MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcan2ad Structured version   Unicode version

Theorem mulcan2ad 9964
Description: Cancellation of a nonzero factor on the right in an equation. One-way deduction form of mulcan2d 9962. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcanad.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulcanad.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulcanad.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mulcanad.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
mulcan2ad.5  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( B  x.  C ) )
Assertion
Ref Expression
mulcan2ad  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem mulcan2ad
StepHypRef Expression
1 mulcan2ad.5 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( B  x.  C ) )
2 mulcanad.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 mulcanad.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 mulcanad.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
5 mulcanad.4 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
62, 3, 4, 5mulcan2d 9962 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  =  ( B  x.  C )  <-> 
A  =  B ) )
71, 6mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    x. cmul 9279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  16119  odadd2  16322  dquartlem2  22222  lgsquadlem1  22668  ax5seglem6  23131  pellfund14  29192
  Copyright terms: Public domain W3C validator