MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclnq Structured version   Unicode version

Theorem mulclnq 9374
Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  e.  Q. )

Proof of Theorem mulclnq
StepHypRef Expression
1 mulpqnq 9368 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  =  ( /Q
`  ( A  .pQ  B ) ) )
2 elpqn 9352 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
3 elpqn 9352 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
4 mulpqf 9373 . . . . 5  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
54fovcl 6413 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
62, 3, 5syl2an 480 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. ) )
7 nqercl 9358 . . 3  |-  ( ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  ( A  .pQ  B ) )  e.  Q. )
86, 7syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  e.  Q. )
91, 8eqeltrd 2511 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  B
)  e.  Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1869    X. cxp 4849   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   N.cnpi 9271    .pQ cmpq 9276   Q.cnq 9279   /Qcerq 9281    .Q cmq 9283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-ni 9299  df-mi 9301  df-lti 9302  df-mpq 9336  df-enq 9338  df-nq 9339  df-erq 9340  df-mq 9342  df-1nq 9343
This theorem is referenced by:  ltrnq  9406  mpv  9438  dmmp  9440  mulclprlem  9446  mulclpr  9447  mulasspr  9451  distrlem1pr  9452  distrlem4pr  9453  distrlem5pr  9454  1idpr  9456  prlem934  9460  prlem936  9474  reclem3pr  9476  reclem4pr  9477
  Copyright terms: Public domain W3C validator