MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Structured version   Unicode version

Theorem mul02d 9559
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul02d  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul02 9539 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    x. cmul 9279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415
This theorem is referenced by:  mulneg1  9773  mulge0  9849  mul0or  9968  prodgt0  10166  un0mulcl  10606  lincmb01cmp  11420  iccf1o  11421  discr1  11992  discr  11993  hashxplem  12187  cshweqrep  12447  remul2  12611  immul2  12618  binomlem  13284  geomulcvg  13328  efne0  13373  dvds0  13540  smumullem  13680  mulgcd  13722  qnumgt0  13820  pcexp  13918  vdwapun  14027  vdwlem1  14034  mulgnn0ass  15647  odmulg  16048  torsubg  16327  isabvd  16883  nn0srg  17856  rge0srg  17857  prmirredlem  17892  prmirredlemOLD  17895  nmo0  20289  nmoeq0  20290  blcvx  20350  reparphti  20544  pcorevlem  20573  ipcau2  20724  rrxcph  20871  itg1addlem4  21152  itg1addlem5  21153  itg1mulc  21157  itg2mulc  21200  dvcmul  21393  dvmptcmul  21413  dvexp3  21425  dvef  21427  dveq0  21447  dv11cn  21448  ply1termlem  21646  plyeq0lem  21653  plypf1  21655  plyaddlem1  21656  plymullem1  21657  coeeulem  21667  coeidlem  21680  coeid3  21683  coemullem  21692  coemulhi  21696  coemulc  21697  dgrco  21717  vieta1lem2  21752  elqaalem2  21761  aalioulem3  21775  taylthlem2  21814  abelthlem6  21876  pilem2  21892  sinhalfpip  21929  sinhalfpim  21930  coshalfpip  21931  coshalfpim  21932  logtayl  22080  mulcxp  22105  cxpmul2  22109  cxpeq  22170  chordthmlem5  22206  cubic  22219  atans2  22301  atantayl2  22308  leibpi  22312  efrlim  22338  scvxcvx  22354  amgm  22359  ftalem5  22389  basellem2  22394  mumul  22494  muinv  22508  dchrn0  22564  dchrinvcl  22567  lgsdirnn0  22653  lgsdinn0  22654  lgsquad2lem2  22673  rpvmasumlem  22711  dchrisum0flblem1  22732  rpvmasum2  22736  ostth2lem2  22858  brbtwn2  23102  axsegconlem1  23114  axpaschlem  23137  axcontlem7  23167  axcontlem8  23168  nvz0  24007  ipasslem1  24182  hi01  24449  mul2lt0rgt0  25990  mul2lt0bi  25993  xrge0iifhom  26319  indsum  26431  eulerpartlemsv2  26693  eulerpartlems  26695  eulerpartlemsv3  26696  eulerpartlemgc  26697  eulerpartlemv  26699  eulerpartlemgs2  26715  sgnmul  26877  plymul02  26899  plymulx0  26900  subfacp1lem6  27025  cvxpcon  27083  cvxscon  27084  ntrivcvgfvn0  27365  fprodeq0  27437  0fallfac  27491  binomfallfaclem2  27494  pell1234qrne0  29147  bezoutr1  29282  jm2.19lem3  29293  jm2.25  29301  flcidc  29484  dvconstbi  29561  itgsinexplem1  29747  sigarcol  29853  sharhght  29854  mulmoddvds  30199  sineq0ALT  31560
  Copyright terms: Public domain W3C validator