MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcn Structured version   Unicode version

Theorem mulcn 21134
Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by NM, 30-Jul-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
addcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
mulcn  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)

Proof of Theorem mulcn
Dummy variables  a 
b  c  u  v  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.j . 2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2 ax-mulf 9572 . 2  |-  x.  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 mulcn2 13381 . 2  |-  ( ( a  e.  RR+  /\  b  e.  CC  /\  c  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  b ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  c ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( b  x.  c ) ) )  <  a ) )
41, 2, 3addcnlem 21131 1  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    x. cmul 9497   TopOpenctopn 14677  ℂfldccnfld 18219    Cn ccn 19519    tX ctx 19824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-tms 20588
This theorem is referenced by:  divcn  21135  expcn  21139  divccn  21140  negcncf  21185  iihalf1cn  21195  iihalf2cn  21197  iimulcn  21201  icchmeo  21204  cnrehmeo  21216  reparphti  21260  mulcncf  21622  dvcnp2  22086  dvmulbr  22105  dvcobr  22112  cmvth  22155  dvlipcn  22158  dvfsumle  22185  dvfsumabs  22187  dvfsumlem2  22191  itgparts  22211  itgsubstlem  22212  plycn  22420  taylthlem2  22531  psercn2  22580  cxpcn  22875  efrlim  23055  pntlem3  23550  dipcn  25337  ipasslem7  25455  rmulccn  27574  lgamgulmlem2  28240  cvxpcon  28355  cvxscon  28356  ftc2nc  29704  areacirclem3  29714  areacirclem4  29715  areacirc  29717
  Copyright terms: Public domain W3C validator