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Theorem mulerpq 9400
Description: Multiplication is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpq  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )

Proof of Theorem mulerpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 9374 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 9374 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 mulpqnq 9384 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 485 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 9364 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 9375 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 9368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 mulerpqlem 9398 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  B ) ) )
12113exp 1230 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) )
1413imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) )
158, 14mpbid 215 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
) )
16 nqerrel 9375 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 9368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 mulerpqlem 9398 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  .pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 mulcompq 9395 . . . . . 6  |-  ( B 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
)
26 mulcompq 9395 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4427 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 7397 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 mulpqf 9389 . . . . . 6  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 6420 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 6420 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 485 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 9378 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) ) )
37 0nnq 9367 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 9373 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 314 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 310 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 135 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2541 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5903 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 314 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2533 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 310 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 135 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 576 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 142 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 mulnqf 9392 . . . . . 6  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5746 . . . . 5  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6472 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 17 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4867 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2541 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 306 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5746 . . . . . . 7  |-  dom  .pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6472 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2533 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
.pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 310 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  .pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5903 . . . 4  |-  ( -.  ( A  .pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 17 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2508 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
.pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 169 1  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    X. cxp 4837   dom cdm 4839   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    Er wer 7378   N.cnpi 9287    .pQ cmpq 9292    ~Q ceq 9294   Q.cnq 9295   /Qcerq 9297    .Q cmq 9299
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-mi 9317  df-lti 9318  df-mpq 9352  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-mq 9358  df-1nq 9359
This theorem is referenced by:  mulassnq  9402  distrnq  9404  recmulnq  9407
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