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Theorem mulgass 15662
Description: Product of group multiples, generalized to  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgass.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgass  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem mulgass
StepHypRef Expression
1 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  ZZ )
2 elznn0 10666 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  <->  ( M  e.  RR  /\  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) ) )
32simprbi 464 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 ) )
5 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  ZZ )
6 elznn0 10666 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) ) )
76simprbi 464 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
85, 7syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  e.  NN0  \/  -u N  e.  NN0 ) )
9 grpmnd 15555 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
109ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
11 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  M  e.  NN0 )
12 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
13 simplr3 1032 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  X  e.  B )
14 mulgass.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
15 mulgass.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1614, 15mulgnn0ass 15661 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
1710, 11, 12, 13, 16syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
1817ex 434 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
191zcnd 10753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  M  e.  CC )
205zcnd 10753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  N  e.  CC )
2119, 20mulneg1d 9802 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  x.  N )  =  -u ( M  x.  N
) )
2221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( -u M  x.  N
)  =  -u ( M  x.  N )
)
2322oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
249ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
25 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  -u M  e.  NN0 )
26 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  N  e.  NN0 )
27 simpr3 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  X  e.  B )
2827adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  ->  X  e.  B )
2914, 15mulgnn0ass 15661 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  x.  N ) 
.x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
3024, 25, 26, 28, 29syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
3123, 30eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( -u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
32 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( (
-u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) ) )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  G  e.  Grp )
341, 5zmulcld 10758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
35 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
3614, 15, 35mulgneg 15650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) )
3733, 34, 27, 36syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) )
3837fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( -u ( M  x.  N )  .x.  X ) )  =  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  (
( M  x.  N
)  .x.  X )
) ) )
3914, 15mulgcl 15649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  x.  N
)  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  e.  B )
4033, 34, 27, 39syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  e.  B
)
4114, 35grpinvinv 15598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 ( ( M  x.  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
4240, 41syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 ( ( M  x.  N )  .x.  X ) ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
4338, 42eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( -u ( M  x.  N )  .x.  X ) )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X
) )
4414, 15mulgcl 15649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( N  .x.  X )  e.  B )
4533, 5, 27, 44syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( N  .x.  X )  e.  B
)
4614, 15, 35mulgneg 15650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
4733, 1, 45, 46syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  =  ( ( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
4847fveq2d 5700 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) ) )
4914, 15mulgcl 15649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) )  e.  B )
5033, 1, 45, 49syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( N  .x.  X
) )  e.  B
)
5114, 35grpinvinv 15598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  e.  B )  -> 
( ( invg `  G ) `  (
( invg `  G ) `  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
5250, 51syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( ( invg `  G ) `
 ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
5348, 52eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
5443, 53eqeq12d 2457 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) ) )  <->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) ) )
5532, 54syl5ib 219 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
5655imp 429 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u ( M  x.  N )  .x.  X )  =  (
-u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
5731, 56syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
5857ex 434 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
599ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
60 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  NN0 )
61 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
6227adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
6314, 15mulgnn0ass 15661 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( ( M  x.  -u N ) 
.x.  X )  =  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
6459, 60, 61, 62, 63syl13anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  -u N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
6519, 20mulneg2d 9803 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  x.  -u N )  = 
-u ( M  x.  N ) )
6665adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  x.  -u N
)  =  -u ( M  x.  N )
)
6766oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  -u N )  .x.  X
)  =  ( -u ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
6814, 15, 35mulgneg 15650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `
 ( N  .x.  X ) ) )
6933, 5, 27, 68syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) )
7069oveq2d 6112 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M  .x.  (
( invg `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7114, 15, 35mulgneg2 15659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( N  .x.  X )  e.  B )  ->  ( -u M  .x.  ( N 
.x.  X ) )  =  ( M  .x.  ( ( invg `  G ) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7233, 1, 45, 71syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X
) )  =  ( M  .x.  ( ( invg `  G
) `  ( N  .x.  X ) ) ) )
7370, 72eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7473adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7564, 67, 743eqtr3d 2483 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( -u M  .x.  ( N  .x.  X ) ) )
7675, 56syldan 470 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
7776ex 434 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  (
( M  x.  N
)  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
789ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Mnd )
79 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u M  e.  NN0 )
80 simprr 756 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  NN0 )
8127adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  X  e.  B )
8214, 15mulgnn0ass 15661 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Mnd  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0  /\  X  e.  B ) )  ->  ( ( -u M  x.  -u N
)  .x.  X )  =  ( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
8378, 79, 80, 81, 82syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  -u N )  .x.  X )  =  (
-u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) ) )
8419, 20mul2negd 9804 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( -u M  x.  -u N )  =  ( M  x.  N
) )
8584oveq1d 6111 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  x.  -u N
)  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N )  .x.  X ) )
8685adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( -u M  x.  -u N )  .x.  X )  =  ( ( M  x.  N
)  .x.  X )
)
8733adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  G  e.  Grp )
881adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  M  e.  ZZ )
89 nn0z 10674 . . . . . . . . 9  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  -u N  e.  ZZ )
9089ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
9114, 15mulgcl 15649 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u N  .x.  X )  e.  B
)
9287, 90, 81, 91syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u N  .x.  X
)  e.  B )
9314, 15, 35mulgneg2 15659 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  M  e.  ZZ  /\  ( -u N  .x.  X )  e.  B )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( ( invg `  G ) `
 ( -u N  .x.  X ) ) ) )
9487, 88, 92, 93syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( ( invg `  G ) `
 ( -u N  .x.  X ) ) ) )
9514, 15, 35mulgneg 15650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  -u N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( -u -u N  .x.  X )  =  ( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) ) )
9687, 90, 81, 95syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u -u N  .x.  X
)  =  ( ( invg `  G
) `  ( -u N  .x.  X ) ) )
9720negnegd 9715 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  -u -u N  =  N )
9897adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  ->  -u -u N  =  N
)
9998oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u -u N  .x.  X
)  =  ( N 
.x.  X ) )
10096, 99eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( N 
.x.  X ) )
101100oveq2d 6112 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  .x.  (
( invg `  G ) `  ( -u N  .x.  X ) ) )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
10294, 101eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( -u M  .x.  ( -u N  .x.  X ) )  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
10383, 86, 1023eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  /\  ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) )
104103ex 434 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( -u M  e.  NN0  /\  -u N  e.  NN0 )  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
10518, 58, 77, 104ccased 938 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
( M  e.  NN0  \/  -u M  e.  NN0 )  /\  ( N  e. 
NN0  \/  -u N  e. 
NN0 ) )  -> 
( ( M  x.  N )  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  ( N  .x.  X ) ) ) )
1064, 8, 105mp2and 679 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( ( M  x.  N )  .x.  X )  =  ( M  .x.  ( N 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286    x. cmul 9292   -ucneg 9601   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   Basecbs 14179   Mndcmnd 15414   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416  .gcmg 15419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-seq 11812  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-mulg 15553
This theorem is referenced by:  odmod  16054  odmulgid  16060  odbezout  16064  gexdvdsi  16087  pgpfac1lem2  16581  pgpfac1lem3a  16582  pgpfac1lem3  16583  mulgrhm  17931  mulgrhmOLD  17934  zlmlmod  17959
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