MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Unicode version

Theorem mulclpi 9326
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 9318 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
2 pinn 9311 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
3 pinn 9311 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
4 nnmcl 7325 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
52, 3, 4syl2an 479 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
6 elni2 9310 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
76simprbi 465 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  ->  (/)  e.  B
)
87adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
(/)  e.  B )
93adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  B  e.  om )
102adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  A  e.  om )
11 elni2 9310 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
1211simprbi 465 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  N.  ->  (/)  e.  A
)
1312adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
(/)  e.  A )
14 nnmordi 7344 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) ) )
159, 10, 13, 14syl21anc 1263 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) ) )
168, 15mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) )
17 ne0i 3767 . . . 4  |-  ( ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
)  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  =/=  (/) )
19 elni 9309 . . 3  |-  ( ( A  .o  B )  e.  N.  <->  ( ( A  .o  B )  e. 
om  /\  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
205, 18, 19sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  e.  N. )
211, 20eqeltrd 2507 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    e. wcel 1872    =/= wne 2614   (/)c0 3761  (class class class)co 6306   omcom 6707    .o comu 7192   N.cnpi 9277    .N cmi 9279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-oadd 7198  df-omul 7199  df-ni 9305  df-mi 9307
This theorem is referenced by:  mulasspi  9330  distrpi  9331  mulcanpi  9333  ltmpi  9337  enqer  9354  addpqf  9377  mulpqf  9379  adderpqlem  9387  mulerpqlem  9388  addassnq  9391  mulassnq  9392  mulcanenq  9393  distrnq  9394  recmulnq  9397  ltsonq  9402  lterpq  9403  ltanq  9404  ltmnq  9405  ltexnq  9408  archnq  9413
  Copyright terms: Public domain W3C validator