Theorem mulcanpi 6179

Description: Multiplication cancellation law for positive integers.

Hypothesis

Ref	Expression
mulcanpi.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
mulcanpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))

Proof of Theorem mulcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 6165	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
2	1	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
3		mulpiord 6165	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
4	3	adantlr 429	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
5	2, 4	eqeq12d 1899	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) <-> (A .o B) = (A .o C)))
6		nnmcan 5305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))
7	6	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
8		elni2 6157	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))
9	8	simprbi 353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. N. -> (/) e. A)
10	7, 9	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ A e. N.) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
11	10	ex 402	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))
12		pinn 6158	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. N. -> A e. om)
13		pinn 6158	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. N. -> B e. om)
14		pinn 6158	. . . . . . . . . . . 12 |- (C e. N. -> C e. om)
15	11, 12, 13, 14	syl3an 1139	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))
16	15	3exp 1066	. . . . . . . . . 10 |- (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))))
17	16	com4r 45	. . . . . . . . 9 |- (A e. N. -> (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))))
18	17	pm2.43i 78	. . . . . . . 8 |- (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))))
19	18	imp31 389	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
20	5, 19	sylbid 220	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))
21		eleq1 1957	. . . . . . . . 9 |- ((A .N B) = (A .N C) -> ((A .N B) e. N. <-> (A .N C) e. N.))
22		mulclpi 6173	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)
23	21, 22	syl5bi 225	. . . . . . . 8 |- ((A .N B) = (A .N C) -> ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N C) e. N.))
24	23	imp 377	. . . . . . 7 |- (((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> (A .N C) e. N.)
25		mulcanpi.1	. . . . . . . 8 |- C e. _V
26		dmmulpi 6171	. . . . . . . 8 |- dom .N = (N. X. N.)
27		0npi 6162	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. N.
28	25, 26, 27	ndmoprrcl 4979	. . . . . . 7 |- ((A .N C) e. N. -> (A e. N. /\ C e. N.))
29		simpr 350	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> C e. N.)
30	24, 28, 29	3syl 24	. . . . . 6 |- (((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> C e. N.)
31	20, 30	sylan2 500	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ ((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.))) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))
32	31	exp32 408	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))))
33	32	imp4b 392	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> B = C))
34	33	pm2.43i 78	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> B = C)
35	34	ex 402	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  omcom 3949  (class class class)co 4884   .o comu 5175  N.cnpi 6124   .N cmi 6126

This theorem is referenced by:  enqer 6198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-ni 6152  df-mi 6154

Copyright terms: Public domain