MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Structured version   Unicode version

Theorem mul01d 9778
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul01d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul01 9758 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492    x. cmul 9497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633
This theorem is referenced by:  mulge0  10070  mul0or  10189  diveq0  10217  div0  10235  lemul1a  10396  un0mulcl  10830  rexmul  11463  modid  11988  expmul  12179  sqlecan  12242  discr  12271  hashf1lem2  12471  hashf1  12472  fsummulc2  13562  geolim  13642  geomulcvg  13648  0dvds  13865  smumullem  14001  bezoutlem1  14035  mulgcddvds  14104  prmdiv  14174  pcaddlem  14266  qexpz  14279  prmreclem4  14296  prmreclem5  14297  mulgnn0ass  15981  odadd2  16658  isabvd  17269  nn0srg  18282  rge0srg  18283  nmolb2d  20988  nmoleub  21001  reparphti  21260  pcorevlem  21289  itg1val2  21854  i1fmullem  21864  itg1addlem4  21869  itg10a  21880  itg1ge0a  21881  itg2const  21910  itg2monolem1  21920  itg0  21949  itgz  21950  iblmulc2  22000  itgmulc2lem1  22001  bddmulibl  22008  dvcnp2  22086  dvcobr  22112  dvlip  22157  dvlipcn  22158  c1lip1  22161  dvlt0  22169  plymullem1  22374  coefv0  22407  coemullem  22409  coemulhi  22413  dgrmulc  22430  dgrcolem2  22433  dvply1  22442  plydivlem3  22453  elqaalem2  22478  elqaalem3  22479  tayl0  22519  dvtaylp  22527  radcnv0  22573  dvradcnv  22578  pserdvlem2  22585  abelthlem2  22589  pilem2  22609  sinmpi  22641  cosmpi  22642  sinppi  22643  cosppi  22644  tanregt0  22687  argregt0  22751  argrege0  22752  argimgt0  22753  logtayl  22797  mulcxplem  22821  mulcxp  22822  cxpmul2  22826  pythag  22905  quad2  22926  dcubic  22933  atans2  23018  mumul  23211  logexprlim  23256  dchrsum2  23299  sumdchr2  23301  lgsdilem  23353  lgsdirnn0  23370  lgsdinn0  23371  lgsquad3  23392  rpvmasumlem  23428  dchrisumlem1  23430  dchrvmasumiflem2  23443  rpvmasum2  23453  dchrisum0re  23454  pntrlog2bndlem4  23521  pntlemf  23546  pntleml  23552  ostth2lem2  23575  ostth3  23579  colinearalg  23917  gxnn0mul  24983  nmlnoubi  25415  ipasslem2  25451  cdj3lem1  27057  mul2lt0bi  27265  xrge0iifhom  27583  sgnmul  28149  signsplypnf  28175  signswch  28186  signlem0  28212  zetacvg  28225  lgamgulmlem2  28240  fprodeq0  28710  0risefac  28765  ovoliunnfl  29661  voliunnfl  29663  itg2addnclem  29671  iblmulc2nc  29685  itgmulc2nclem1  29686  areacirc  29717  geomcau  29883  bfp  29951  irrapxlem1  30390  pell1qr1  30439  pell1qrgaplem  30441  rmxy0  30491  jm2.18  30562  mpaaeu  30732  lcmgcd  30841  stoweidlem26  31354  stoweidlem37  31365  stirlinglem7  31408  dirkercncflem2  31432  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  sqwvfoura  31557  sqwvfourb  31558  sharhght  31577  altgsumbcALT  32038
  Copyright terms: Public domain W3C validator