MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Structured version   Unicode version

Theorem mul02d 9773
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul02d  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul02 9753 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6282   CCcc 9486   0cc0 9488    x. cmul 9493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629
This theorem is referenced by:  mulneg1  9989  mulge0  10066  mul0or  10185  prodgt0  10383  un0mulcl  10826  lincmb01cmp  11659  iccf1o  11660  discr1  12266  discr  12267  hashxplem  12453  cshweqrep  12748  remul2  12922  immul2  12929  binomlem  13600  geomulcvg  13644  efne0  13689  dvds0  13856  mulmoddvds  13899  smumullem  13997  mulgcd  14039  qnumgt0  14138  pcexp  14238  vdwapun  14347  vdwlem1  14354  mulgnn0ass  15971  odmulg  16374  torsubg  16653  isabvd  17252  nn0srg  18254  rge0srg  18255  prmirredlem  18290  prmirredlemOLD  18293  nmo0  20977  nmoeq0  20978  blcvx  21038  reparphti  21232  pcorevlem  21261  ipcau2  21412  rrxcph  21559  itg1addlem4  21841  itg1addlem5  21842  itg1mulc  21846  itg2mulc  21889  dvcmul  22082  dvmptcmul  22102  dvexp3  22114  dvef  22116  dveq0  22136  dv11cn  22137  ply1termlem  22335  plyeq0lem  22342  plypf1  22344  plyaddlem1  22345  plymullem1  22346  coeeulem  22356  coeidlem  22369  coeid3  22372  coemullem  22381  coemulhi  22385  coemulc  22386  dgrco  22406  vieta1lem2  22441  elqaalem2  22450  aalioulem3  22464  taylthlem2  22503  abelthlem6  22565  pilem2  22581  sinhalfpip  22618  sinhalfpim  22619  coshalfpip  22620  coshalfpim  22621  logtayl  22769  mulcxp  22794  cxpmul2  22798  cxpeq  22859  chordthmlem5  22895  cubic  22908  atans2  22990  atantayl2  22997  leibpi  23001  efrlim  23027  scvxcvx  23043  amgm  23048  ftalem5  23078  basellem2  23083  mumul  23183  muinv  23197  dchrn0  23253  dchrinvcl  23256  lgsdirnn0  23342  lgsdinn0  23343  lgsquad2lem2  23362  rpvmasumlem  23400  dchrisum0flblem1  23421  rpvmasum2  23425  ostth2lem2  23547  brbtwn2  23884  axsegconlem1  23896  axpaschlem  23919  axcontlem7  23949  axcontlem8  23950  nvz0  25247  ipasslem1  25422  hi01  25689  mul2lt0rgt0  27234  mul2lt0bi  27237  xrge0iifhom  27555  indsum  27676  eulerpartlemsv2  27937  eulerpartlems  27939  eulerpartlemsv3  27940  eulerpartlemgc  27941  eulerpartlemv  27943  eulerpartlemgs2  27959  sgnmul  28121  plymul02  28143  plymulx0  28144  subfacp1lem6  28269  cvxpcon  28327  cvxscon  28328  ntrivcvgfvn0  28610  fprodeq0  28682  0fallfac  28736  binomfallfaclem2  28739  pell1234qrne0  30393  bezoutr1  30528  jm2.19lem3  30537  jm2.25  30545  flcidc  30728  lcmgcd  30813  dvconstbi  30839  fperiodmullem  31080  dvsinax  31241  dvasinbx  31250  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  itgsinexplem1  31271  dirkertrigeqlem2  31399  fourierdlem42  31449  fourierdlem83  31490  sqwvfoura  31529  fouriersw  31532  sigarcol  31548  sharhght  31549  sineq0ALT  32817
  Copyright terms: Public domain W3C validator