Theorem mulclpi 6173

Description: Closure of multiplication of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 6165	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
2		elni 6156	. . 3 |- ((A .o B) e. N. <-> ((A .o B) e. om /\ (A .o B) =/= (/)))
3		nnmcl 5283	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) e. om)
4		pinn 6158	. . . 4 |- (A e. N. -> A e. om)
5		pinn 6158	. . . 4 |- (B e. N. -> B e. om)
6	3, 4, 5	syl2an 503	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) e. om)
7		peano1 3971	. . . . . . . . 9 |- (/) e. om
8		nnmordi 5303	. . . . . . . . 9 |- (((/) e. om /\ B e. om /\ A e. om) -> (((/) e. B /\ (/) e. A) -> (A .o (/)) e. (A .o B)))
9	7, 8	mp3an1 1178	. . . . . . . 8 |- ((B e. om /\ A e. om) -> (((/) e. B /\ (/) e. A) -> (A .o (/)) e. (A .o B)))
10	9	imp 377	. . . . . . 7 |- (((B e. om /\ A e. om) /\ ((/) e. B /\ (/) e. A)) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
11	10	an4s 566	. . . . . 6 |- (((B e. om /\ (/) e. B) /\ (A e. om /\ (/) e. A)) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
12		elni2 6157	. . . . . 6 |- (B e. N. <-> (B e. om /\ (/) e. B))
13		elni2 6157	. . . . . 6 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))
14	11, 12, 13	syl2anb 504	. . . . 5 |- ((B e. N. /\ A e. N.) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
15	14	ancoms 484	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
16		ne0i 2881	. . . 4 |- ((A .o (/)) e. (A .o B) -> (A .o B) =/= (/))
17	15, 16	syl 12	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) =/= (/))
18	2, 6, 17	sylanbrc 527	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) e. N.)
19	1, 18	eqeltrd 1971	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (/)c0 2875  omcom 3949  (class class class)co 4884   .o comu 5175  N.cnpi 6124   .N cmi 6126

This theorem is referenced by:  mulasspi 6177  distrpi 6178  mulcanpi 6179  ltmpi 6183  enqer 6198  addcmpblnq 6204  mulcmpblnq 6205  ordpipq 6208  addclpq 6210  mulclpq 6212  addasspq 6215  mulasspq 6217  distrpqlem 6218  distrpq 6219  recmulpq 6222  ltsopq 6227  ltapq 6228  ltmpq 6229  ltexpq 6232  prlem934b 6290  prlem934 6291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-ni 6152  df-mi 6154

Copyright terms: Public domain