid 2443 . 2  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
111, 10grpinvcl 15583 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  x
)  e.  B )
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11mulgsubcl 15641 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3328   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   ZZcz 10646   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411  .gcmg 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-mulg 15548
This theorem is referenced by:  mulgneg  15645  mulgdirlem  15651  mulgdir  15652  mulgass  15657  mulgsubdir  15658  cycsubgcl  15707  ghmmulg  15759  odmod  16049  odcong  16052  odmulgid  16055  odmulg  16057  odmulgeq  16058  odbezout  16059  odf1  16063  dfod2  16065  odf1o2  16072  gexdvds  16083  mulgdi  16314  mulgghm  16316  mulgsubdi  16317  odadd2  16331  gexexlem  16334  iscyggen2  16358  cyggenod  16361  iscyg3  16363  ablfacrp  16567  pgpfac1lem2  16576  pgpfac1lem3a  16577  pgpfac1lem3  16578  pgpfac1lem4  16579  mulgass2  16692  mulgghm2  17925  mulgrhm  17926  mulgghm2OLD  17928  mulgrhmOLD  17929  zlmlmod  17954  cygznlem2a  18000  zrhpsgnelbas  18024  isarchi3  26204  archirng  26205  archirngz  26206  archiabllem1a  26208  archiabllem2c  26212  isarchiofld  26285
  Copyright terms: Public domain W3C validator