Theorem muleqadd 6889

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12.

Assertion

Ref	Expression
muleqadd	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) = (A + B) <-> ((A - 1) x. (B - 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 6422	. . . . 5 |- 1 e. CC
2		mulsub 6644	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ (B e. CC /\ 1 e. CC)) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
3	1, 2	mpanr2 776	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
4	1, 3	mpanl2 771	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
5	1	mulid1i 6485	. . . . . . 7 |- (1 x. 1) = 1
6	5	opreq2i 4893	. . . . . 6 |- ((A x. B) + (1 x. 1)) = ((A x. B) + 1)
7	6	a1i 8	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) + (1 x. 1)) = ((A x. B) + 1))
8		ax1id 6435	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
9		ax1id 6435	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (B x. 1) = B)
10	8, 9	opreqan12d 4902	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. 1) + (B x. 1)) = (A + B))
11	7, 10	opreq12d 4900	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))) = (((A x. B) + 1) - (A + B)))
12		mulcl 6456	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
13		addcl 6454	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)
14		addsub 6542	. . . . . 6 |- (((A x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
15	1, 14	mp3an2 1179	. . . . 5 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
16	12, 13, 15	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
17	4, 11, 16	3eqtrd 1929	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
18	17	eqeq1d 1892	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A - 1) x. (B - 1)) = 1 <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1))
19		subcl 6524	. . . . 5 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> ((A x. B) - (A + B)) e. CC)
20	12, 13, 19	syl11anc 524	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) - (A + B)) e. CC)
21		0cn 6481	. . . . 5 |- 0 e. CC
22		addcan2 6508	. . . . 5 |- ((((A x. B) - (A + B)) e. CC /\ 0 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
23	21, 1, 22	mp3an23 1183	. . . 4 |- (((A x. B) - (A + B)) e. CC -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
24	20, 23	syl 12	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
25	1	addid2i 6484	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
26	25	eqeq2i 1894	. . 3 |- ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1)
27	24, 26	syl5rbbr 594	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1))
28		subeq0 6563	. . 3 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (A x. B) = (A + B)))
29	12, 13, 28	syl11anc 524	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (A x. B) = (A + B)))
30	18, 27, 29	3bitr2rd 606	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) = (A + B) <-> ((A - 1) x. (B - 1)) = 1))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445

This theorem is referenced by:  conjmul 6975

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513

Copyright terms: Public domain