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Theorem mulclprlem 9429
Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclprlem  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, g, h    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    A( g, h)    B( g, h)

Proof of Theorem mulclprlem
Dummy variables  y 
z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 9401 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  Q. )
2 elprnq 9401 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  h  e.  B )  ->  h  e.  Q. )
3 recclnq 9376 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  Q.  ->  ( *Q `  h )  e. 
Q. )
43adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( *Q `  h
)  e.  Q. )
5 vex 3064 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
6 ovex 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( g  .Q  h )  e. 
_V
7 ltmnq 9382 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
8 fvex 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( *Q
`  h )  e. 
_V
9 mulcomnq 9363 . . . . . . . . 9  |-  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y
)
105, 6, 7, 8, 9caovord2 6470 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  h )  e.  Q.  ->  (
x  <Q  ( g  .Q  h )  <->  ( x  .Q  ( *Q `  h
) )  <Q  (
( g  .Q  h
)  .Q  ( *Q
`  h ) ) ) )
114, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  <-> 
( x  .Q  ( *Q `  h ) ) 
<Q  ( ( g  .Q  h )  .Q  ( *Q `  h ) ) ) )
12 mulassnq 9369 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  .Q  h )  .Q  ( *Q `  h ) )  =  ( g  .Q  (
h  .Q  ( *Q
`  h ) ) )
13 recidnq 9375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
h  .Q  ( *Q
`  h ) )  =  1Q )
1413oveq2d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
g  .Q  ( h  .Q  ( *Q `  h ) ) )  =  ( g  .Q  1Q ) )
1512, 14syl5eq 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
( g  .Q  h
)  .Q  ( *Q
`  h ) )  =  ( g  .Q  1Q ) )
16 mulidnq 9373 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  Q.  ->  (
g  .Q  1Q )  =  g )
1715, 16sylan9eqr 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( ( g  .Q  h )  .Q  ( *Q `  h ) )  =  g )
1817breq2d 4409 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  <Q  ( (
g  .Q  h )  .Q  ( *Q `  h ) )  <->  ( x  .Q  ( *Q `  h
) )  <Q  g
) )
1911, 18bitrd 255 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  <-> 
( x  .Q  ( *Q `  h ) ) 
<Q  g ) )
201, 2, 19syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( x  <Q  (
g  .Q  h )  <-> 
( x  .Q  ( *Q `  h ) ) 
<Q  g ) )
21 prcdnq 9403 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  <Q  g  ->  ( x  .Q  ( *Q
`  h ) )  e.  A ) )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  <Q  g  ->  ( x  .Q  ( *Q
`  h ) )  e.  A ) )
2320, 22sylbid 217 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A ) )
24 df-mp 9394 . . . . . . . . 9  |-  .P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  .Q  z ) } )
25 mulclnq 9357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  e.  Q. )
2624, 25genpprecl 9411 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B
) ) )
2726exp4b 607 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A  ->  (
h  e.  B  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
2827com34 85 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( h  e.  B  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
2928imp32 433 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( (
x  .Q  ( *Q
`  h ) )  e.  A  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B
) ) )
3029adantlr 715 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
3123, 30syld 44 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
3231adantr 465 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
332adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  ->  h  e.  Q. )
34 mulassnq 9369 . . . . . 6  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  h ) )  .Q  h )  =  ( x  .Q  (
( *Q `  h
)  .Q  h ) )
35 mulcomnq 9363 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  h )  .Q  h )  =  ( h  .Q  ( *Q `  h ) )
3635, 13syl5eq 2457 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
( *Q `  h
)  .Q  h )  =  1Q )
3736oveq2d 6296 . . . . . 6  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( ( *Q `  h )  .Q  h ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
3834, 37syl5eq 2457 . . . . 5  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  =  ( x  .Q  1Q ) )
39 mulidnq 9373 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
4038, 39sylan9eq 2465 . . . 4  |-  ( ( h  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  =  x )
4140eleq1d 2473 . . 3  |-  ( ( h  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B )  <-> 
x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
4233, 41sylan 471 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B )  <-> 
x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
4332, 42sylibd 216 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    e. wcel 1844   class class class wbr 4397   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Q.cnq 9262   1Qc1q 9263    .Q cmq 9266   *Qcrq 9267    <Q cltq 9268   P.cnp 9269    .P. cmp 9272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-ni 9282  df-mi 9284  df-lti 9285  df-mpq 9319  df-ltpq 9320  df-enq 9321  df-nq 9322  df-erq 9323  df-mq 9325  df-1nq 9326  df-rq 9327  df-ltnq 9328  df-np 9391  df-mp 9394
This theorem is referenced by:  mulclpr  9430
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