MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpi Structured version   Unicode version

Theorem mulclpi 9166
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )

Proof of Theorem mulclpi
StepHypRef Expression
1 mulpiord 9158 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
2 pinn 9151 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
3 pinn 9151 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
4 nnmcl 7154 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
52, 3, 4syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  e.  om )
6 elni2 9150 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  N.  <->  ( B  e.  om  /\  (/)  e.  B
) )
76simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( B  e.  N.  ->  (/)  e.  B
)
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
(/)  e.  B )
93adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  B  e.  om )
102adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  A  e.  om )
11 elni2 9150 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
1211simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  N.  ->  (/)  e.  A
)
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
(/)  e.  A )
14 nnmordi 7173 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) ) )
159, 10, 13, 14syl21anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( (/)  e.  B  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) ) )
168, 15mpd 15 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
) )
17 ne0i 3744 . . . 4  |-  ( ( A  .o  (/) )  e.  ( A  .o  B
)  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  =/=  (/) )
19 elni 9149 . . 3  |-  ( ( A  .o  B )  e.  N.  <->  ( ( A  .o  B )  e. 
om  /\  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
205, 18, 19sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .o  B
)  e.  N. )
211, 20eqeltrd 2539 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    =/= wne 2644   (/)c0 3738  (class class class)co 6193   omcom 6579    .o comu 7021   N.cnpi 9115    .N cmi 9117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-ni 9145  df-mi 9147
This theorem is referenced by:  mulasspi  9170  distrpi  9171  mulcanpi  9173  ltmpi  9177  enqer  9194  addpqf  9217  mulpqf  9219  adderpqlem  9227  mulerpqlem  9228  addassnq  9231  mulassnq  9232  mulcanenq  9233  distrnq  9234  recmulnq  9237  ltsonq  9242  lterpq  9243  ltanq  9244  ltmnq  9245  ltexnq  9248  archnq  9253
  Copyright terms: Public domain W3C validator