Theorem muinv 24201

Description: The Möbius inversion formula. If G ( n ) = sum_ k || n F ( k ) for every n e. NN, then F ( n ) = sum_ k || n mmu ( k ) G ( n / k ) = sum_ k || n mmu ( n / k ) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	|- ( ph -> F : NN --> CC )
muinv.2	|- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
muinv	|- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, j, n, F   x, j, k, m, n   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   F( x)   G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> CC )
2	1	feqmptd 5932	. 2 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
4	3	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
5	4	fveq1d 5881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) )
6		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = j -> ( x || m <-> j || m ) )
7	6	elrab 3184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. { x e. NN | x || m } <-> ( j e. NN /\ j || m ) )
8	7	simprbi 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j || m )
9	8	adantl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j || m )
10		elrabi 3181	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j e. NN )
11	10	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. NN )
12	11	nnzd 11062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. ZZ )
13	11	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j =/= 0 )
14		nnz 10983	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15	14	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. ZZ )
16		dvdsval2 14385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. ZZ /\ j =/= 0 /\ m e. ZZ ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
18	9, 17	mpbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. ZZ )
19		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR )
20		nngt0 10660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> 0 < m )
21	19, 20	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
22	21	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
23		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. RR )
24		nngt0 10660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < j )
25	23, 24	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
27		divgt0 10495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 < m ) /\ ( j e. RR /\ 0 < j ) ) -> 0 < ( m / j ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> 0 < ( m / j ) )
29		elnnz 10971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / j ) e. NN <-> ( ( m / j ) e. ZZ /\ 0 < ( m / j ) ) )
30	18, 28, 29	sylanbrc 677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. NN )
31		breq2 4399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m / j ) -> ( x || n <-> x || ( m / j ) ) )
32	31	rabbidv 3022	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m / j ) -> { x e. NN | x || n } = { x e. NN | x || ( m / j ) } )
33	32	sumeq1d 13844	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( m / j ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
34		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) )
35		sumex 13831	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) e. _V
36	33, 34, 35	fvmpt 5963	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
37	30, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
38	5, 37	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
39	38	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) )
40		fzfid 12224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin )
41		sgmss 24112	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
43		ssfi 7810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
44	40, 42, 43	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
45		mucl 24147	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
46	11, 45	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
47	46	zcnd 11064	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
48	1	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> F : NN --> CC )
49		elrabi 3181	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } -> k e. NN )
50		ffvelrn 6035	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN --> CC /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
51	48, 49, 50	syl2an 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) -> ( F ` k ) e. CC )
52	44, 47, 51	fsummulc2 13922	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
53	39, 52	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
54	53	sumeq2dv 13846	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
55		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN )
56	47	adantrr 731	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
57	51	anasss 659	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
58	56, 57	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) e. CC )
59	55, 58	fsumdvdsdiag 24192	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
60		ssrab2 3500	. . . . . . . . . 10 |- { x e. NN | x || m } C_ NN
61		dvdsdivcl 24189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
62	61	adantll 728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
63	60, 62	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. NN )
64		musum 24199	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / k ) e. NN -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
66	65	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) )
67		fzfid 12224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin )
68		sgmss 24112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
69	63, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
70		ssfi 7810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
71	67, 69, 70	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
72	1	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F : NN --> CC )
73		elrabi 3181	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { x e. NN | x || m } -> k e. NN )
74	72, 73, 50	syl2an 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
75		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ NN
76		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } )
77	75, 76	sseldi 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. NN )
78	77, 45	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
79	78	zcnd 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
80	71, 74, 79	fsummulc1 13923	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
81		ovif 6392	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) )
82		nncn 10639	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> m e. CC )
83	82	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. CC )
84	73	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. NN )
85	84	nncnd 10647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. CC )
86		1cnd 9677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> 1 e. CC )
87	84	nnne0d 10676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k =/= 0 )
88	83, 85, 86, 87	divmuld 10427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> ( k x. 1 ) = m ) )
89	85	mulid1d 9678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( k x. 1 ) = k )
90	89	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( k x. 1 ) = m <-> k = m ) )
91	88, 90	bitrd 261	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> k = m ) )
92	74	mulid2d 9679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 x. ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
93	74	mul02d 9849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 0 x. ( F ` k ) ) = 0 )
94	91, 92, 93	ifbieq12d 3899	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
95	81, 94	syl5eq 2517	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
96	66, 80, 95	3eqtr3d 2513	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
97	96	sumeq2dv 13846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
98	55	nnzd 11062	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
99		iddvds 14393	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m || m )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m || m )
101		breq1 4398	. . . . . . . . 9 |- ( x = m -> ( x || m <-> m || m ) )
102	101	elrab 3184	. . . . . . . 8 |- ( m e. { x e. NN | x || m } <-> ( m e. NN /\ m || m ) )
103	55, 100, 102	sylanbrc 677	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. { x e. NN | x || m } )
104	103	snssd 4108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { m } C_ { x e. NN | x || m } )
105	104	sselda 3418	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> k e. { x e. NN | x || m } )
106	105, 74	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
107		0cn 9653	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
108		ifcl 3914	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
109	106, 107, 108	sylancl 675	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
110		eldifsni 4089	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) -> k =/= m )
111	110	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> k =/= m )
112	111	neneqd 2648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> -. k = m )
113	112	iffalsed 3883	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = 0 )
114		fzfid 12224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
115		sgmss 24112	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
116	115	adantl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
117		ssfi 7810	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
118	114, 116, 117	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
119	104, 109, 113, 118	fsumss 13868	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
120	1	ffvelrnda 6037	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
121		iftrue 3878	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` k ) )
122		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
123	121, 122	eqtrd 2505	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
124	123	sumsn 13884	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN /\ ( F ` m ) e. CC ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
125	55, 120, 124	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
126	97, 119, 125	3eqtr2d 2511	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( F ` m ) )
127	54, 59, 126	3eqtrd 2509	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( F ` m ) )
128	127	mpteq2dva 4482	. 2 |- ( ph -> ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
129	2, 128	eqtr4d 2508	1 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   {crab 2760   \ cdif 3387   C_ wss 3390   ifcif 3872   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   < clt 9693   / cdiv 10291   NNcn 10631   ZZcz 10961   ...cfz 11810   sum_csu 13829   || cdvds 14382   mmucmu 24100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-mu 24106

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  24412  logsqvma2  24460