MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg0 Structured version   Unicode version

Theorem mulg0 15625
Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
mulg0.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulg0  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulg0
StepHypRef Expression
1 0z 10653 . 2  |-  0  e.  ZZ
2 mulg0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2441 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 mulg0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
5 eqid 2441 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
6 mulg0.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 eqid 2441 . . . 4  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 15622 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
9 eqid 2441 . . . 4  |-  0  =  0
109iftruei 3795 . . 3  |-  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  .0.
118, 10syl6eq 2489 . 2  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  .0.  )
121, 11mpan 665 1  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   0cc0 9278   1c1 9279    < clt 9414   -ucneg 9592   NNcn 10318   ZZcz 10642    seqcseq 11802   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   invgcminusg 15407  .gcmg 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-neg 9594  df-z 10643  df-seq 11803  df-mulg 15541
This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  15631  mulgnn0subcl  15633  mulgneg  15638  mulgnn0z  15640  mulgnn0dir  15643  mulgneg2  15647  mulgnn0ass  15649  mhmmulg  15652  submmulg  15655  odid  16034  oddvdsnn0  16040  oddvds  16043  odf1  16056  gexid  16073  mulgnn0di  16306  0cyg  16362  gsumconst  16419  srgmulgass  16620  srgpcomp  16621  srgbinomlem3  16630  srgbinomlem4  16631  srgbinom  16633  mulgass2  16682  mplcoe3  17535  mplcoe3OLD  17536  mplcoe2  17537  mplcoe2OLD  17538  mplbas2  17539  mplbas2OLD  17540  psrbagev1  17578  psrbagev1OLD  17579  ply1scltm  17688  cnfldmulg  17748  cnfldexp  17749  tmdmulg  19563  clmmulg  20565  evlslem3  21424  evlslem1  21425  dchrptlem2  22547  xrsmulgzz  26056  ressmulgnn0  26062  omndmul2  26092  omndmul  26094  archirng  26122  archirngz  26123  archiabllem1b  26126  archiabllem2c  26129  lmodvsmdi  30696  lmodvsmmulgdi  30697  assamulgscmlem1  30704
  Copyright terms: Public domain W3C validator