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Theorem mulcn2 13736
Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulcn2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
Distinct variable groups:    v, u, y, z, A    u, B, v, y, z    u, C, v, y, z

Proof of Theorem mulcn2
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 11350 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
213ad2ant1 1051 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
3 abscl 13418 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CC  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
433ad2ant3 1053 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
5 abscl 13418 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
653ad2ant2 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
7 1re 9660 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
8 readdcl 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR )
10 absge0 13427 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
11 0lt1 10157 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
12 addgegt0 10122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  <_  ( abs `  B )  /\  0  <  1 ) )  ->  0  <  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
1312an4s 842 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  0  <  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
147, 11, 13mpanr12 699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) )  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
155, 10, 14syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
16153ad2ant2 1052 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
179, 16elrpd 11361 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR+ )
182, 17rpdivcld 11381 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+ )
1918rpred 11364 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR )
204, 19readdcld 9688 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR )
21 absge0 13427 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
22213ad2ant3 1053 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
23 elrp 11327 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+  <->  ( ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
24 addgegt0 10122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( abs `  C
)  /\  0  <  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
2524an4s 842 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C
) )  /\  (
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )
2623, 25sylan2b 483 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C
) )  /\  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
274, 22, 18, 26syl21anc 1291 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
2820, 27elrpd 11361 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
292, 28rpdivcld 11381 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
30 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
31 simpl2 1034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
3230, 31subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  B )  e.  CC )
3332abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  B
) )  e.  RR )
342adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
3534rpred 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3628adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
3733, 35, 36ltmuldivd 11408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  <->  ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) ) )
38 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
39 simpl3 1035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  C  e.  CC )
4038, 39abs2difd 13596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <_  ( abs `  ( v  -  C
) ) )
4138abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  v )  e.  RR )
424adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
4341, 42resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  e.  RR )
4438, 39subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  C )  e.  CC )
4544abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  C
) )  e.  RR )
4619adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )
47 lelttr 9742 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  <_ 
( abs `  (
v  -  C ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  <_ 
( abs `  (
v  -  C ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
4940, 48mpand 689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
5041, 42, 46ltsubadd2d 10232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  <->  ( abs `  v
)  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5149, 50sylibd 222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  v )  <  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5220adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
53 ltle 9740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  v
)  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  v )  <_ 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5441, 52, 53syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  < 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  v
)  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5551, 54syld 44 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  v )  <_  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5632absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( u  -  B ) ) )
57 lemul2a 10482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
u  -  B ) ) ) )  /\  ( abs `  v )  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5857ex 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
u  -  B ) ) ) )  -> 
( ( abs `  v
)  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) ) )
5941, 52, 33, 56, 58syl112anc 1296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  <_ 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) ) )
6033, 41remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  e.  RR )
6133, 52remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
62 lelttr 9742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( A  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6360, 61, 35, 62syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6463expd 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( u  -  B
) )  x.  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  <  ( A  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) ) )
6555, 59, 643syld 56 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  <  ( A  /  2 ) ) ) )
6665com23 80 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  <  ( A  /  2 ) ) ) )
6737, 66sylbird 243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B
) )  x.  ( abs `  v ) )  <  ( A  / 
2 ) ) ) )
6867impd 438 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6932, 38absmuld 13593 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  B )  x.  v
) )  =  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) ) )
7030, 31, 38subdird 10096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
u  -  B )  x.  v )  =  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v )
) )
7170fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  B )  x.  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v ) ) ) )
7269, 71eqtr3d 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v ) ) ) )
7372breq1d 4405 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
)  <->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
7468, 73sylibd 222 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v
) ) )  < 
( A  /  2
) ) )
7517adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
7645, 35, 75ltmuldiv2d 11409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 )  <->  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
7731, 38, 39subdid 10095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  ( v  -  C
) )  =  ( ( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )
7877fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( B  x.  (
v  -  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
7931, 44absmuld 13593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( B  x.  (
v  -  C ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8078, 79eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8131abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
8281lep1d 10560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  B )  <_  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
839adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  +  1 )  e.  RR )
84 abscl 13418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  ( abs `  ( v  -  C ) )  e.  RR )
85 absge0 13427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) )
8684, 85jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
87 lemul1a 10481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )  /\  ( abs `  B )  <_  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8887ex 441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )  -> 
( ( abs `  B
)  <_  ( ( abs `  B )  +  1 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) ) )
8986, 88syl3an3 1327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
v  -  C )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  B
)  <_  ( ( abs `  B )  +  1 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) ) )
9081, 83, 44, 89syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  <_ 
( ( abs `  B
)  +  1 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  ( abs `  ( v  -  C ) ) )  <_  ( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) ) )
9182, 90mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <_  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
9280, 91eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  <_  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
9331, 38mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  v )  e.  CC )
9431, 39mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
9593, 94subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
9695abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  e.  RR )
9783, 45remulcld 9689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  e.  RR )
98 lelttr 9742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  e.  RR  /\  ( A  /  2 )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  /\  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
9996, 97, 35, 98syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  /\  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
10092, 99mpand 689 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 )  -> 
( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
10176, 100sylbird 243 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  <  ( A  /  2 ) ) )
102101adantld 474 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
( A  /  2
) ) )
10374, 102jcad 542 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) ) ) )
104 mulcl 9641 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  x.  v
)  e.  CC )
105104adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  x.  v )  e.  CC )
106 simpl1 1033 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  A  e.  RR+ )
107106rpred 11364 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  A  e.  RR )
108 abs3lem 13478 . . . . 5  |-  ( ( ( ( u  x.  v )  e.  CC  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  /\  ( ( B  x.  v )  e.  CC  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v )
) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
109105, 94, 93, 107, 108syl22anc 1293 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
110103, 109syld 44 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) )
111110ralrimivva 2814 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
112 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B
) )  <  y  <->  ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) ) )
113112anbi1d 719 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z ) ) )
114113imbi1d 324 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A )  <-> 
( ( ( abs `  ( u  -  B
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) ) )
1151142ralbidv 2832 . . 3  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) ) )
116 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
117116anbi2d 718 . . . . 5  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
118117imbi1d 324 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A )  <->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) ) )
1191182ralbidv 2832 . . 3  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) ) )
120115, 119rspc2ev 3149 . 2  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR+  /\  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
12129, 18, 111, 120syl3anc 1292 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   abscabs 13374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-seq 12252  df-exp 12311  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376
This theorem is referenced by:  climmul  13773  rlimmul  13785  mulcn  21977  mulc1cncf  22015  mullimc  37793  mullimcf  37800
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