MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcompi Structured version   Unicode version

Theorem mulcompi 9179
Description: Multiplication of positive integers is commutative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcompi  |-  ( A  .N  B )  =  ( B  .N  A
)

Proof of Theorem mulcompi
StepHypRef Expression
1 pinn 9161 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 9161 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nnmcom 7178 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  =  ( B  .o  A ) )
5 mulpiord 9168 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
6 mulpiord 9168 . . . 4  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
76ancoms 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  .N  A
)  =  ( B  .o  A ) )
84, 5, 73eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )
9 dmmulpi 9174 . . 3  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
109ndmovcom 6363 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( B  .N  A ) )
118, 10pm2.61i 164 1  |-  ( A  .N  B )  =  ( B  .N  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6203   omcom 6589    .o comu 7031   N.cnpi 9125    .N cmi 9127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-ni 9155  df-mi 9157
This theorem is referenced by:  enqbreq2  9203  enqer  9204  nqereu  9212  addcompq  9233  mulcompq  9235  adderpqlem  9237  mulerpqlem  9238  addassnq  9241  mulcanenq  9243  distrnq  9244  recmulnq  9247  ltsonq  9252  lterpq  9253  ltanq  9254  ltmnq  9255  ltexnq  9258
  Copyright terms: Public domain W3C validator