MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Unicode version

Theorem mul02d 9220
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul02d  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul02 9200 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951
This theorem is referenced by:  mulneg1  9426  mulge0  9501  mul0or  9618  prodgt0  9811  un0mulcl  10210  lincmb01cmp  10994  iccf1o  10995  discr1  11470  discr  11471  hashxplem  11651  remul2  11890  immul2  11897  binomlem  12563  geomulcvg  12608  efne0  12653  dvds0  12820  smumullem  12959  mulgcd  13001  qnumgt0  13097  pcexp  13188  vdwapun  13297  vdwlem1  13304  mulgnn0ass  14874  odmulg  15147  torsubg  15424  isabvd  15863  prmirredlem  16728  nmo0  18722  nmoeq0  18723  blcvx  18782  reparphti  18975  pcorevlem  19004  ipcau2  19144  itg1addlem4  19544  itg1addlem5  19545  itg1mulc  19549  itg2mulc  19592  dvcmul  19783  dvmptcmul  19803  dvexp3  19815  dvef  19817  dveq0  19837  dv11cn  19838  ply1termlem  20075  plyeq0lem  20082  plypf1  20084  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  coeeulem  20096  coeidlem  20109  coeid3  20112  coemullem  20121  coemulhi  20125  coemulc  20126  dgrco  20146  vieta1lem2  20181  elqaalem2  20190  aalioulem3  20204  taylthlem2  20243  abelthlem6  20305  pilem2  20321  sinhalfpip  20353  sinhalfpim  20354  coshalfpip  20355  coshalfpim  20356  logtayl  20504  mulcxp  20529  cxpmul2  20533  cxpeq  20594  chordthmlem5  20630  cubic  20642  atans2  20724  atantayl2  20731  leibpi  20735  efrlim  20761  scvxcvx  20777  amgm  20782  ftalem5  20812  basellem2  20817  mumul  20917  muinv  20931  dchrn0  20987  dchrinvcl  20990  lgsdirnn0  21076  lgsdinn0  21077  lgsquad2lem2  21096  rpvmasumlem  21134  dchrisum0flblem1  21155  rpvmasum2  21159  ostth2lem2  21281  nvz0  22110  ipasslem1  22285  hi01  22551  xrge0iifhom  24276  indsum  24373  subfacp1lem6  24824  cvxpcon  24882  cvxscon  24883  ntrivcvgfvn0  25180  fprodeq0  25252  0fallfac  25304  binomfallfaclem2  25307  brbtwn2  25748  axsegconlem1  25760  axpaschlem  25783  axcontlem7  25813  axcontlem8  25814  pell1234qrne0  26806  bezoutr1  26941  jm2.19lem3  26952  jm2.25  26960  flcidc  27247  dvconstbi  27419  itgsinexplem1  27615  sigarcol  27721  sharhght  27722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081
  Copyright terms: Public domain W3C validator