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Theorem mulcn2 13637
Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulcn2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
Distinct variable groups:    v, u, y, z, A    u, B, v, y, z    u, C, v, y, z

Proof of Theorem mulcn2
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 11327 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
213ad2ant1 1026 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
3 abscl 13320 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CC  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
433ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
5 abscl 13320 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
653ad2ant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
7 1re 9641 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
8 readdcl 9621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR )
10 absge0 13329 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
11 0lt1 10135 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
12 addgegt0 10100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  <_  ( abs `  B )  /\  0  <  1 ) )  ->  0  <  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
1312an4s 833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  0  <  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
147, 11, 13mpanr12 689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) )  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
155, 10, 14syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
16153ad2ant2 1027 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
179, 16elrpd 11338 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR+ )
182, 17rpdivcld 11358 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+ )
1918rpred 11341 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR )
204, 19readdcld 9669 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR )
21 absge0 13329 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
22213ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
23 elrp 11304 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+  <->  ( ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
24 addgegt0 10100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( abs `  C
)  /\  0  <  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
2524an4s 833 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C
) )  /\  (
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )
2623, 25sylan2b 477 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C
) )  /\  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
274, 22, 18, 26syl21anc 1263 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
2820, 27elrpd 11338 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
292, 28rpdivcld 11358 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
30 simprl 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
31 simpl2 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
3230, 31subcld 9985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  B )  e.  CC )
3332abscld 13476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  B
) )  e.  RR )
342adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
3534rpred 11341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3628adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
3733, 35, 36ltmuldivd 11385 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  <->  ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) ) )
38 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
39 simpl3 1010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  C  e.  CC )
4038, 39abs2difd 13497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <_  ( abs `  ( v  -  C
) ) )
4138abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  v )  e.  RR )
424adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
4341, 42resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  e.  RR )
4438, 39subcld 9985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  C )  e.  CC )
4544abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  C
) )  e.  RR )
4619adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )
47 lelttr 9723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  <_ 
( abs `  (
v  -  C ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  <_ 
( abs `  (
v  -  C ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
4940, 48mpand 679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
5041, 42, 46ltsubadd2d 10210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  <->  ( abs `  v
)  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5149, 50sylibd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  v )  <  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5220adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
53 ltle 9721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  v
)  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  v )  <_ 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5441, 52, 53syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  < 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  v
)  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5551, 54syld 45 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  v )  <_  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5632absge0d 13484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( u  -  B ) ) )
57 lemul2a 10459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
u  -  B ) ) ) )  /\  ( abs `  v )  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5857ex 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
u  -  B ) ) ) )  -> 
( ( abs `  v
)  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) ) )
5941, 52, 33, 56, 58syl112anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  <_ 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) ) )
6033, 41remulcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  e.  RR )
6133, 52remulcld 9670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
62 lelttr 9723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( A  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6360, 61, 35, 62syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6463expd 437 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( u  -  B
) )  x.  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  <  ( A  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) ) )
6555, 59, 643syld 57 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  <  ( A  /  2 ) ) ) )
6665com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  <  ( A  /  2 ) ) ) )
6737, 66sylbird 238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B
) )  x.  ( abs `  v ) )  <  ( A  / 
2 ) ) ) )
6867impd 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6932, 38absmuld 13494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  B )  x.  v
) )  =  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) ) )
7030, 31, 38subdird 10074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
u  -  B )  x.  v )  =  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v )
) )
7170fveq2d 5885 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  B )  x.  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v ) ) ) )
7269, 71eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v ) ) ) )
7372breq1d 4436 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
)  <->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
7468, 73sylibd 217 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v
) ) )  < 
( A  /  2
) ) )
7517adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
7645, 35, 75ltmuldiv2d 11386 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 )  <->  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
7731, 38, 39subdid 10073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  ( v  -  C
) )  =  ( ( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )
7877fveq2d 5885 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( B  x.  (
v  -  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
7931, 44absmuld 13494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( B  x.  (
v  -  C ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8078, 79eqtr3d 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8131abscld 13476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
8281lep1d 10538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  B )  <_  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
839adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  +  1 )  e.  RR )
84 abscl 13320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  ( abs `  ( v  -  C ) )  e.  RR )
85 absge0 13329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) )
8684, 85jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
87 lemul1a 10458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )  /\  ( abs `  B )  <_  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8887ex 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )  -> 
( ( abs `  B
)  <_  ( ( abs `  B )  +  1 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) ) )
8986, 88syl3an3 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
v  -  C )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  B
)  <_  ( ( abs `  B )  +  1 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) ) )
9081, 83, 44, 89syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  <_ 
( ( abs `  B
)  +  1 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  ( abs `  ( v  -  C ) ) )  <_  ( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) ) )
9182, 90mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <_  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
9280, 91eqbrtrd 4446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  <_  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
9331, 38mulcld 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  v )  e.  CC )
9431, 39mulcld 9662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
9593, 94subcld 9985 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
9695abscld 13476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  e.  RR )
9783, 45remulcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  e.  RR )
98 lelttr 9723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  e.  RR  /\  ( A  /  2 )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  /\  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
9996, 97, 35, 98syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  /\  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
10092, 99mpand 679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 )  -> 
( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
10176, 100sylbird 238 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  <  ( A  /  2 ) ) )
102101adantld 468 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
( A  /  2
) ) )
10374, 102jcad 535 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) ) ) )
104 mulcl 9622 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  x.  v
)  e.  CC )
105104adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  x.  v )  e.  CC )
106 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  A  e.  RR+ )
107106rpred 11341 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  A  e.  RR )
108 abs3lem 13380 . . . . 5  |-  ( ( ( ( u  x.  v )  e.  CC  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  /\  ( ( B  x.  v )  e.  CC  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v )
) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
109105, 94, 93, 107, 108syl22anc 1265 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
110103, 109syld 45 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) )
111110ralrimivva 2853 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
112 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B
) )  <  y  <->  ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) ) )
113112anbi1d 709 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z ) ) )
114113imbi1d 318 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A )  <-> 
( ( ( abs `  ( u  -  B
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) ) )
1151142ralbidv 2876 . . 3  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) ) )
116 breq2 4430 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
117116anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
118117imbi1d 318 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A )  <->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) ) )
1191182ralbidv 2876 . . 3  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) ) )
120115, 119rspc2ev 3199 . 2  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR+  /\  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
12129, 18, 111, 120syl3anc 1264 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   2c2 10659   RR+crp 11302   abscabs 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278
This theorem is referenced by:  climmul  13674  rlimmul  13686  mulcn  21795  mulc1cncf  21833  mullimc  37268  mullimcf  37275
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