Theorem mulcanpi 8733

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by NM, 4-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem mulcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 8726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
2		eleq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A .N B ) e. N. <-> ( A .N C ) e. N. ) )
3	1, 2	syl5ib 211	. . . . . . . . 9 |- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. ) )
4	3	imp 419	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( A .N C ) e. N. )
5		dmmulpi 8724	. . . . . . . . 9 |- dom .N = ( N. X. N. )
6		0npi 8715	. . . . . . . . 9 |- -. (/) e. N.
7	5, 6	ndmovrcl 6192	. . . . . . . 8 |- ( ( A .N C ) e. N. -> ( A e. N. /\ C e. N. ) )
8		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> C e. N. )
9	4, 7, 8	3syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> C e. N. )
10		mulpiord 8718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
11	10	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
12		mulpiord 8718	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
13	12	adantlr 696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
14	11, 13	eqeq12d 2418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> ( A .o B ) = ( A .o C ) ) )
15		pinn 8711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. N. -> A e. om )
16		pinn 8711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. N. -> B e. om )
17		pinn 8711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. N. -> C e. om )
18		elni2 8710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
19	18	simprbi 451	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
20		nnmcan 6836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )
21	20	biimpd 199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
22	19, 21	sylan2 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ A e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
23	22	ex 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
24	15, 16, 17, 23	syl3an 1226	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
25	24	3exp 1152	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
26	25	com4r 82	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
27	26	pm2.43i 45	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) )
28	27	imp31 422	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
29	14, 28	sylbid 207	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
30	9, 29	sylan2 461	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
31	30	exp32 589	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) ) ) )
32	31	imp4b 574	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C ) )
33	32	pm2.43i 45	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C )
34	33	ex 424	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
35		oveq2 6048	. 2 |- ( B = C -> ( A .N B ) = ( A .N C ) )
36	34, 35	impbid1 195	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   (/)c0 3588   omcom 4804  (class class class)co 6040   .o comu 6681   N.cnpi 8675   .N cmi 8677

This theorem is referenced by:  enqer  8754  nqereu  8762  adderpqlem  8787  mulerpqlem  8788

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-ni 8705  df-mi 8707