MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg0 Structured version   Unicode version

Theorem mulg0 15954
Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
mulg0.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulg0  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulg0
StepHypRef Expression
1 0z 10874 . 2  |-  0  e.  ZZ
2 mulg0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 mulg0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
6 mulg0.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 eqid 2467 . . . 4  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 15951 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
9 eqid 2467 . . . 4  |-  0  =  0
109iftruei 3946 . . 3  |-  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  .0.
118, 10syl6eq 2524 . 2  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  .0.  )
121, 11mpan 670 1  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   0cc0 9491   1c1 9492    < clt 9627   -ucneg 9805   NNcn 10535   ZZcz 10863    seqcseq 12074   Basecbs 14489   +g cplusg 14554   0gc0g 14694   invgcminusg 15727  .gcmg 15730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-neg 9807  df-z 10864  df-seq 12075  df-mulg 15867
This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  15960  mulgnn0subcl  15962  mulgneg  15967  mulgnn0z  15969  mulgnn0dir  15972  mulgneg2  15976  mulgnn0ass  15978  mhmmulg  15981  submmulg  15984  odid  16365  oddvdsnn0  16371  oddvds  16374  odf1  16387  gexid  16404  mulgnn0di  16637  0cyg  16695  gsumconst  16754  srgmulgass  16979  srgpcomp  16980  srgbinomlem3  16990  srgbinomlem4  16991  srgbinom  16993  mulgass2  17043  lmodvsmmulgdi  17342  assamulgscmlem1  17784  mplcoe3  17915  mplcoe3OLD  17916  mplcoe5  17918  mplcoe2OLD  17920  mplbas2  17921  mplbas2OLD  17922  psrbagev1  17964  psrbagev1OLD  17965  evlslem3  17970  evlslem1  17971  ply1scltm  18109  cnfldmulg  18237  cnfldexp  18238  chfacfscmulgsum  19144  chfacfpmmulgsum  19148  cpmadugsumlemF  19160  tmdmulg  20342  clmmulg  21344  dchrptlem2  23284  xrsmulgzz  27344  ressmulgnn0  27350  omndmul2  27380  omndmul  27382  archirng  27410  archirngz  27411  archiabllem1b  27414  archiabllem2c  27417  lmodvsmdi  32065
  Copyright terms: Public domain W3C validator