MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01 Structured version   Unicode version

Theorem mul01 9540
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul01  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01
StepHypRef Expression
1 0cn 9370 . . 3  |-  0  e.  CC
2 mulcom 9360 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( 0  x.  A ) )
31, 2mpan2 671 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  ( 0  x.  A ) )
4 mul02 9539 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
53, 4eqtrd 2470 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    x. cmul 9279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415
This theorem is referenced by:  addid1  9541  cnegex  9542  mul01i  9551  mul01d  9560  bernneq  11982  bcval5  12086  geo2lim  13327  efexp  13377  gcdmultiplez  13727  plymul0or  21722  fta1lem  21748  1cxp  22092  cxpmul2  22109  efrlim  22338  lgsne0  22647  vcz  23899  blocnilem  24155  hvmul0  24377  ocsh  24637  0lnfn  25340  nlelshi  25415
  Copyright terms: Public domain W3C validator