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Theorem mulerpq 9352
Description: Multiplication is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpq  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )

Proof of Theorem mulerpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 9326 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 9326 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 mulpqnq 9336 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 9316 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 9327 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 9320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 mulerpqlem 9350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  B ) ) )
12113exp 1195 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) )
1413imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) )
158, 14mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
) )
16 nqerrel 9327 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 9320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 mulerpqlem 9350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 469 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  .pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 mulcompq 9347 . . . . . 6  |-  ( B 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
)
26 mulcompq 9347 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4487 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 7345 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 mulpqf 9341 . . . . . 6  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 6406 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 6406 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 9330 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2501 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) ) )
37 0nnq 9319 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 9325 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 307 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 303 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 130 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5896 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 307 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 303 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 130 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 mulnqf 9344 . . . . . 6  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5742 . . . . 5  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6458 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 5036 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2535 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 299 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5742 . . . . . . 7  |-  dom  .pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6458 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
.pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 303 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  .pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5896 . . . 4  |-  ( -.  ( A  .pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2501 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
.pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 164 1  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    X. cxp 5006   dom cdm 5008   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    Er wer 7326   N.cnpi 9239    .pQ cmpq 9244    ~Q ceq 9246   Q.cnq 9247   /Qcerq 9249    .Q cmq 9251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ni 9267  df-mi 9269  df-lti 9270  df-mpq 9304  df-enq 9306  df-nq 9307  df-erq 9308  df-mq 9310  df-1nq 9311
This theorem is referenced by:  mulassnq  9354  distrnq  9356  recmulnq  9359
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