Theorem muinv 22492

Description: The Möbius inversion formula. If G ( n ) = sum_ k || n F ( k ) for every n e. NN, then F ( n ) = sum_ k || n mmu ( k ) G ( n / k ) = sum_ k || n mmu ( n / k ) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	|- ( ph -> F : NN --> CC )
muinv.2	|- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
muinv	|- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, j, n, F   x, j, k, m, n   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   F( x)   G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> CC )
2	1	feqmptd 5741	. 2 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
4	3	ad2antrr 720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
5	4	fveq1d 5690	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) )
6		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = j -> ( x || m <-> j || m ) )
7	6	elrab 3114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. { x e. NN | x || m } <-> ( j e. NN /\ j || m ) )
8	7	simprbi 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j || m )
9	8	adantl 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j || m )
10		elrabi 3111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j e. NN )
11	10	adantl 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. NN )
12	11	nnzd 10742	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. ZZ )
13	11	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j =/= 0 )
14		nnz 10664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15	14	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. ZZ )
16		dvdsval2 13534	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. ZZ /\ j =/= 0 /\ m e. ZZ ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
18	9, 17	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. ZZ )
19		nnre 10325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR )
20		nngt0 10347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> 0 < m )
21	19, 20	jca 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
22	21	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
23		nnre 10325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. RR )
24		nngt0 10347	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < j )
25	23, 24	jca 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
26	11, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
27		divgt0 10193	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 < m ) /\ ( j e. RR /\ 0 < j ) ) -> 0 < ( m / j ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> 0 < ( m / j ) )
29		elnnz 10652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / j ) e. NN <-> ( ( m / j ) e. ZZ /\ 0 < ( m / j ) ) )
30	18, 28, 29	sylanbrc 659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. NN )
31		breq2 4293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m / j ) -> ( x || n <-> x || ( m / j ) ) )
32	31	rabbidv 2962	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m / j ) -> { x e. NN | x || n } = { x e. NN | x || ( m / j ) } )
33	32	sumeq1d 13174	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( m / j ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
34		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) )
35		sumex 13161	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) e. _V
36	33, 34, 35	fvmpt 5771	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
37	30, 36	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
38	5, 37	eqtrd 2473	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
39	38	oveq2d 6106	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) )
40		fzfid 11791	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin )
41		sgmss 22403	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
42	30, 41	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
43		ssfi 7529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
44	40, 42, 43	syl2anc 656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
45		mucl 22438	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
46	11, 45	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
47	46	zcnd 10744	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
48	1	ad2antrr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> F : NN --> CC )
49		elrabi 3111	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } -> k e. NN )
50		ffvelrn 5838	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN --> CC /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
51	48, 49, 50	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) -> ( F ` k ) e. CC )
52	44, 47, 51	fsummulc2 13247	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
53	39, 52	eqtrd 2473	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
54	53	sumeq2dv 13176	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
55		simpr 458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN )
56	47	adantrr 711	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
57	51	anasss 642	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
58	56, 57	mulcld 9402	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) e. CC )
59	55, 58	fsumdvdsdiag 22483	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
60		ssrab2 3434	. . . . . . . . . 10 |- { x e. NN | x || m } C_ NN
61		dvdsdivcl 22480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
62	61	adantll 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
63	60, 62	sseldi 3351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. NN )
64		musum 22490	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / k ) e. NN -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
66	65	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) )
67		fzfid 11791	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin )
68		sgmss 22403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
69	63, 68	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
70		ssfi 7529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
71	67, 69, 70	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
72	1	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F : NN --> CC )
73		elrabi 3111	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { x e. NN | x || m } -> k e. NN )
74	72, 73, 50	syl2an 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
75		ssrab2 3434	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ NN
76		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } )
77	75, 76	sseldi 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. NN )
78	77, 45	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
79	78	zcnd 10744	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
80	71, 74, 79	fsummulc1 13248	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
81		oveq1 6097	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) = 1 -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = ( 1 x. ( F ` k ) ) )
82		oveq1 6097	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) = 0 -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = ( 0 x. ( F ` k ) ) )
83	81, 82	ifsb 3799	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) )
84		nncn 10326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> m e. CC )
85	84	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. CC )
86	73	adantl 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. NN )
87	86	nncnd 10334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. CC )
88		1cnd 9398	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> 1 e. CC )
89	86	nnne0d 10362	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k =/= 0 )
90	85, 87, 88, 89	divmuld 10125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> ( k x. 1 ) = m ) )
91	87	mulid1d 9399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( k x. 1 ) = k )
92	91	eqeq1d 2449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( k x. 1 ) = m <-> k = m ) )
93	90, 92	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> k = m ) )
94	74	mulid2d 9400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 x. ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
95	74	mul02d 9563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 0 x. ( F ` k ) ) = 0 )
96	93, 94, 95	ifbieq12d 3813	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
97	83, 96	syl5eq 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
98	66, 80, 97	3eqtr3d 2481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
99	98	sumeq2dv 13176	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
100	55	nnzd 10742	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
101		iddvds 13542	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m || m )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m || m )
103		breq1 4292	. . . . . . . . 9 |- ( x = m -> ( x || m <-> m || m ) )
104	103	elrab 3114	. . . . . . . 8 |- ( m e. { x e. NN | x || m } <-> ( m e. NN /\ m || m ) )
105	55, 102, 104	sylanbrc 659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. { x e. NN | x || m } )
106	105	snssd 4015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { m } C_ { x e. NN | x || m } )
107	106	sselda 3353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> k e. { x e. NN | x || m } )
108	107, 74	syldan 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
109		0cn 9374	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
110		ifcl 3828	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
111	108, 109, 110	sylancl 657	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
112		eldifsni 3998	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) -> k =/= m )
113	112	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> k =/= m )
114	113	neneqd 2622	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> -. k = m )
115		iffalse 3796	. . . . . . 7 |- ( -. k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = 0 )
116	114, 115	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = 0 )
117		fzfid 11791	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
118		sgmss 22403	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
119	118	adantl 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
120		ssfi 7529	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
121	117, 119, 120	syl2anc 656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
122	106, 111, 116, 121	fsumss 13198	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
123	1	ffvelrnda 5840	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
124		iftrue 3794	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` k ) )
125		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
126	124, 125	eqtrd 2473	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
127	126	sumsn 13213	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN /\ ( F ` m ) e. CC ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
128	55, 123, 127	syl2anc 656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
129	99, 122, 128	3eqtr2d 2479	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( F ` m ) )
130	54, 59, 129	3eqtrd 2477	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( F ` m ) )
131	130	mpteq2dva 4375	. 2 |- ( ph -> ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
132	2, 131	eqtr4d 2476	1 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   {crab 2717   \ cdif 3322   C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   x. cmul 9283   < clt 9414   / cdiv 9989   NNcn 10318   ZZcz 10642   ...cfz 11433   sum_csu 13159   || cdivides 13531   mmucmu 22391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-mu 22397

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  22703  logsqvma2  22751