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Theorem mulerpq 9229
Description: Multiplication is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpq  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )

Proof of Theorem mulerpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 9203 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 9203 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 mulpqnq 9213 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 9193 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 9204 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 9197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 mulerpqlem 9227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  B ) ) )
12113exp 1187 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) )
1413imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) )
158, 14mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
) )
16 nqerrel 9204 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 9197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 mulerpqlem 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 469 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  .pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 mulcompq 9224 . . . . . 6  |-  ( B 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
)
26 mulcompq 9224 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4423 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 7219 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 mulpqf 9218 . . . . . 6  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 6297 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 6297 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 9207 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 210 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2495 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) ) )
37 0nnq 9196 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 9202 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5664 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5815 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 307 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2520 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 303 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 130 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5815 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 307 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2520 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 303 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 130 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 135 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 mulnqf 9221 . . . . . 6  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5664 . . . . 5  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6349 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4967 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2529 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 299 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5664 . . . . . . 7  |-  dom  .pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6349 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2520 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
.pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 303 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  .pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5815 . . . 4  |-  ( -.  ( A  .pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2495 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
.pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 164 1  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   (/)c0 3737   class class class wbr 4392    X. cxp 4938   dom cdm 4940   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    Er wer 7200   N.cnpi 9114    .pQ cmpq 9119    ~Q ceq 9121   Q.cnq 9122   /Qcerq 9124    .Q cmq 9126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-omul 7027  df-er 7203  df-ni 9144  df-mi 9146  df-lti 9147  df-mpq 9181  df-enq 9183  df-nq 9184  df-erq 9185  df-mq 9187  df-1nq 9188
This theorem is referenced by:  mulassnq  9231  distrnq  9233  recmulnq  9236
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