Theorem muinv 23333

Description: The Möbius inversion formula. If G ( n ) = sum_ k || n F ( k ) for every n e. NN, then F ( n ) = sum_ k || n mmu ( k ) G ( n / k ) = sum_ k || n mmu ( n / k ) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	|- ( ph -> F : NN --> CC )
muinv.2	|- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
muinv	|- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, j, n, F   x, j, k, m, n   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   F( x)   G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> CC )
2	1	feqmptd 5927	. 2 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
4	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
5	4	fveq1d 5874	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) )
6		breq1 4456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = j -> ( x || m <-> j || m ) )
7	6	elrab 3266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. { x e. NN | x || m } <-> ( j e. NN /\ j || m ) )
8	7	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j || m )
9	8	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j || m )
10		elrabi 3263	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j e. NN )
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. NN )
12	11	nnzd 10977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. ZZ )
13	11	nnne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j =/= 0 )
14		nnz 10898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. ZZ )
16		dvdsval2 13866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. ZZ /\ j =/= 0 /\ m e. ZZ ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
18	9, 17	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. ZZ )
19		nnre 10555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR )
20		nngt0 10577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> 0 < m )
21	19, 20	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
23		nnre 10555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. RR )
24		nngt0 10577	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < j )
25	23, 24	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
26	11, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
27		divgt0 10422	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 < m ) /\ ( j e. RR /\ 0 < j ) ) -> 0 < ( m / j ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> 0 < ( m / j ) )
29		elnnz 10886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / j ) e. NN <-> ( ( m / j ) e. ZZ /\ 0 < ( m / j ) ) )
30	18, 28, 29	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. NN )
31		breq2 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m / j ) -> ( x || n <-> x || ( m / j ) ) )
32	31	rabbidv 3110	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m / j ) -> { x e. NN | x || n } = { x e. NN | x || ( m / j ) } )
33	32	sumeq1d 13502	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( m / j ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
34		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) )
35		sumex 13489	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) e. _V
36	33, 34, 35	fvmpt 5957	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
37	30, 36	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
38	5, 37	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
39	38	oveq2d 6311	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) )
40		fzfid 12063	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin )
41		sgmss 23244	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
42	30, 41	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
43		ssfi 7752	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
44	40, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
45		mucl 23279	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
46	11, 45	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
47	46	zcnd 10979	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
48	1	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> F : NN --> CC )
49		elrabi 3263	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } -> k e. NN )
50		ffvelrn 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN --> CC /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
51	48, 49, 50	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) -> ( F ` k ) e. CC )
52	44, 47, 51	fsummulc2 13578	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
53	39, 52	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
54	53	sumeq2dv 13504	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
55		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN )
56	47	adantrr 716	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
57	51	anasss 647	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
58	56, 57	mulcld 9628	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) e. CC )
59	55, 58	fsumdvdsdiag 23324	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
60		ssrab2 3590	. . . . . . . . . 10 |- { x e. NN | x || m } C_ NN
61		dvdsdivcl 23321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
62	61	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
63	60, 62	sseldi 3507	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. NN )
64		musum 23331	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / k ) e. NN -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
66	65	oveq1d 6310	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) )
67		fzfid 12063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin )
68		sgmss 23244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
69	63, 68	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
70		ssfi 7752	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
71	67, 69, 70	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
72	1	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F : NN --> CC )
73		elrabi 3263	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { x e. NN | x || m } -> k e. NN )
74	72, 73, 50	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
75		ssrab2 3590	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ NN
76		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } )
77	75, 76	sseldi 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. NN )
78	77, 45	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
79	78	zcnd 10979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
80	71, 74, 79	fsummulc1 13579	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
81		ovif 6374	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) )
82		nncn 10556	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> m e. CC )
83	82	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. CC )
84	73	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. NN )
85	84	nncnd 10564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. CC )
86		1cnd 9624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> 1 e. CC )
87	84	nnne0d 10592	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k =/= 0 )
88	83, 85, 86, 87	divmuld 10354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> ( k x. 1 ) = m ) )
89	85	mulid1d 9625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( k x. 1 ) = k )
90	89	eqeq1d 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( k x. 1 ) = m <-> k = m ) )
91	88, 90	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> k = m ) )
92	74	mulid2d 9626	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 x. ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
93	74	mul02d 9789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 0 x. ( F ` k ) ) = 0 )
94	91, 92, 93	ifbieq12d 3972	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
95	81, 94	syl5eq 2520	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
96	66, 80, 95	3eqtr3d 2516	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
97	96	sumeq2dv 13504	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
98	55	nnzd 10977	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
99		iddvds 13874	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m || m )
100	98, 99	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m || m )
101		breq1 4456	. . . . . . . . 9 |- ( x = m -> ( x || m <-> m || m ) )
102	101	elrab 3266	. . . . . . . 8 |- ( m e. { x e. NN | x || m } <-> ( m e. NN /\ m || m ) )
103	55, 100, 102	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. { x e. NN | x || m } )
104	103	snssd 4178	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { m } C_ { x e. NN | x || m } )
105	104	sselda 3509	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> k e. { x e. NN | x || m } )
106	105, 74	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
107		0cn 9600	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
108		ifcl 3987	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
109	106, 107, 108	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
110		eldifsni 4159	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) -> k =/= m )
111	110	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> k =/= m )
112	111	neneqd 2669	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> -. k = m )
113	112	iffalsed 3956	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = 0 )
114		fzfid 12063	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
115		sgmss 23244	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
116	115	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
117		ssfi 7752	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
118	114, 116, 117	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
119	104, 109, 113, 118	fsumss 13526	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
120	1	ffvelrnda 6032	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
121		iftrue 3951	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` k ) )
122		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
123	121, 122	eqtrd 2508	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
124	123	sumsn 13542	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN /\ ( F ` m ) e. CC ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
125	55, 120, 124	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
126	97, 119, 125	3eqtr2d 2514	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( F ` m ) )
127	54, 59, 126	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( F ` m ) )
128	127	mpteq2dva 4539	. 2 |- ( ph -> ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
129	2, 128	eqtr4d 2511	1 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   {crab 2821   \ cdif 3478   C_ wss 3481   ifcif 3945   {csn 4033   class class class wbr 4453   |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   x. cmul 9509   < clt 9640   / cdiv 10218   NNcn 10548   ZZcz 10876   ...cfz 11684   sum_csu 13487   || cdivides 13863   mmucmu 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-dvds 13864  df-gcd 14020  df-prm 14093  df-pc 14236  df-mu 23238

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  23544  logsqvma2  23592