Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulgass3 Structured version   Unicode version

Theorem mulgass3 17154
 Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass3.b
mulgass3.m .g
mulgass3.t
Assertion
Ref Expression
mulgass3

Proof of Theorem mulgass3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . . 6 oppr oppr
21opprring 17148 . . . . 5 oppr
32adantr 465 . . . 4 oppr
4 simpr1 1001 . . . 4
5 simpr3 1003 . . . 4
6 simpr2 1002 . . . 4
7 mulgass3.b . . . . . 6
81, 7opprbas 17146 . . . . 5 oppr
9 eqid 2441 . . . . 5 .goppr .goppr
10 eqid 2441 . . . . 5 oppr oppr
118, 9, 10mulgass2 17115 . . . 4 oppr .gopproppr .gopproppr
123, 4, 5, 6, 11syl13anc 1229 . . 3 .gopproppr .gopproppr
13 mulgass3.t . . . 4
147, 13, 1, 10opprmul 17143 . . 3 .gopproppr .goppr
157, 13, 1, 10opprmul 17143 . . . 4 oppr
1615oveq2i 6288 . . 3 .gopproppr .goppr
1712, 14, 163eqtr3g 2505 . 2 .goppr .goppr
18 mulgass3.m . . . . 5 .g
197a1i 11 . . . . 5
208a1i 11 . . . . 5 oppr
21 ssv 3506 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 ovex 6305 . . . . . 6
2423a1i 11 . . . . 5
25 eqid 2441 . . . . . . . 8
261, 25oppradd 17147 . . . . . . 7 oppr
2726oveqi 6290 . . . . . 6 oppr
2827a1i 11 . . . . 5 oppr
2918, 9, 19, 20, 22, 24, 28mulgpropd 16044 . . . 4 .goppr
3029oveqd 6294 . . 3 .goppr
3130oveq2d 6293 . 2 .goppr
3229oveqd 6294 . 2 .goppr
3317, 31, 323eqtr4d 2492 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 972   wceq 1381   wcel 1802  cvv 3093   wss 3458  cfv 5574  (class class class)co 6277  cz 10865  cbs 14504   cplusg 14569  cmulr 14570  .gcmg 15925  crg 17066  opprcoppr 17139 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6953  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-fz 11677  df-seq 12082  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-0g 14711  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-mulg 15929  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-oppr 17140 This theorem is referenced by:  zlmassa  18428
 Copyright terms: Public domain W3C validator