Theorem mulcmpblnr 6335

Description: Lemma showing compatibility of multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
cmpblnr.1	|- A e. _V
cmpblnr.2	|- B e. _V
cmpblnr.3	|- C e. _V
cmpblnr.4	|- D e. _V
cmpblnr.5	|- F e. _V
cmpblnr.6	|- G e. _V
cmpblnr.7	|- R e. _V
cmpblnr.8	|- S e. _V

Assertion

Ref	Expression
mulcmpblnr	|- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.)) /\ ((F e. P. /\ G e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.))) -> (((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R)) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.))

Proof of Theorem mulcmpblnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpr 6274	. . . . 5 |- ((D e. P. /\ F e. P.) -> (D .P. F) e. P.)
2		simpr 350	. . . . 5 |- ((C e. P. /\ D e. P.) -> D e. P.)
3		simpl 346	. . . . 5 |- ((F e. P. /\ G e. P.) -> F e. P.)
4	1, 2, 3	syl2an 503	. . . 4 |- (((C e. P. /\ D e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.)) -> (D .P. F) e. P.)
5		addclpr 6272	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P. /\ ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) e. P.)
6		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) e. _V
7		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S))) e. _V
8	6, 7	addcanpr 6304	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((D .P. F) e. P. /\ (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) e. P.) -> (((D .P. F) +P. (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R)))) = ((D .P. F) +P. (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S)))) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) = (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S)))))
9		cmpblnr.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A e. _V
10		cmpblnr.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B e. _V
11		cmpblnr.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C e. _V
12		cmpblnr.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D e. _V
13		cmpblnr.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F e. _V
14		cmpblnr.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- G e. _V
15		cmpblnr.7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- R e. _V
16		cmpblnr.8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S e. _V
17	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16	mulcmpblnrlem 6334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R)) -> ((D .P. F) +P. (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R)))) = ((D .P. F) +P. (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S)))))
18	8, 17	syl5 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((D .P. F) e. P. /\ (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) e. P.) -> (((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R)) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) = (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S)))))
19	18	expcom 403	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) e. P. -> ((D .P. F) e. P. -> (((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R)) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) = (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S))))))
20	19	imp3a 388	. . . . . . . . . . 11 |- ((((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) e. P. -> (((D .P. F) e. P. /\ ((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R))) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) = (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S)))))
21	5, 20	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P. /\ ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.) -> (((D .P. F) e. P. /\ ((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R))) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) = (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S)))))
22	21	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . 9 |- (((((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P. /\ ((A .P. G) +P. (B .P. F)) e. P.) /\ (((C .P. R) +P. (D .P. S)) e. P. /\ ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.)) -> (((D .P. F) e. P. /\ ((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R))) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) = (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S)))))
23		enrbreq 6326	. . . . . . . . 9 |- (((((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P. /\ ((A .P. G) +P. (B .P. F)) e. P.) /\ (((C .P. R) +P. (D .P. S)) e. P. /\ ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.)) -> (<.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>. <-> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) +P. ((C .P. S) +P. (D .P. R))) = (((A .P. G) +P. (B .P. F)) +P. ((C .P. R) +P. (D .P. S)))))
24	22, 23	sylibrd 221	. . . . . . . 8 |- (((((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P. /\ ((A .P. G) +P. (B .P. F)) e. P.) /\ (((C .P. R) +P. (D .P. S)) e. P. /\ ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.)) -> (((D .P. F) e. P. /\ ((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R))) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.))
25		rnlem 853	. . . . . . . . 9 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.)) <-> (((A e. P. /\ F e. P.) /\ (B e. P. /\ G e. P.)) /\ ((A e. P. /\ G e. P.) /\ (B e. P. /\ F e. P.))))
26		addclpr 6272	. . . . . . . . . . 11 |- (((A .P. F) e. P. /\ (B .P. G) e. P.) -> ((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P.)
27		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ F e. P.) -> (A .P. F) e. P.)
28		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. P. /\ G e. P.) -> (B .P. G) e. P.)
29	26, 27, 28	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. P. /\ F e. P.) /\ (B e. P. /\ G e. P.)) -> ((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P.)
30		addclpr 6272	. . . . . . . . . . 11 |- (((A .P. G) e. P. /\ (B .P. F) e. P.) -> ((A .P. G) +P. (B .P. F)) e. P.)
31		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. P. /\ G e. P.) -> (A .P. G) e. P.)
32		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. P. /\ F e. P.) -> (B .P. F) e. P.)
33	30, 31, 32	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. P. /\ G e. P.) /\ (B e. P. /\ F e. P.)) -> ((A .P. G) +P. (B .P. F)) e. P.)
34	29, 33	anim12i 360	. . . . . . . . 9 |- ((((A e. P. /\ F e. P.) /\ (B e. P. /\ G e. P.)) /\ ((A e. P. /\ G e. P.) /\ (B e. P. /\ F e. P.))) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P. /\ ((A .P. G) +P. (B .P. F)) e. P.))
35	25, 34	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.)) -> (((A .P. F) +P. (B .P. G)) e. P. /\ ((A .P. G) +P. (B .P. F)) e. P.))
36		rnlem 853	. . . . . . . . 9 |- (((C e. P. /\ D e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.)) <-> (((C e. P. /\ R e. P.) /\ (D e. P. /\ S e. P.)) /\ ((C e. P. /\ S e. P.) /\ (D e. P. /\ R e. P.))))
37		addclpr 6272	. . . . . . . . . . 11 |- (((C .P. R) e. P. /\ (D .P. S) e. P.) -> ((C .P. R) +P. (D .P. S)) e. P.)
38		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. P. /\ R e. P.) -> (C .P. R) e. P.)
39		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ((D e. P. /\ S e. P.) -> (D .P. S) e. P.)
40	37, 38, 39	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. P. /\ R e. P.) /\ (D e. P. /\ S e. P.)) -> ((C .P. R) +P. (D .P. S)) e. P.)
41		addclpr 6272	. . . . . . . . . . 11 |- (((C .P. S) e. P. /\ (D .P. R) e. P.) -> ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.)
42		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ((C e. P. /\ S e. P.) -> (C .P. S) e. P.)
43		mulclpr 6274	. . . . . . . . . . 11 |- ((D e. P. /\ R e. P.) -> (D .P. R) e. P.)
44	41, 42, 43	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- (((C e. P. /\ S e. P.) /\ (D e. P. /\ R e. P.)) -> ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.)
45	40, 44	anim12i 360	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. P. /\ R e. P.) /\ (D e. P. /\ S e. P.)) /\ ((C e. P. /\ S e. P.) /\ (D e. P. /\ R e. P.))) -> (((C .P. R) +P. (D .P. S)) e. P. /\ ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.))
46	36, 45	sylbi 216	. . . . . . . 8 |- (((C e. P. /\ D e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.)) -> (((C .P. R) +P. (D .P. S)) e. P. /\ ((C .P. S) +P. (D .P. R)) e. P.))
47	24, 35, 46	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.)) /\ ((C e. P. /\ D e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.))) -> (((D .P. F) e. P. /\ ((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R))) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.))
48	47	an42s 567	. . . . . 6 |- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.)) /\ ((R e. P. /\ S e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.))) -> (((D .P. F) e. P. /\ ((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R))) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.))
49	48	an4s 566	. . . . 5 |- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.)) /\ ((C e. P. /\ D e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.))) -> (((D .P. F) e. P. /\ ((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R))) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.))
50	49	exp4b 410	. . . 4 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.)) -> (((C e. P. /\ D e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.)) -> ((D .P. F) e. P. -> (((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R)) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.))))
51	4, 50	mpdi 59	. . 3 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.)) -> (((C e. P. /\ D e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.)) -> (((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R)) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.)))
52	51	imp 377	. 2 |- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.)) /\ ((C e. P. /\ D e. P.) /\ (F e. P. /\ G e. P.))) -> (((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R)) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.))
53	52	an42s 567	1 |- ((((A e. P. /\ B e. P.) /\ (C e. P. /\ D e. P.)) /\ ((F e. P. /\ G e. P.) /\ (R e. P. /\ S e. P.))) -> (((A +P. D) = (B +P. C) /\ (F +P. S) = (G +P. R)) -> <.((A .P. F) +P. (B .P. G)), ((A .P. G) +P. (B .P. F))>. ~R <.((C .P. R) +P. (D .P. S)), ((C .P. S) +P. (D .P. R))>.))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  P.cnp 6137   +P. cpp 6139   .P. cmp 6140   ~R cer 6144

This theorem is referenced by:  mulsrpr 6337

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-enr 6318

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