Theorem mulc1cncf 8541

Description: Multiplication by a constant is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 28-Nov-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulc1cncf.1	|- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (A x. x))}

Assertion

Ref	Expression
mulc1cncf	|- (A e. CC -> F e. (CC-cn->CC))

Distinct variable group:   x,A,y

Proof of Theorem mulc1cncf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2634	. 2 |- CC C_ CC
2		mulcl 6456	. . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ x e. CC) -> (A x. x) e. CC)
3	2	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- (A e. CC -> A.x e. CC (A x. x) e. CC)
4		mulc1cncf.1	. . . . . . 7 |- F = {<.x, y>. | (x e. CC /\ y = (A x. x))}
5	4	fopab2 4796	. . . . . 6 |- (A.x e. CC (A x. x) e. CC <-> F:CC-->CC)
6	3, 5	sylib 215	. . . . 5 |- (A e. CC -> F:CC-->CC)
7	6	adantr 425	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A = 0) -> F:CC-->CC)
8		1rp 7235	. . . . 5 |- 1 e. RR+
9	8	a1i12 9	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A = 0) -> ((z e. CC /\ v e. RR+) -> 1 e. RR+))
10		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = 0 -> (A x. (z - w)) = (0 x. (z - w)))
11	10	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- (A = 0 -> (abs` (A x. (z - w))) = (abs` (0 x. (z - w))))
12	11	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((A = 0 /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (abs` (A x. (z - w))) = (abs` (0 x. (z - w))))
13		subdi 6590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ z e. CC /\ w e. CC) -> (A x. (z - w)) = ((A x. z) - (A x. w)))
14	13	3expb 1068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (A x. (z - w)) = ((A x. z) - (A x. w)))
15		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = z -> (A x. x) = (A x. z))
16	15, 4	fvopab4g 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. CC /\ (A x. z) e. CC) -> (F` z) = (A x. z))
17		mulcl 6456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. CC /\ z e. CC) -> (A x. z) e. CC)
18	16, 17	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z e. CC /\ (A e. CC /\ z e. CC)) -> (F` z) = (A x. z))
19	18	anabss7 561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ z e. CC) -> (F` z) = (A x. z))
20	19	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (F` z) = (A x. z))
21		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = w -> (A x. x) = (A x. w))
22	21, 4	fvopab4g 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w e. CC /\ (A x. w) e. CC) -> (F` w) = (A x. w))
23		mulcl 6456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A e. CC /\ w e. CC) -> (A x. w) e. CC)
24	22, 23	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w e. CC /\ (A e. CC /\ w e. CC)) -> (F` w) = (A x. w))
25	24	anabss7 561	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. CC /\ w e. CC) -> (F` w) = (A x. w))
26	25	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (F` w) = (A x. w))
27	20, 26	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> ((F` z) - (F` w)) = ((A x. z) - (A x. w)))
28	14, 27	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (A x. (z - w)) = ((F` z) - (F` w)))
29	28	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (abs` (A x. (z - w))) = (abs` ((F` z) - (F` w))))
30		0cn 6481	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
31		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (A = 0 -> (A e. CC <-> 0 e. CC))
32	30, 31	mpbiri 211	. . . . . . . . . . 11 |- (A = 0 -> A e. CC)
33	29, 32	sylan 497	. . . . . . . . . 10 |- ((A = 0 /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (abs` (A x. (z - w))) = (abs` ((F` z) - (F` w))))
34		subcl 6524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. CC /\ w e. CC) -> (z - w) e. CC)
35		mul02 6607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z - w) e. CC -> (0 x. (z - w)) = 0)
36	34, 35	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. CC /\ w e. CC) -> (0 x. (z - w)) = 0)
37	36	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. CC /\ w e. CC) -> (abs` (0 x. (z - w))) = (abs` 0))
38		abs0 8129	. . . . . . . . . . . 12 |- (abs` 0) = 0
39	37, 38	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CC /\ w e. CC) -> (abs` (0 x. (z - w))) = 0)
40	39	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((A = 0 /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (abs` (0 x. (z - w))) = 0)
41	12, 33, 40	3eqtr3d 1934	. . . . . . . . 9 |- ((A = 0 /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (abs` ((F` z) - (F` w))) = 0)
42	41	3adant3 896	. . . . . . . 8 |- ((A = 0 /\ (z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) -> (abs` ((F` z) - (F` w))) = 0)
43		elrp 7233	. . . . . . . . . 10 |- (v e. RR+ <-> (v e. RR /\ 0 < v))
44	43	simprbi 353	. . . . . . . . 9 |- (v e. RR+ -> 0 < v)
45	44	3ad2ant3 899	. . . . . . . 8 |- ((A = 0 /\ (z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) -> 0 < v)
46	42, 45	eqbrtrd 3357	. . . . . . 7 |- ((A = 0 /\ (z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) -> (abs` ((F` z) - (F` w))) < v)
47	46	a1d 15	. . . . . 6 |- ((A = 0 /\ (z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) -> ((abs` (z - w)) < 1 -> (abs` ((F` z) - (F` w))) < v))
48	47	3adant1l 1090	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ A = 0) /\ (z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) -> ((abs` (z - w)) < 1 -> (abs` ((F` z) - (F` w))) < v))
49	48	3expib 1070	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A = 0) -> (((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) -> ((abs` (z - w)) < 1 -> (abs` ((F` z) - (F` w))) < v)))
50	7, 9, 49	elcncf1di 8532	. . 3 |- ((A e. CC /\ A = 0) -> ((CC C_ CC /\ CC C_ CC) -> F e. (CC-cn->CC)))
51	6	adantr 425	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> F:CC-->CC)
52		elrp 7233	. . . . . . 7 |- ((v / (abs` A)) e. RR+ <-> ((v / (abs` A)) e. RR /\ 0 < (v / (abs` A))))
53		redivcl 6978	. . . . . . . . 9 |- ((v e. RR /\ (abs` A) e. RR /\ (abs` A) =/= 0) -> (v / (abs` A)) e. RR)
54	53	3expb 1068	. . . . . . . 8 |- ((v e. RR /\ ((abs` A) e. RR /\ (abs` A) =/= 0)) -> (v / (abs` A)) e. RR)
55	43	simplbi 349	. . . . . . . 8 |- (v e. RR+ -> v e. RR)
56		abscl 8084	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (abs` A) e. RR)
57	56	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) e. RR)
58		abs00 8104	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> ((abs` A) = 0 <-> A = 0))
59	58	necon3bid 2035	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> ((abs` A) =/= 0 <-> A =/= 0))
60	59	biimpar 461	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (abs` A) =/= 0)
61	57, 60	jca 310	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((abs` A) e. RR /\ (abs` A) =/= 0))
62	54, 55, 61	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((v e. RR+ /\ (A e. CC /\ A =/= 0)) -> (v / (abs` A)) e. RR)
63		divgt0 7037	. . . . . . . . 9 |- (((v e. RR /\ 0 < v) /\ ((abs` A) e. RR /\ 0 < (abs` A))) -> 0 < (v / (abs` A)))
64	63, 43	sylanb 498	. . . . . . . 8 |- ((v e. RR+ /\ ((abs` A) e. RR /\ 0 < (abs` A))) -> 0 < (v / (abs` A)))
65		absgt0 8145	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. CC -> (A =/= 0 <-> 0 < (abs` A)))
66	65	biimpd 170	. . . . . . . . . 10 |- (A e. CC -> (A =/= 0 -> 0 < (abs` A)))
67	66	imdistani 491	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (A e. CC /\ 0 < (abs` A)))
68	56	anim1i 361	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ 0 < (abs` A)) -> ((abs` A) e. RR /\ 0 < (abs` A)))
69	67, 68	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((abs` A) e. RR /\ 0 < (abs` A)))
70	64, 69	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((v e. RR+ /\ (A e. CC /\ A =/= 0)) -> 0 < (v / (abs` A)))
71	52, 62, 70	sylanbrc 527	. . . . . 6 |- ((v e. RR+ /\ (A e. CC /\ A =/= 0)) -> (v / (abs` A)) e. RR+)
72	71	expcom 403	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (v e. RR+ -> (v / (abs` A)) e. RR+))
73	72	adantld 426	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((z e. CC /\ v e. RR+) -> (v / (abs` A)) e. RR+))
74		absmul 8109	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (z - w) e. CC) -> (abs` (A x. (z - w))) = ((abs` A) x. (abs` (z - w))))
75	74, 34	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> (abs` (A x. (z - w))) = ((abs` A) x. (abs` (z - w))))
76	75, 29	eqtr3d 1927	. . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC)) -> ((abs` A) x. (abs` (z - w))) = (abs` ((F` z) - (F` w))))
77	76	ad2ant2r 445	. . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ ((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+)) -> ((abs` A) x. (abs` (z - w))) = (abs` ((F` z) - (F` w))))
78	77	breq1d 3348	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ ((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+)) -> (((abs` A) x. (abs` (z - w))) < v <-> (abs` ((F` z) - (F` w))) < v))
79		ltmuldiv2OLD 7048	. . . . . . . . . . 11 |- ((((abs` A) e. RR /\ (abs` (z - w)) e. RR /\ v e. RR) /\ 0 < (abs` A)) -> (((abs` A) x. (abs` (z - w))) < v <-> (abs` (z - w)) < (v / (abs` A))))
80		abscl 8084	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z - w) e. CC -> (abs` (z - w)) e. RR)
81	34, 80	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. CC /\ w e. CC) -> (abs` (z - w)) e. RR)
82	79, 56, 81, 55	syl3anl 1148	. . . . . . . . . 10 |- (((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) /\ 0 < (abs` A)) -> (((abs` A) x. (abs` (z - w))) < v <-> (abs` (z - w)) < (v / (abs` A))))
83		3anrot 863	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) <-> ((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+ /\ A e. CC))
84		df-3an 860	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+ /\ A e. CC) <-> (((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) /\ A e. CC))
85	83, 84	bitri 190	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ (z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) <-> (((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) /\ A e. CC))
86	82, 85	sylanbr 499	. . . . . . . . 9 |- (((((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) /\ A e. CC) /\ 0 < (abs` A)) -> (((abs` A) x. (abs` (z - w))) < v <-> (abs` (z - w)) < (v / (abs` A))))
87	86	anasss 488	. . . . . . . 8 |- ((((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) /\ (A e. CC /\ 0 < (abs` A))) -> (((abs` A) x. (abs` (z - w))) < v <-> (abs` (z - w)) < (v / (abs` A))))
88	87, 67	sylan2 500	. . . . . . 7 |- ((((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) /\ (A e. CC /\ A =/= 0)) -> (((abs` A) x. (abs` (z - w))) < v <-> (abs` (z - w)) < (v / (abs` A))))
89	88	ancoms 484	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ ((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+)) -> (((abs` A) x. (abs` (z - w))) < v <-> (abs` (z - w)) < (v / (abs` A))))
90	78, 89	bitr3d 589	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ A =/= 0) /\ ((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+)) -> ((abs` ((F` z) - (F` w))) < v <-> (abs` (z - w)) < (v / (abs` A))))
91	90	exbiri 421	. . . 4 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> (((z e. CC /\ w e. CC) /\ v e. RR+) -> ((abs` (z - w)) < (v / (abs` A)) -> (abs` ((F` z) - (F` w))) < v)))
92	51, 73, 91	elcncf1di 8532	. . 3 |- ((A e. CC /\ A =/= 0) -> ((CC C_ CC /\ CC C_ CC) -> F e. (CC-cn->CC)))
93	50, 92	pm2.61dane 2093	. 2 |- (A e. CC -> ((CC C_ CC /\ CC C_ CC) -> F e. (CC-cn->CC)))
94	1, 1, 93	mp2ani 764	1 |- (A e. CC -> F e. (CC-cn->CC))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105   C_ wss 2593   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  RR+crp 6453   < clt 6653  abscabs 8000  -cn->ccncf 8524

This theorem is referenced by:  divccncf 8542  sincnlem 10015  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  pcocn 16076  pcohtpylem3 16082  pcopt 16084  pcoass 16085  pcorevlem 16086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-cncf 8525

Copyright terms: Public domain