MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpr Structured version   Unicode version

Theorem mulclpr 9346
Description: Closure of multiplication on positive reals. First statement of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )

Proof of Theorem mulclpr
Dummy variables  x  y  z  w  v 
f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 9310 . 2  |-  .P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  .Q  z ) } )
2 mulclnq 9273 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  e.  Q. )
3 ltmnq 9298 . 2  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
4 mulcomnq 9279 . 2  |-  ( x  .Q  y )  =  ( y  .Q  x
)
5 mulclprlem 9345 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
61, 2, 3, 4, 5genpcl 9334 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1840  (class class class)co 6232    .Q cmq 9182   P.cnp 9185    .P. cmp 9188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-omul 7090  df-er 7266  df-ni 9198  df-mi 9200  df-lti 9201  df-mpq 9235  df-ltpq 9236  df-enq 9237  df-nq 9238  df-erq 9239  df-mq 9241  df-1nq 9242  df-rq 9243  df-ltnq 9244  df-np 9307  df-mp 9310
This theorem is referenced by:  mulasspr  9350  distrlem1pr  9351  distrlem4pr  9352  distrlem5pr  9353  mulcmpblnr  9396  mulclsr  9409  mulasssr  9415  distrsr  9416  m1m1sr  9418  1idsr  9423  00sr  9424  recexsrlem  9428  mulgt0sr  9430
  Copyright terms: Public domain W3C validator