MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulg0 Structured version   Unicode version

Theorem mulg0 16714
Description: Group multiple (exponentiation) operation at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mulg0.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulg0.o  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
mulg0.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulg0  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )

Proof of Theorem mulg0
StepHypRef Expression
1 0z 10948 . 2  |-  0  e.  ZZ
2 mulg0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2429 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
4 mulg0.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
5 eqid 2429 . . . 4  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
6 mulg0.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7 eqid 2429 . . . 4  |-  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) )  =  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) )
82, 3, 4, 5, 6, 7mulgval 16711 . . 3  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) ) )
9 eqid 2429 . . . 4  |-  0  =  0
109iftruei 3922 . . 3  |-  if ( 0  =  0 ,  .0.  ,  if ( 0  <  0 ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { X }
) ) `  0
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { X } ) ) `  -u 0 ) ) ) )  =  .0.
118, 10syl6eq 2486 . 2  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  X  e.  B )  ->  ( 0  .x.  X
)  =  .0.  )
121, 11mpan 674 1  |-  ( X  e.  B  ->  (
0  .x.  X )  =  .0.  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   ifcif 3915   {csn 4002   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   0cc0 9538   1c1 9539    < clt 9674   -ucneg 9860   NNcn 10609   ZZcz 10937    seqcseq 12210   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297   invgcminusg 16621  .gcmg 16623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-neg 9862  df-z 10938  df-seq 12211  df-mulg 16627
This theorem is referenced by:  mulgnn0p1  16720  mulgnn0subcl  16722  mulgneg  16727  mulgnn0z  16729  mulgnn0dir  16732  mulgneg2  16736  mulgnn0ass  16738  mhmmulg  16741  submmulg  16744  odid  17129  oddvdsnn0  17135  oddvds  17138  odf1  17151  gexid  17168  mulgnn0di  17401  0cyg  17462  gsumconst  17502  srgmulgass  17699  srgpcomp  17700  srgbinomlem3  17710  srgbinomlem4  17711  srgbinom  17713  mulgass2  17764  lmodvsmmulgdi  18061  assamulgscmlem1  18507  mplcoe3  18625  mplcoe5  18627  mplbas2  18629  psrbagev1  18668  evlslem3  18672  evlslem1  18673  ply1scltm  18809  cnfldmulg  18935  cnfldexp  18936  chfacfscmulgsum  19815  chfacfpmmulgsum  19819  cpmadugsumlemF  19831  tmdmulg  21038  clmmulg  22017  dchrptlem2  24056  xrsmulgzz  28277  ressmulgnn0  28283  omndmul2  28313  omndmul  28315  archirng  28343  archirngz  28344  archiabllem1b  28347  archiabllem2c  28350  lmodvsmdi  38926
  Copyright terms: Public domain W3C validator