MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg0 Structured version   Unicode version

Theorem mulg0 15632
Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
mulg0.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulg0  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulg0
StepHypRef Expression
1 0z 10657 . 2  |-  0  e.  ZZ
2 mulg0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 mulg0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
5 eqid 2443 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
6 mulg0.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 eqid 2443 . . . 4  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 15629 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
9 eqid 2443 . . . 4  |-  0  =  0
109iftruei 3798 . . 3  |-  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  .0.
118, 10syl6eq 2491 . 2  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  .0.  )
121, 11mpan 670 1  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3791   {csn 3877   class class class wbr 4292    X. cxp 4838   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    < clt 9418   -ucneg 9596   NNcn 10322   ZZcz 10646    seqcseq 11806   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   0gc0g 14378   invgcminusg 15411  .gcmg 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-neg 9598  df-z 10647  df-seq 11807  df-mulg 15548
This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  15638  mulgnn0subcl  15640  mulgneg  15645  mulgnn0z  15647  mulgnn0dir  15650  mulgneg2  15654  mulgnn0ass  15656  mhmmulg  15659  submmulg  15662  odid  16041  oddvdsnn0  16047  oddvds  16050  odf1  16063  gexid  16080  mulgnn0di  16313  0cyg  16369  gsumconst  16427  srgmulgass  16630  srgpcomp  16631  srgbinomlem3  16640  srgbinomlem4  16641  srgbinom  16643  mulgass2  16692  mplcoe3  17545  mplcoe3OLD  17546  mplcoe5  17548  mplcoe2OLD  17550  mplbas2  17551  mplbas2OLD  17552  psrbagev1  17594  psrbagev1OLD  17595  evlslem3  17600  evlslem1  17601  ply1scltm  17734  cnfldmulg  17848  cnfldexp  17849  tmdmulg  19663  clmmulg  20665  dchrptlem2  22604  xrsmulgzz  26139  ressmulgnn0  26145  omndmul2  26175  omndmul  26177  archirng  26205  archirngz  26206  archiabllem1b  26209  archiabllem2c  26212  lmodvsmdi  30812  lmodvsmmulgdi  30813  assamulgscmlem1  30820
  Copyright terms: Public domain W3C validator