MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulasspi Structured version   Unicode version

Theorem mulasspi 9264
Description: Multiplication of positive integers is associative. (Contributed by NM, 21-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulasspi  |-  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( A  .N  ( B  .N  C ) )

Proof of Theorem mulasspi
StepHypRef Expression
1 pinn 9245 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 9245 . . . 4  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 pinn 9245 . . . 4  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
4 nnmass 7265 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
51, 2, 3, 4syl3an 1268 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .o  B
)  .o  C )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
6 mulclpi 9260 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
7 mulpiord 9252 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .N  B
)  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C
)  =  ( ( A  .N  B )  .o  C ) )
86, 7sylan 469 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( ( A  .N  B
)  .o  C ) )
9 mulpiord 9252 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
109oveq1d 6285 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .o  C
)  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
1110adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .o  C )  =  ( ( A  .o  B
)  .o  C ) )
128, 11eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( ( A  .o  B
)  .o  C ) )
13123impa 1189 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( ( A  .o  B )  .o  C ) )
14 mulclpi 9260 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  .N  C
)  e.  N. )
15 mulpiord 9252 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  .N  C
)  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .N  C
) ) )
1614, 15sylan2 472 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .N  C ) ) )
17 mulpiord 9252 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( B  .N  C
)  =  ( B  .o  C ) )
1817oveq2d 6286 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .o  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C
) ) )
1918adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .o  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
2016, 19eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( A  e.  N.  /\  ( B  e.  N.  /\  C  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  ( B  .N  C
) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
21203impb 1190 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  ( B  .N  C ) )  =  ( A  .o  ( B  .o  C ) ) )
225, 13, 213eqtr4d 2505 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  .N  C )  =  ( A  .N  ( B  .N  C
) ) )
23 dmmulpi 9258 . . 3  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
24 0npi 9249 . . 3  |-  -.  (/)  e.  N.
2523, 24ndmovass 6436 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  .N  C
)  =  ( A  .N  ( B  .N  C ) ) )
2622, 25pm2.61i 164 1  |-  ( ( A  .N  B )  .N  C )  =  ( A  .N  ( B  .N  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   omcom 6673    .o comu 7120   N.cnpi 9211    .N cmi 9213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-ni 9239  df-mi 9241
This theorem is referenced by:  enqer  9288  adderpqlem  9321  mulerpqlem  9322  addassnq  9325  mulassnq  9326  mulcanenq  9327  distrnq  9328  ltsonq  9336  lterpq  9337  ltanq  9338  ltmnq  9339  ltexnq  9342
  Copyright terms: Public domain W3C validator