MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Structured version   Unicode version

Theorem mul02d 9679
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul02d  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul02 9659 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394    x. cmul 9399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-ltxr 9535
This theorem is referenced by:  mulneg1  9893  mulge0  9969  mul0or  10088  prodgt0  10286  un0mulcl  10726  lincmb01cmp  11546  iccf1o  11547  discr1  12118  discr  12119  hashxplem  12314  cshweqrep  12574  remul2  12738  immul2  12745  binomlem  13411  geomulcvg  13455  efne0  13500  dvds0  13667  smumullem  13807  mulgcd  13849  qnumgt0  13947  pcexp  14045  vdwapun  14154  vdwlem1  14161  mulgnn0ass  15776  odmulg  16179  torsubg  16458  isabvd  17029  nn0srg  18007  rge0srg  18008  prmirredlem  18043  prmirredlemOLD  18046  nmo0  20447  nmoeq0  20448  blcvx  20508  reparphti  20702  pcorevlem  20731  ipcau2  20882  rrxcph  21029  itg1addlem4  21311  itg1addlem5  21312  itg1mulc  21316  itg2mulc  21359  dvcmul  21552  dvmptcmul  21572  dvexp3  21584  dvef  21586  dveq0  21606  dv11cn  21607  ply1termlem  21805  plyeq0lem  21812  plypf1  21814  plyaddlem1  21815  plymullem1  21816  coeeulem  21826  coeidlem  21839  coeid3  21842  coemullem  21851  coemulhi  21855  coemulc  21856  dgrco  21876  vieta1lem2  21911  elqaalem2  21920  aalioulem3  21934  taylthlem2  21973  abelthlem6  22035  pilem2  22051  sinhalfpip  22088  sinhalfpim  22089  coshalfpip  22090  coshalfpim  22091  logtayl  22239  mulcxp  22264  cxpmul2  22268  cxpeq  22329  chordthmlem5  22365  cubic  22378  atans2  22460  atantayl2  22467  leibpi  22471  efrlim  22497  scvxcvx  22513  amgm  22518  ftalem5  22548  basellem2  22553  mumul  22653  muinv  22667  dchrn0  22723  dchrinvcl  22726  lgsdirnn0  22812  lgsdinn0  22813  lgsquad2lem2  22832  rpvmasumlem  22870  dchrisum0flblem1  22891  rpvmasum2  22895  ostth2lem2  23017  brbtwn2  23304  axsegconlem1  23316  axpaschlem  23339  axcontlem7  23369  axcontlem8  23370  nvz0  24209  ipasslem1  24384  hi01  24651  mul2lt0rgt0  26191  mul2lt0bi  26194  xrge0iifhom  26513  indsum  26625  eulerpartlemsv2  26886  eulerpartlems  26888  eulerpartlemsv3  26889  eulerpartlemgc  26890  eulerpartlemv  26892  eulerpartlemgs2  26908  sgnmul  27070  plymul02  27092  plymulx0  27093  subfacp1lem6  27218  cvxpcon  27276  cvxscon  27277  ntrivcvgfvn0  27559  fprodeq0  27631  0fallfac  27685  binomfallfaclem2  27688  pell1234qrne0  29343  bezoutr1  29478  jm2.19lem3  29489  jm2.25  29497  flcidc  29680  dvconstbi  29757  itgsinexplem1  29943  sigarcol  30049  sharhght  30050  mulmoddvds  30395  sineq0ALT  32006
  Copyright terms: Public domain W3C validator