MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanad Structured version   Unicode version

Theorem mulcanad 10175
Description: Cancellation of a nonzero factor on the left in an equation. One-way deduction form of mulcand 10173. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcanad.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulcanad.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulcanad.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mulcanad.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
mulcanad.5  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  =  ( C  x.  B ) )
Assertion
Ref Expression
mulcanad  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem mulcanad
StepHypRef Expression
1 mulcanad.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  A
)  =  ( C  x.  B ) )
2 mulcanad.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 mulcanad.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 mulcanad.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 mulcanad.4 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
62, 3, 4, 5mulcand 10173 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  =  ( C  x.  B )  <-> 
A  =  B ) )
71, 6mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483    x. cmul 9488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by:  qredeu  14098  gexexlem  16646  ssscongptld  22879  heron  22892  dcubic  22900  dvdsmulf1o  23193  dchrsum2  23266  sumdchr2  23268  2sqlem8  23370  ax5seg  23912  ipasslem4  25413  oddpwdc  27921  pell1234qrreccl  30383  pell14qrdich  30398  rmxyneg  30449  cevathlem1  31508
  Copyright terms: Public domain W3C validator