MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpr Structured version   Unicode version

Theorem mulclpr 9181
Description: Closure of multiplication on positive reals. First statement of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )

Proof of Theorem mulclpr
Dummy variables  x  y  z  w  v 
f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 9145 . 2  |-  .P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  .Q  z ) } )
2 mulclnq 9108 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  e.  Q. )
3 ltmnq 9133 . 2  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
4 mulcomnq 9114 . 2  |-  ( x  .Q  y )  =  ( y  .Q  x
)
5 mulclprlem 9180 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
61, 2, 3, 4, 5genpcl 9169 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086    .Q cmq 9015   P.cnp 9018    .P. cmp 9021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ni 9033  df-mi 9035  df-lti 9036  df-mpq 9070  df-ltpq 9071  df-enq 9072  df-nq 9073  df-erq 9074  df-mq 9076  df-1nq 9077  df-rq 9078  df-ltnq 9079  df-np 9142  df-mp 9145
This theorem is referenced by:  mulasspr  9185  distrlem1pr  9186  distrlem4pr  9187  distrlem5pr  9188  mulcmpblnr  9233  mulclsr  9243  mulasssr  9249  distrsr  9250  m1m1sr  9252  1idsr  9257  00sr  9258  recexsrlem  9262  mulgt0sr  9264
  Copyright terms: Public domain W3C validator