Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul4sq Unicode version

Theorem mul4sq 13277
 Description: Euler's four-square identity: The product of two sums of four squares is also a sum of four squares. This is usually quoted as an explicit formula involving eight real variables; we save some time by working with complex numbers (gaussian integers) instead, so that we only have to work with four variables, and also hiding the actual formula for the product in the proof of mul4sqlem 13276. (For the curious, the explicit formula that is used is .) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
4sq.1
Assertion
Ref Expression
mul4sq
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem mul4sq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4sq.1 . . 3
214sqlem4 13275 . 2
314sqlem4 13275 . 2
4 reeanv 2835 . . 3
5 reeanv 2835 . . . . 5
6 simpll 731 . . . . . . . . . . . . 13
7 gzabssqcl 13264 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13
10 gzabssqcl 13264 . . . . . . . . . . . . 13
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . 12
128, 11nn0addcld 10234 . . . . . . . . . . 11
1312nn0cnd 10232 . . . . . . . . . 10
1413div1d 9738 . . . . . . . . 9
15 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13
16 gzabssqcl 13264 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16syl 16 . . . . . . . . . . . 12
18 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13
19 gzabssqcl 13264 . . . . . . . . . . . . 13
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
2117, 20nn0addcld 10234 . . . . . . . . . . 11
2221nn0cnd 10232 . . . . . . . . . 10
2322div1d 9738 . . . . . . . . 9
2414, 23oveq12d 6058 . . . . . . . 8
25 eqid 2404 . . . . . . . . 9
26 eqid 2404 . . . . . . . . 9
27 1nn 9967 . . . . . . . . . 10
2827a1i 11 . . . . . . . . 9
29 gzsubcl 13263 . . . . . . . . . . . . 13
3029adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
31 gzcn 13255 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11
3332div1d 9738 . . . . . . . . . 10
3433, 30eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9
35 gzsubcl 13263 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
37 gzcn 13255 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11
3938div1d 9738 . . . . . . . . . 10
4039, 36eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9
4114, 12eqeltrd 2478 . . . . . . . . 9
421, 6, 9, 15, 18, 25, 26, 28, 34, 40, 41mul4sqlem 13276 . . . . . . . 8
4324, 42eqeltrrd 2479 . . . . . . 7
44 oveq12 6049 . . . . . . . 8
4544eleq1d 2470 . . . . . . 7
4643, 45syl5ibrcom 214 . . . . . 6
4746rexlimdvva 2797 . . . . 5
485, 47syl5bir 210 . . . 4
4948rexlimivv 2795 . . 3
504, 49sylbir 205 . 2
512, 3, 50syl2anb 466 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  cab 2390  wrex 2667  cfv 5413  (class class class)co 6040  cc 8944  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   cmin 9247   cdiv 9633  cn 9956  c2 10005  cn0 10177  cz 10238  cexp 11337  cabs 11994  cgz 13252 This theorem is referenced by:  4sqlem19  13286 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-gz 13253
 Copyright terms: Public domain W3C validator