MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Unicode version

Theorem mul01d 9221
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul01d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul01 9201 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946    x. cmul 8951
This theorem is referenced by:  mulge0  9501  mul0or  9618  diveq0  9644  div0  9662  lemul1a  9820  un0mulcl  10210  rexmul  10806  modid  11225  expmul  11380  sqlecan  11442  discr  11471  hashf1lem2  11660  hashf1  11661  fsummulc2  12522  geolim  12602  geomulcvg  12608  0dvds  12825  smumullem  12959  bezoutlem1  12993  mulgcddvds  13059  prmdiv  13129  pcaddlem  13212  qexpz  13225  prmreclem4  13242  prmreclem5  13243  mulgnn0ass  14874  odadd2  15419  isabvd  15863  nmolb2d  18705  nmoleub  18718  reparphti  18975  pcorevlem  19004  itg1val2  19529  i1fmullem  19539  itg1addlem4  19544  itg10a  19555  itg1ge0a  19556  itg2const  19585  itg2monolem1  19595  itg0  19624  itgz  19625  iblmulc2  19675  itgmulc2lem1  19676  bddmulibl  19683  dvcnp2  19759  dvcobr  19785  dvlip  19830  dvlipcn  19831  c1lip1  19834  dvlt0  19842  plymullem1  20086  coefv0  20119  coemullem  20121  coemulhi  20125  dgrmulc  20142  dgrcolem2  20145  dvply1  20154  plydivlem3  20165  elqaalem2  20190  elqaalem3  20191  tayl0  20231  dvtaylp  20239  radcnv0  20285  dvradcnv  20290  pserdvlem2  20297  abelthlem2  20301  pilem2  20321  sinmpi  20348  cosmpi  20349  sinppi  20350  cosppi  20351  tanregt0  20394  argregt0  20458  argrege0  20459  argimgt0  20460  logtayl  20504  mulcxplem  20528  mulcxp  20529  cxpmul2  20533  pythag  20612  quad2  20632  dcubic  20639  atans2  20724  mumul  20917  logexprlim  20962  dchrsum2  21005  sumdchr2  21007  lgsdilem  21059  lgsdirnn0  21076  lgsdinn0  21077  lgsquad3  21098  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem1  21136  dchrvmasumiflem2  21149  rpvmasum2  21159  dchrisum0re  21160  pntrlog2bndlem4  21227  pntlemf  21252  pntleml  21258  ostth2lem2  21281  ostth3  21285  gxnn0mul  21818  nmlnoubi  22250  ipasslem2  22286  cdj3lem1  23890  xrge0iifhom  24276  zetacvg  24752  lgamgulmlem2  24767  fprodeq0  25252  0risefac  25305  colinearalg  25753  ovoliunnfl  26147  voliunnfl  26149  itg2addnclem  26155  iblmulc2nc  26169  itgmulc2nclem1  26170  areacirc  26187  geomcau  26355  bfp  26423  irrapxlem1  26775  pell1qr1  26824  pell1qrgaplem  26826  rmxy0  26876  jm2.18  26949  mpaaeu  27223  stoweidlem26  27642  stoweidlem37  27653  stirlinglem7  27696  sharhght  27722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081
  Copyright terms: Public domain W3C validator