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Theorem mulc1cncf 20381
Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
mulc1cncf.1  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) )
Assertion
Ref Expression
mulc1cncf  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem mulc1cncf
Dummy variables  u  t  v  w  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulcl 9362 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( A  x.  x
)  e.  CC )
2 mulc1cncf.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  CC  |->  ( A  x.  x
) )
31, 2fmptd 5864 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  F : CC --> CC )
4 simprr 751 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  z  e.  RR+ )
5 simpl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  A  e.  CC )
6 simprl 750 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  y  e.  CC )
7 mulcn2 13069 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  RR+  /\  A  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) )
84, 5, 6, 7syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) )
9 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  A  ->  (
v  -  A )  =  ( A  -  A ) )
109fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  A  ->  ( abs `  ( v  -  A ) )  =  ( abs `  ( A  -  A )
) )
1110breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  (
( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  <->  ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t
) )
1211anbi1d 699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  <->  ( ( abs `  ( A  -  A ) )  < 
t  /\  ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w
) ) )
13 oveq1 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  A  ->  (
v  x.  u )  =  ( A  x.  u ) )
1413oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  A  ->  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )
1514fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  A  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) ) )
1615breq1d 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  A  ->  (
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) )  <  z
) )
1712, 16imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( ( abs `  ( v  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
1817ralbidv 2733 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  A  ->  ( A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  <->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
1918rspcv 3066 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
2019ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
21 subid 9624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  A )  =  0 )
2221ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( A  -  A
)  =  0 )
2322abs00bd 12776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  ( A  -  A )
)  =  0 )
24 simprll 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
t  e.  RR+ )
2524rpgt0d 11026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
0  <  t )
2623, 25eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  ( A  -  A )
)  <  t )
2726biantrurd 505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  <->  ( ( abs `  ( A  -  A ) )  < 
t  /\  ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w
) ) )
28 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
29 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
30 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  x.  u )  e. 
_V
3129, 2, 30fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  CC  ->  ( F `  u )  =  ( A  x.  u ) )
3228, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( F `  u
)  =  ( A  x.  u ) )
33 simplrl 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
y  e.  CC )
34 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  y ) )
35 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  x.  y )  e. 
_V
3634, 2, 35fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  CC  ->  ( F `  y )  =  ( A  x.  y ) )
3733, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( A  x.  y ) )
3832, 37oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( F `  u )  -  ( F `  y )
)  =  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y ) ) )
3938fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) ) )
4039breq1d 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z  <->  ( abs `  ( ( A  x.  u )  -  ( A  x.  y )
) )  <  z
) )
4127, 40imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( (
t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )  /\  u  e.  CC ) )  -> 
( ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4241anassrs 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ )
)  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <-> 
( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4342ralbidva 2729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. u  e.  CC  ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z )  <->  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( A  -  A
) )  <  t  /\  ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w )  ->  ( abs `  (
( A  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z ) ) )
4420, 43sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  ( t  e.  RR+  /\  w  e.  RR+ ) )  ->  ( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  (
( ( abs `  (
v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  <  w )  -> 
( abs `  (
( v  x.  u
)  -  ( A  x.  y ) ) )  <  z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4544anassrs 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ ) )  /\  t  e.  RR+ )  /\  w  e.  RR+ )  -> 
( A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4645reximdva 2826 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
4746rexlimdva 2839 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  ( E. t  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. v  e.  CC  A. u  e.  CC  ( ( ( abs `  ( v  -  A ) )  <  t  /\  ( abs `  ( u  -  y ) )  < 
w )  ->  ( abs `  ( ( v  x.  u )  -  ( A  x.  y
) ) )  < 
z )  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
488, 47mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( y  e.  CC  /\  z  e.  RR+ )
)  ->  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  ( ( abs `  ( u  -  y
) )  <  w  ->  ( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) )
4948ralrimivva 2806 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) )
50 ssid 3372 . . 3  |-  CC  C_  CC
51 elcncf2 20366 . . 3  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( F  e.  ( CC -cn-> CC )  <->  ( F : CC
--> CC  /\  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) ) )
5250, 50, 51mp2an 667 . 2  |-  ( F  e.  ( CC -cn-> CC )  <->  ( F : CC
--> CC  /\  A. y  e.  CC  A. z  e.  RR+  E. w  e.  RR+  A. u  e.  CC  (
( abs `  (
u  -  y ) )  <  w  -> 
( abs `  (
( F `  u
)  -  ( F `
 y ) ) )  <  z ) ) )
533, 49, 52sylanbrc 659 1  |-  ( A  e.  CC  ->  F  e.  ( CC -cn-> CC ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714    C_ wss 3325   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278    x. cmul 9283    < clt 9414    - cmin 9591   RR+crp 10987   abscabs 12719   -cn->ccncf 20352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-cncf 20354
This theorem is referenced by:  divccncf  20382  sincn  21852  coscn  21853  logcn  22035  mulc1cncfg  29679
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