Theorem mulcomsr 6350

Description: Multiplication of signed reals is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcomsr.1	|- A e. _V
mulcomsr.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	|- (A .R B) = (B .R A)

Proof of Theorem mulcomsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6319	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 6337	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
3		mulsrpr 6337	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.x, y>.] ~R ) = [<.((z .P. x) +P. (w .P. y)), ((z .P. y) +P. (w .P. x))>.] ~R )
4		visset 2295	. . . . 5 |- x e. _V
5		visset 2295	. . . . 5 |- z e. _V
6	4, 5	mulcompr 6277	. . . 4 |- (x .P. z) = (z .P. x)
7		visset 2295	. . . . 5 |- y e. _V
8		visset 2295	. . . . 5 |- w e. _V
9	7, 8	mulcompr 6277	. . . 4 |- (y .P. w) = (w .P. y)
10	6, 9	opreq12i 4894	. . 3 |- ((x .P. z) +P. (y .P. w)) = ((z .P. x) +P. (w .P. y))
11	4, 8	mulcompr 6277	. . . . 5 |- (x .P. w) = (w .P. x)
12	7, 5	mulcompr 6277	. . . . 5 |- (y .P. z) = (z .P. y)
13	11, 12	opreq12i 4894	. . . 4 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((w .P. x) +P. (z .P. y))
14		oprex 4907	. . . . 5 |- (w .P. x) e. _V
15		oprex 4907	. . . . 5 |- (z .P. y) e. _V
16	14, 15	addcompr 6275	. . . 4 |- ((w .P. x) +P. (z .P. y)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
17	13, 16	eqtri 1908	. . 3 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
18	1, 2, 3, 10, 17	ecoprcom 5378	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
19		mulcomsr.2	. . 3 |- B e. _V
20		dmmulsr 6347	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
21		mulcomsr.1	. . 3 |- A e. _V
22	19, 20, 21	ndmoprcom 4980	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
23	18, 22	pm2.61i 140	1 |- (A .R B) = (B .R A)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (class class class)co 4884  P.cnp 6137   +P. cpp 6139   .P. cmp 6140   ~R cer 6144  R.cnr 6145   .R cmr 6150

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 6367  mulresr 6409  axmulcom 6429  axmulass 6431  axcnre 6439

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-mr 6321

Copyright terms: Public domain