MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclnq Structured version   Unicode version

Theorem mulclnq 9321
Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  e.  Q. )

Proof of Theorem mulclnq
StepHypRef Expression
1 mulpqnq 9315 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  =  ( /Q
`  ( A  .pQ  B ) ) )
2 elpqn 9299 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
3 elpqn 9299 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
4 mulpqf 9320 . . . . 5  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
54fovcl 6389 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
62, 3, 5syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. ) )
7 nqercl 9305 . . 3  |-  ( ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  ( A  .pQ  B ) )  e.  Q. )
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  e.  Q. )
91, 8eqeltrd 2555 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  e.  Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   N.cnpi 9218    .pQ cmpq 9223   Q.cnq 9226   /Qcerq 9228    .Q cmq 9230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ni 9246  df-mi 9248  df-lti 9249  df-mpq 9283  df-enq 9285  df-nq 9286  df-erq 9287  df-mq 9289  df-1nq 9290
This theorem is referenced by:  ltrnq  9353  mpv  9385  dmmp  9387  mulclprlem  9393  mulclpr  9394  mulasspr  9398  distrlem1pr  9399  distrlem4pr  9400  distrlem5pr  9401  1idpr  9403  prlem934  9407  prlem936  9421  reclem3pr  9423  reclem4pr  9424
  Copyright terms: Public domain W3C validator