Theorem mulcanpi 9267

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by NM, 4-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem mulcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 9260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
2		eleq1 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A .N B ) e. N. <-> ( A .N C ) e. N. ) )
3	1, 2	syl5ib 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. ) )
4	3	imp 427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( A .N C ) e. N. )
5		dmmulpi 9258	. . . . . . . . 9 |- dom .N = ( N. X. N. )
6		0npi 9249	. . . . . . . . 9 |- -. (/) e. N.
7	5, 6	ndmovrcl 6434	. . . . . . . 8 |- ( ( A .N C ) e. N. -> ( A e. N. /\ C e. N. ) )
8		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> C e. N. )
9	4, 7, 8	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> C e. N. )
10		mulpiord 9252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
11	10	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
12		mulpiord 9252	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
13	12	adantlr 712	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
14	11, 13	eqeq12d 2476	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> ( A .o B ) = ( A .o C ) ) )
15		pinn 9245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. N. -> A e. om )
16		pinn 9245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. N. -> B e. om )
17		pinn 9245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. N. -> C e. om )
18		elni2 9244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
19	18	simprbi 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
20		nnmcan 7275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )
21	20	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
22	19, 21	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ A e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
23	22	ex 432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
24	15, 16, 17, 23	syl3an 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
25	24	3exp 1193	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
26	25	com4r 86	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
27	26	pm2.43i 47	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) )
28	27	imp31 430	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
29	14, 28	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
30	9, 29	sylan2 472	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
31	30	exp32 603	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) ) ) )
32	31	imp4b 588	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C ) )
33	32	pm2.43i 47	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C )
34	33	ex 432	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
35		oveq2 6278	. 2 |- ( B = C -> ( A .N B ) = ( A .N C ) )
36	34, 35	impbid1 203	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   (/)c0 3783  (class class class)co 6270   omcom 6673   .o comu 7120   N.cnpi 9211   .N cmi 9213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-ni 9239  df-mi 9241

This theorem is referenced by:  enqer  9288  nqereu  9296  adderpqlem  9321  mulerpqlem  9322