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Theorem mulgass2 17457
Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass2.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mulgass2.m  |-  .x.  =  (.g
`  R )
mulgass2.t  |-  .X.  =  ( .r `  R )
Assertion
Ref Expression
mulgass2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )

Proof of Theorem mulgass2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  X )  =  ( 0  .x. 
X ) )
21oveq1d 6247 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0 
.x.  X )  .X.  Y ) )
3 oveq1 6239 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
42, 3eqeq12d 2422 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
0  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
5 oveq1 6239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( y  .x.  X ) )
65oveq1d 6247 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )
7 oveq1 6239 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
86, 7eqeq12d 2422 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
9 oveq1 6239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  X )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  X ) )
109oveq1d 6247 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y ) )
11 oveq1 6239 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1210, 11eqeq12d 2422 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( (
( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
13 oveq1 6239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  X )  =  ( -u y  .x.  X ) )
1413oveq1d 6247 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y ) )
15 oveq1 6239 . . . . . 6  |-  ( x  =  -u y  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
1614, 15eqeq12d 2422 . . . . 5  |-  ( x  =  -u y  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( -u y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
17 oveq1 6239 . . . . . . 7  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  X )  =  ( N  .x.  X ) )
1817oveq1d 6247 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
( x  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( N 
.x.  X )  .X.  Y ) )
19 oveq1 6239 . . . . . 6  |-  ( x  =  N  ->  (
x  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) )
2018, 19eqeq12d 2422 . . . . 5  |-  ( x  =  N  ->  (
( ( x  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( x 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  <->  ( ( N  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
21 mulgass2.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
22 mulgass2.t . . . . . . . 8  |-  .X.  =  ( .r `  R )
23 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
2421, 22, 23ringlz 17445 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
25243adant3 1015 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0g `  R
)  .X.  Y )  =  ( 0g `  R ) )
26 simp3 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
27 mulgass2.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  (.g
`  R )
2821, 23, 27mulg0 16361 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
2926, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
0  .x.  X )  =  ( 0g `  R ) )
3029oveq1d 6247 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( ( 0g
`  R )  .X.  Y ) )
3121, 22ringcl 17422 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
32313com23 1201 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B )
3321, 23, 27mulg0 16361 . . . . . . 7  |-  ( ( X  .X.  Y )  e.  B  ->  ( 0 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3432, 33syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
0  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( 0g `  R
) )
3525, 30, 343eqtr4d 2451 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( 0  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( 0  .x.  ( X  .X.  Y
) ) )
36 oveq1 6239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
37 simpl1 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Ring )
38 ringgrp 17413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Grp )
40 nn0z 10846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN0  ->  y  e.  ZZ )
4140adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  y  e.  ZZ )
4226adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  X  e.  B
)
43 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4421, 27, 43mulgp1 16382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y 
.x.  X ) ( +g  `  R ) X ) )
4539, 41, 42, 44syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  X )  =  ( ( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X ) )
4645oveq1d 6247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R ) X ) 
.X.  Y ) )
47383ad2ant1 1016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  R  e.  Grp )
4847adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  R  e.  Grp )
4921, 27mulgcl 16373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  (
y  .x.  X )  e.  B )
5048, 41, 42, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
51 simpl2 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  Y  e.  B
)
5221, 43, 22ringdir 17428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  .x.  X
)  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( (
( y  .x.  X
) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5337, 50, 42, 51, 52syl13anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) ( +g  `  R
) X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5446, 53eqtrd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5532adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
5621, 27, 43mulgp1 16382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  (
( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) )
5739, 41, 55, 56syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) )  =  ( ( y  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ( +g  `  R
) ( X  .X.  Y ) ) )
5854, 57eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( y  +  1 )  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X  .X.  Y ) )  <-> 
( ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) ( +g  `  R ) ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ( +g  `  R ) ( X  .X.  Y
) ) ) )
5936, 58syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN0 )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( ( y  +  1 ) 
.x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( y  +  1 )  .x.  ( X 
.X.  Y ) ) ) )
6059ex 432 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  NN0  ->  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  -> 
( ( ( y  +  1 )  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( ( y  +  1 ) 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
61 fveq2 5803 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( invg `  R ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
6247adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  R  e.  Grp )
63 nnz 10845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
6463adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
6526adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  X  e.  B
)
66 eqid 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  R )  =  ( invg `  R )
6721, 27, 66mulgneg 16374 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( y  .x.  X ) ) )
6862, 64, 65, 67syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  X )  =  ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  X )
) )
6968oveq1d 6247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  X )
)  .X.  Y )
)
70 simpl1 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  R  e.  Ring )
7162, 64, 65, 49syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  .x.  X )  e.  B
)
72 simpl2 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  Y  e.  B
)
7321, 22, 66, 70, 71, 72ringmneg1 17452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( invg `  R
) `  ( y  .x.  X ) )  .X.  Y )  =  ( ( invg `  R ) `  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
7469, 73eqtrd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  ( ( invg `  R ) `  (
( y  .x.  X
)  .X.  Y )
) )
7532adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( X  .X.  Y )  e.  B
)
7621, 27, 66mulgneg 16374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  y  e.  ZZ  /\  ( X  .X.  Y )  e.  B )  ->  ( -u y  .x.  ( X 
.X.  Y ) )  =  ( ( invg `  R ) `
 ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7762, 64, 75, 76syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y
) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
7874, 77eqeq12d 2422 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( (
-u y  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y
) )  <->  ( ( invg `  R ) `
 ( ( y 
.x.  X )  .X.  Y ) )  =  ( ( invg `  R ) `  (
y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
7961, 78syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( ( y  .x.  X ) 
.X.  Y )  =  ( y  .x.  ( X  .X.  Y ) )  ->  ( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y )  =  (
-u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
8079ex 432 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
y  e.  NN  ->  ( ( ( y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( y 
.x.  ( X  .X.  Y ) )  -> 
( ( -u y  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( -u y  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) )
814, 8, 12, 16, 20, 35, 60, 80zindd 10922 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) )
82813exp 1194 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( Y  e.  B  ->  ( X  e.  B  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( N  .x.  X
)  .X.  Y )  =  ( N  .x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) ) )
8382com24 87 . 2  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( X  e.  B  ->  ( Y  e.  B  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) ) ) ) )
84833imp2 1210 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( N  e.  ZZ  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( N  .x.  X )  .X.  Y
)  =  ( N 
.x.  ( X  .X.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443   -ucneg 9760   NNcn 10494   NN0cn0 10754   ZZcz 10823   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   .rcmulr 14800   0gc0g 14944   Grpcgrp 16267   invgcminusg 16268  .gcmg 16270   Ringcrg 17408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-fz 11642  df-seq 12060  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-mulg 16274  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410
This theorem is referenced by:  mulgass3  17496  mulgrhm  18725  zlmassa  18751  isarchiofld  28141
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