Theorem mulcanpi 9290

Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by NM, 4-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulcanpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Proof of Theorem mulcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulclpi 9283	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) e. N. )
2		eleq1 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A .N B ) e. N. <-> ( A .N C ) e. N. ) )
3	1, 2	syl5ib 219	. . . . . . . . 9 |- ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N C ) e. N. ) )
4	3	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> ( A .N C ) e. N. )
5		dmmulpi 9281	. . . . . . . . 9 |- dom .N = ( N. X. N. )
6		0npi 9272	. . . . . . . . 9 |- -. (/) e. N.
7	5, 6	ndmovrcl 6456	. . . . . . . 8 |- ( ( A .N C ) e. N. -> ( A e. N. /\ C e. N. ) )
8		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> C e. N. )
9	4, 7, 8	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) -> C e. N. )
10		mulpiord 9275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
11	10	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N B ) = ( A .o B ) )
12		mulpiord 9275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. N. /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
13	12	adantlr 714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( A .N C ) = ( A .o C ) )
14	11, 13	eqeq12d 2489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> ( A .o B ) = ( A .o C ) ) )
15		pinn 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. N. -> A e. om )
16		pinn 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. N. -> B e. om )
17		pinn 9268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C e. N. -> C e. om )
18		elni2 9267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. N. <-> ( A e. om /\ (/) e. A ) )
19	18	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. N. -> (/) e. A )
20		nnmcan 7295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) <-> B = C ) )
21	20	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
22	19, 21	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) /\ A e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
23	22	ex 434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
24	15, 16, 17, 23	syl3an 1270	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N. ) -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) )
25	24	3exp 1195	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( A e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
26	25	com4r 86	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. N. -> ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) ) )
27	26	pm2.43i 47	. . . . . . . . 9 |- ( A e. N. -> ( B e. N. -> ( C e. N. -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) ) ) )
28	27	imp31 432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .o B ) = ( A .o C ) -> B = C ) )
29	14, 28	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ C e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
30	9, 29	sylan2 474	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( ( A .N B ) = ( A .N C ) /\ ( A e. N. /\ B e. N. ) ) ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
31	30	exp32 605	. . . . 5 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) ) ) )
32	31	imp4b 590	. . . 4 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C ) )
33	32	pm2.43i 47	. . 3 |- ( ( ( A e. N. /\ B e. N. ) /\ ( A .N B ) = ( A .N C ) ) -> B = C )
34	33	ex 434	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) -> B = C ) )
35		oveq2 6303	. 2 |- ( B = C -> ( A .N B ) = ( A .N C ) )
36	34, 35	impbid1 203	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A .N B ) = ( A .N C ) <-> B = C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   (/)c0 3790  (class class class)co 6295   omcom 6695   .o comu 7140   N.cnpi 9234   .N cmi 9236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-ni 9262  df-mi 9264

This theorem is referenced by:  enqer  9311  nqereu  9319  adderpqlem  9344  mulerpqlem  9345