Theorem muladd11 6584

Description: A simple product of sums expansion.

Assertion

Ref	Expression
muladd11	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. (1 + B)) = ((1 + A) + (B + (A x. B))))

Proof of Theorem muladd11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 6422	. . . 4 |- 1 e. CC
2		adddi 6462	. . . 4 |- (((1 + A) e. CC /\ 1 e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. (1 + B)) = (((1 + A) x. 1) + ((1 + A) x. B)))
3	1, 2	mp3an2 1179	. . 3 |- (((1 + A) e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. (1 + B)) = (((1 + A) x. 1) + ((1 + A) x. B)))
4		addcl 6454	. . . 4 |- ((1 e. CC /\ A e. CC) -> (1 + A) e. CC)
5	1, 4	mpan 759	. . 3 |- (A e. CC -> (1 + A) e. CC)
6	3, 5	sylan 497	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. (1 + B)) = (((1 + A) x. 1) + ((1 + A) x. B)))
7		ax1id 6435	. . . . 5 |- ((1 + A) e. CC -> ((1 + A) x. 1) = (1 + A))
8	5, 7	syl 12	. . . 4 |- (A e. CC -> ((1 + A) x. 1) = (1 + A))
9	8	adantr 425	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. 1) = (1 + A))
10		adddir 6472	. . . . 5 |- ((1 e. CC /\ A e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. B) = ((1 x. B) + (A x. B)))
11	1, 10	mp3an1 1178	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. B) = ((1 x. B) + (A x. B)))
12		mulid2 6578	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (1 x. B) = B)
13	12	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (1 x. B) = B)
14	13	opreq1d 4897	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((1 x. B) + (A x. B)) = (B + (A x. B)))
15	11, 14	eqtrd 1925	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. B) = (B + (A x. B)))
16	9, 15	opreq12d 4900	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((1 + A) x. 1) + ((1 + A) x. B)) = ((1 + A) + (B + (A x. B))))
17	6, 16	eqtrd 1925	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((1 + A) x. (1 + B)) = ((1 + A) + (B + (A x. B))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  (class class class)co 4884  CCcc 6384  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391

This theorem is referenced by:  bernneq 7898  bernneqOLD 7899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-1 6394  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398

Copyright terms: Public domain