Theorem mulcanpi 9330

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by NM, 4-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem mulcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 9323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
2		eleq1 2519	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A .N B ) e. N. <-> ( A .N C ) e. N. ) )
3	1, 2	syl5ib 223	. . . . . . . . 9 |- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. ) )
4	3	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( A .N C ) e. N. )
5		dmmulpi 9321	. . . . . . . . 9 |- dom .N = ( N. X. N. )
6		0npi 9312	. . . . . . . . 9 |- -. (/) e. N.
7	5, 6	ndmovrcl 6460	. . . . . . . 8 |- ( ( A .N C ) e. N. -> ( A e. N. /\ C e. N. ) )
8		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> C e. N. )
9	4, 7, 8	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> C e. N. )
10		mulpiord 9315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
11	10	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
12		mulpiord 9315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
13	12	adantlr 722	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
14	11, 13	eqeq12d 2468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> ( A .o B ) = ( A .o C ) ) )
15		pinn 9308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. N. -> A e. om )
16		pinn 9308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. N. -> B e. om )
17		pinn 9308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. N. -> C e. om )
18		elni2 9307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
19	18	simprbi 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
20		nnmcan 7340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )
21	20	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
22	19, 21	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ A e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
23	22	ex 436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
24	15, 16, 17, 23	syl3an 1311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
25	24	3exp 1208	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
26	25	com4r 89	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
27	26	pm2.43i 49	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) )
28	27	imp31 434	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
29	14, 28	sylbid 219	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
30	9, 29	sylan2 477	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
31	30	exp32 610	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) ) ) )
32	31	imp4b 595	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C ) )
33	32	pm2.43i 49	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C )
34	33	ex 436	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
35		oveq2 6303	. 2 |- ( B = C -> ( A .N B ) = ( A .N C ) )
36	34, 35	impbid1 207	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   (/)c0 3733  (class class class)co 6295   omcom 6697   .o comu 7185   N.cnpi 9274   .N cmi 9276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-oadd 7191  df-omul 7192  df-ni 9302  df-mi 9304

This theorem is referenced by:  enqer  9351  nqereu  9359  adderpqlem  9384  mulerpqlem  9385