MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01 Unicode version

Theorem mul01 8871
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul01  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01
StepHypRef Expression
1 0cn 8711 . . 3  |-  0  e.  CC
2 mulcom 8703 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( 0  x.  A ) )
31, 2mpan2 655 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  ( 0  x.  A ) )
4 mul02 8870 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
53, 4eqtrd 2285 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5710   CCcc 8615   0cc0 8617    x. cmul 8622
This theorem is referenced by:  addid1  8872  cnegex  8873  mul01i  8882  mul01d  8891  bernneq  11105  bcval5  11208  geo2lim  12205  efexp  12255  gcdmultiplez  12604  plymul0or  19493  fta1lem  19519  1cxp  19887  cxpmul2  19904  efrlim  20096  lgsne0  20404  vcz  20956  blocnilem  21212  hvmul0  21433  ocsh  21692  0lnfn  22395  nlelshi  22470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-ltxr 8752
  Copyright terms: Public domain W3C validator