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Theorem mulgass2 17028
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mulgass2.m  |-  .x.  =  (.g
`  R )
mulgass2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mulgass2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
21oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .X.  Y ) )
3 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
42, 3eqeq12d 2484 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
0  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
5 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( y  .x.  X ) )
65oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )
7 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
86, 7eqeq12d 2484 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
9 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  X ) )
109oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y ) )
11 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1210, 11eqeq12d 2484 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
13 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( -u y  .x.  X ) )
1413oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y ) )
15 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1614, 15eqeq12d 2484 . . . . 5  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( -u y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
17 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
1817oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( N 
.x.  X )  .X.  Y ) )
19 oveq1 6284 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
2018, 19eqeq12d 2484 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( N  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
21 mulgass2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  R )
23 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2421, 22, 23rnglz 17017 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
25243adant3 1011 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
26 simp3 993 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  R )
2821, 23, 27mulg0 15942 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
2926, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
3029oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0g
`  R )  .X.  Y ) )
3121, 22rngcl 16994 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
32313com23 1197 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
3321, 23, 27mulg0 15942 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .X.  Y )  e.  B  ->  ( 0 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3432, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
0  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3525, 30, 343eqtr4d 2513 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y
) ) )
36 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
37 simpl1 994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
38 rnggrp 16986 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Grp )
40 nn0z 10878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ZZ )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  y  e.  ZZ )
4226adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  X  e.  B
)
43 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4421, 27, 43mulgp1 15963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y 
.x.  X ) ( +g  `  R ) X ) )
4539, 41, 42, 44syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X ) )
4645oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R ) X ) 
.X.  Y ) )
47383ad2ant1 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
4847adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Grp )
4921, 27mulgcl 15954 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
y  .x.  X )  e.  B )
5048, 41, 42, 49syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
51 simpl2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B
)
5221, 43, 22rngdir 17000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  .x.  X
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5446, 53eqtrd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5532adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
5621, 27, 43mulgp1 15963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
5739, 41, 55, 56syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5854, 57eqeq12d 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) )  <-> 
( ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) ( +g  `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) ) )
5936, 58syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
6059ex 434 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  -> 
( ( ( y  +  1 )  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( ( y  +  1 ) 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
61 fveq2 5859 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
6247adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  R  e.  Grp )
63 nnz 10877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
6526adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  X  e.  B
)
66 eqid 2462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
6721, 27, 66mulgneg 15955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( y  .x.  X ) ) )
6862, 64, 65, 67syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  X )
) )
6968oveq1d 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  X )
)  .X.  Y )
)
70 simpl1 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
7162, 64, 65, 49syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
72 simpl2 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  Y  e.  B
)
7321, 22, 66, 70, 71, 72rngmneg1 17023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  ( y  .x.  X ) )  .X.  Y )  =  ( ( invg `  R ) `  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
7469, 73eqtrd 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( invg `  R ) `  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
7532adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
7621, 27, 66mulgneg 15955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7762, 64, 75, 76syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7874, 77eqeq12d 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( (
-u y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y
) )  <->  ( ( invg `  R ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
7961, 78syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  (
-u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
8079ex 434 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  -> 
( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 10953 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
82813exp 1190 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) ) )
8382com24 87 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) ) )
84833imp2 1206 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486   -ucneg 9797   NNcn 10527   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   Basecbs 14481   +g cplusg 14546   .rcmulr 14547   0gc0g 14686   Grpcgrp 15718   invgcminusg 15719  .gcmg 15722   Ringcrg 16981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-seq 12066  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-plusg 14559  df-0g 14688  df-mnd 15723  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-mulg 15856  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983
This theorem is referenced by:  mulgass3  17065  mulgrhm  18294  mulgrhmOLD  18297  zlmassa  18323  isarchiofld  27458
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