MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Structured version   Unicode version

Theorem mulcanenq 9336
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables  b 
c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6257 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A  .N  b )  =  ( A  .N  B
) )
21opeq1d 4136 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  =  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c
) >. )
3 opeq1 4130 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  <. b ,  c >.  =  <. B ,  c >. )
42, 3breq12d 4379 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( <. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. 
<-> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. ) )
54imbi2d 317 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. )  <->  ( A  e. 
N.  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c )
>.  ~Q  <. B ,  c
>. ) ) )
6 oveq2 6257 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  ( A  .N  c )  =  ( A  .N  C
) )
76opeq2d 4137 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  c
) >.  =  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >. )
8 opeq2 4131 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  <. B , 
c >.  =  <. B ,  C >. )
97, 8breq12d 4379 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  ( <. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. 
<-> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >. ) )
109imbi2d 317 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. B ,  c
>. )  <->  ( A  e. 
N.  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C )
>.  ~Q  <. B ,  C >. ) ) )
11 mulcompi 9272 . . . . . . . . 9  |-  ( b  .N  c )  =  ( c  .N  b
)
1211oveq2i 6260 . . . . . . . 8  |-  ( A  .N  ( b  .N  c ) )  =  ( A  .N  (
c  .N  b ) )
13 mulasspi 9273 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( A  .N  (
b  .N  c ) )
14 mulasspi 9273 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  c )  .N  b )  =  ( A  .N  (
c  .N  b ) )
1512, 13, 143eqtr4i 2460 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( ( A  .N  c )  .N  b
)
16 mulclpi 9269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N. )  ->  ( A  .N  b
)  e.  N. )
17163adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  b )  e. 
N. )
18 mulclpi 9269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  c
)  e.  N. )
19183adant2 1024 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  .N  c )  e. 
N. )
20 3simpc 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  (
b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)
21 enqbreq 9295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  .N  b )  e.  N.  /\  ( A  .N  c
)  e.  N. )  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)  ->  ( <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c >.  <->  ( ( A  .N  b )  .N  c )  =  ( ( A  .N  c
)  .N  b ) ) )
2217, 19, 20, 21syl21anc 1263 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( <. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. 
<->  ( ( A  .N  b )  .N  c
)  =  ( ( A  .N  c )  .N  b ) ) )
2315, 22mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  ~Q  <. b ,  c >. )
24233expb 1206 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )
)  ->  <. ( A  .N  b ) ,  ( A  .N  c
) >.  ~Q  <. b ,  c >. )
2524expcom 436 . . . 4  |-  ( ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  b
) ,  ( A  .N  c ) >.  ~Q  <. b ,  c
>. ) )
265, 10, 25vtocl2ga 3090 . . 3  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  -> 
<. ( A  .N  B
) ,  ( A  .N  C ) >.  ~Q  <. B ,  C >. ) )
2726impcom 431 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
28273impb 1201 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  <. ( A  .N  B ) ,  ( A  .N  C
) >.  ~Q  <. B ,  C >. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   <.cop 3947   class class class wbr 4366  (class class class)co 6249   N.cnpi 9220    .N cmi 9222    ~Q ceq 9227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-ni 9248  df-mi 9250  df-enq 9287
This theorem is referenced by:  distrnq  9337  1nqenq  9338  ltexnq  9351
  Copyright terms: Public domain W3C validator