Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Structured version   Unicode version

Theorem mulcanenq 9336
 Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6257 . . . . . . 7
21opeq1d 4136 . . . . . 6
3 opeq1 4130 . . . . . 6
42, 3breq12d 4379 . . . . 5
54imbi2d 317 . . . 4
6 oveq2 6257 . . . . . . 7
76opeq2d 4137 . . . . . 6
8 opeq2 4131 . . . . . 6
97, 8breq12d 4379 . . . . 5
109imbi2d 317 . . . 4
11 mulcompi 9272 . . . . . . . . 9
1211oveq2i 6260 . . . . . . . 8
13 mulasspi 9273 . . . . . . . 8
14 mulasspi 9273 . . . . . . . 8
1512, 13, 143eqtr4i 2460 . . . . . . 7
16 mulclpi 9269 . . . . . . . . 9
17163adant3 1025 . . . . . . . 8
18 mulclpi 9269 . . . . . . . . 9
19183adant2 1024 . . . . . . . 8
20 3simpc 1004 . . . . . . . 8
21 enqbreq 9295 . . . . . . . 8
2217, 19, 20, 21syl21anc 1263 . . . . . . 7
2315, 22mpbiri 236 . . . . . 6
24233expb 1206 . . . . 5
2524expcom 436 . . . 4
265, 10, 25vtocl2ga 3090 . . 3
2726impcom 431 . 2
28273impb 1201 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  cop 3947   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249  cnpi 9220   cmi 9222   ceq 9227 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-ni 9248  df-mi 9250  df-enq 9287 This theorem is referenced by:  distrnq  9337  1nqenq  9338  ltexnq  9351
 Copyright terms: Public domain W3C validator