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Theorem mulclprlem 9393
Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclprlem  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, g, h    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    A( g, h)    B( g, h)

Proof of Theorem mulclprlem
Dummy variables  y 
z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elprnq 9365 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  ->  g  e.  Q. )
2 elprnq 9365 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  h  e.  B )  ->  h  e.  Q. )
3 recclnq 9340 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  Q.  ->  ( *Q `  h )  e. 
Q. )
43adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( *Q `  h
)  e.  Q. )
5 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
6 ovex 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( g  .Q  h )  e. 
_V
7 ltmnq 9346 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  z  <->  ( w  .Q  y )  <Q  (
w  .Q  z ) ) )
8 fvex 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( *Q
`  h )  e. 
_V
9 mulcomnq 9327 . . . . . . . . 9  |-  ( y  .Q  z )  =  ( z  .Q  y
)
105, 6, 7, 8, 9caovord2 6469 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  h )  e.  Q.  ->  (
x  <Q  ( g  .Q  h )  <->  ( x  .Q  ( *Q `  h
) )  <Q  (
( g  .Q  h
)  .Q  ( *Q
`  h ) ) ) )
114, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  <-> 
( x  .Q  ( *Q `  h ) ) 
<Q  ( ( g  .Q  h )  .Q  ( *Q `  h ) ) ) )
12 mulassnq 9333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  .Q  h )  .Q  ( *Q `  h ) )  =  ( g  .Q  (
h  .Q  ( *Q
`  h ) ) )
13 recidnq 9339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
h  .Q  ( *Q
`  h ) )  =  1Q )
1413oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
g  .Q  ( h  .Q  ( *Q `  h ) ) )  =  ( g  .Q  1Q ) )
1512, 14syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
( g  .Q  h
)  .Q  ( *Q
`  h ) )  =  ( g  .Q  1Q ) )
16 mulidnq 9337 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  Q.  ->  (
g  .Q  1Q )  =  g )
1715, 16sylan9eqr 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( ( g  .Q  h )  .Q  ( *Q `  h ) )  =  g )
1817breq2d 4459 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  <Q  ( (
g  .Q  h )  .Q  ( *Q `  h ) )  <->  ( x  .Q  ( *Q `  h
) )  <Q  g
) )
1911, 18bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  <-> 
( x  .Q  ( *Q `  h ) ) 
<Q  g ) )
201, 2, 19syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( x  <Q  (
g  .Q  h )  <-> 
( x  .Q  ( *Q `  h ) ) 
<Q  g ) )
21 prcdnq 9367 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  <Q  g  ->  ( x  .Q  ( *Q
`  h ) )  e.  A ) )
2221adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  <Q  g  ->  ( x  .Q  ( *Q
`  h ) )  e.  A ) )
2320, 22sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A ) )
24 df-mp 9358 . . . . . . . . 9  |-  .P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  .Q  z ) } )
25 mulclnq 9321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  e.  Q. )
2624, 25genpprecl 9375 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A  /\  h  e.  B )  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B
) ) )
2726exp4b 607 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A  ->  (
h  e.  B  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
2827com34 83 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( h  e.  B  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) ) ) )
2928imp32 433 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  ->  ( (
x  .Q  ( *Q
`  h ) )  e.  A  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B
) ) )
3029adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  e.  A  -> 
( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
3123, 30syld 44 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  -> 
( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
3231adantr 465 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B ) ) )
332adantl 466 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  h  e.  B ) )  ->  h  e.  Q. )
34 mulassnq 9333 . . . . . 6  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  h ) )  .Q  h )  =  ( x  .Q  (
( *Q `  h
)  .Q  h ) )
35 mulcomnq 9327 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  h )  .Q  h )  =  ( h  .Q  ( *Q `  h ) )
3635, 13syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
( *Q `  h
)  .Q  h )  =  1Q )
3736oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( ( *Q `  h )  .Q  h ) )  =  ( x  .Q  1Q ) )
3834, 37syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  =  ( x  .Q  1Q ) )
39 mulidnq 9337 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  1Q )  =  x )
4038, 39sylan9eq 2528 . . . 4  |-  ( ( h  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  =  x )
4140eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ( h  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B )  <-> 
x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
4233, 41sylan 471 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( ( x  .Q  ( *Q `  h ) )  .Q  h )  e.  ( A  .P.  B )  <-> 
x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
4332, 42sylibd 214 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Q.cnq 9226   1Qc1q 9227    .Q cmq 9230   *Qcrq 9231    <Q cltq 9232   P.cnp 9233    .P. cmp 9236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ni 9246  df-mi 9248  df-lti 9249  df-mpq 9283  df-ltpq 9284  df-enq 9285  df-nq 9286  df-erq 9287  df-mq 9289  df-1nq 9290  df-rq 9291  df-ltnq 9292  df-np 9355  df-mp 9358
This theorem is referenced by:  mulclpr  9394
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