Theorem mulcli 6474

Description: Closure law for multiplication.

Hypotheses

Ref	Expression
axi.1	|- A e. CC
axi.2	|- B e. CC

Assertion

Ref	Expression
mulcli	|- (A x. B) e. CC

Proof of Theorem mulcli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axi.1	. 2 |- A e. CC
2		axi.2	. 2 |- B e. CC
3		mulcl 6456	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
4	1, 2, 3	mp2an 761	1 |- (A x. B) e. CC

Syntax hints:   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  CCcc 6384   x. cmul 6391

This theorem is referenced by:  0cn 6481  mul01i 6594  mul2negi 6610  ixi 6872  ixiOLD 6873  divreci 6920  binom2i 7890  binom2aiOLD 7891  discrlem1 7906  nnesqi 7912  nn0opthi 7916  sqrlem11 7933  sqr2irrlem1 7974  irec 7981  crulem 7986  crui 7987  crne0i 7989  crmuli 7990  crreczi 7991  rimul 7994  cjcji 8028  cjrebi 8031  recji 8032  imcji 8033  readdi 8034  imaddi 8035  cjaddi 8038  cjmuli 8039  cjmulrcli 8041  renegi 8044  imnegi 8046  cjnegi 8047  addcji 8048  imcj 8069  rei 8074  imi 8075  abs00i 8093  absmuli 8098  absi 8130  abstrii 8143  abs1mi 8156  faclbnd4lem1 8200  bcpasc2i 8219  arisumi 8487  geolimilem 8497  eirrlem2 8652  eirrlem3 8653  sincl 8696  sinneg 8707  efival 8712  sinaddi 8716  cosaddi 8717  ip0i 9825  ip1ilem 9826  ipasslem10 9840  siilem1 9852  minveclem36 9925  sinco 10016  sincn 10018  sinhalfpilem 10028  sinperlem2 10036  sinper 10039  cosper 10040  sin2pim 10041  cos2pim 10042  sincos4thpi 10060  sincos6thpi 10061  abssinper 10062  sineq0re 10067  cosh111lem1 10068  efper 10101  eff1o 10102  pilog 10122  normlem0 10608  normlem1 10609  normlem2 10610  normlem3 10611  normlem5 10613  normlem7 10615  bcseqi 10619  norm-ii.i 10637  normpar2i 10656  polid2i 10657  projlem3 10821  projlem4 10822  pjthlem5 10856  pjthlem7 10858  h1de2i 11109  lnopunilem1 11572  lnophmlem2 11579  gcdaddmlem 13734  cntrsetlem 14999  pcopt 16084

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-m1r 6325  df-c 6392  df-mul 6398

Copyright terms: Public domain