Theorem muinv 22548

Description: The Möbius inversion formula. If G ( n ) = sum_ k || n F ( k ) for every n e. NN, then F ( n ) = sum_ k || n mmu ( k ) G ( n / k ) = sum_ k || n mmu ( n / k ) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
muinv.1	|- ( ph -> F : NN --> CC )
muinv.2	|- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
muinv	|- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, m, j, n, F   x, j, k, m, n   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   F( x)   G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muinv.1	. . 3 |- ( ph -> F : NN --> CC )
2	1	feqmptd 5759	. 2 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
3		muinv.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
4	3	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> G = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) )
5	4	fveq1d 5708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) )
6		breq1 4310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = j -> ( x || m <-> j || m ) )
7	6	elrab 3132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. { x e. NN | x || m } <-> ( j e. NN /\ j || m ) )
8	7	simprbi 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j || m )
9	8	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j || m )
10		elrabi 3129	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. { x e. NN | x || m } -> j e. NN )
11	10	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. NN )
12	11	nnzd 10761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j e. ZZ )
13	11	nnne0d 10381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> j =/= 0 )
14		nnz 10683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. ZZ )
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. ZZ )
16		dvdsval2 13553	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. ZZ /\ j =/= 0 /\ m e. ZZ ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
17	12, 13, 15, 16	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j || m <-> ( m / j ) e. ZZ ) )
18	9, 17	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. ZZ )
19		nnre 10344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> m e. RR )
20		nngt0 10366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> 0 < m )
21	19, 20	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
22	21	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m e. RR /\ 0 < m ) )
23		nnre 10344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> j e. RR )
24		nngt0 10366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> 0 < j )
25	23, 24	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
26	11, 25	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( j e. RR /\ 0 < j ) )
27		divgt0 10212	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. RR /\ 0 < m ) /\ ( j e. RR /\ 0 < j ) ) -> 0 < ( m / j ) )
28	22, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> 0 < ( m / j ) )
29		elnnz 10671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / j ) e. NN <-> ( ( m / j ) e. ZZ /\ 0 < ( m / j ) ) )
30	18, 28, 29	sylanbrc 664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / j ) e. NN )
31		breq2 4311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m / j ) -> ( x || n <-> x || ( m / j ) ) )
32	31	rabbidv 2979	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m / j ) -> { x e. NN | x || n } = { x e. NN | x || ( m / j ) } )
33	32	sumeq1d 13193	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( m / j ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
34		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) )
35		sumex 13180	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) e. _V
36	33, 34, 35	fvmpt 5789	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
37	30, 36	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. { x e. NN | x || n } ( F ` k ) ) ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
38	5, 37	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( G ` ( m / j ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) )
39	38	oveq2d 6122	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) )
40		fzfid 11810	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin )
41		sgmss 22459	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / j ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
42	30, 41	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) )
43		ssfi 7548	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 ... ( m / j ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / j ) } C_ ( 1 ... ( m / j ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
44	40, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / j ) } e. Fin )
45		mucl 22494	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
46	11, 45	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
47	46	zcnd 10763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
48	1	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> F : NN --> CC )
49		elrabi 3129	. . . . . . . 8 |- ( k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } -> k e. NN )
50		ffvelrn 5856	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN --> CC /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
51	48, 49, 50	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) -> ( F ` k ) e. CC )
52	44, 47, 51	fsummulc2 13266	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
53	39, 52	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ j e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
54	53	sumeq2dv 13195	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
55		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN )
56	47	adantrr 716	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
57	51	anasss 647	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
58	56, 57	mulcld 9421	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( j e. { x e. NN | x || m } /\ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ) ) -> ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) e. CC )
59	55, 58	fsumdvdsdiag 22539	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } sum_ k e. { x e. NN | x || ( m / j ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
60		ssrab2 3452	. . . . . . . . . 10 |- { x e. NN | x || m } C_ NN
61		dvdsdivcl 22536	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. NN /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
62	61	adantll 713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. { x e. NN | x || m } )
63	60, 62	sseldi 3369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( m / k ) e. NN )
64		musum 22546	. . . . . . . . 9 |- ( ( m / k ) e. NN -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) = if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) )
66	65	oveq1d 6121	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) )
67		fzfid 11810	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin )
68		sgmss 22459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( m / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
69	63, 68	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) )
70		ssfi 7548	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... ( m / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ ( 1 ... ( m / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
71	67, 69, 70	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> { x e. NN | x || ( m / k ) } e. Fin )
72	1	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F : NN --> CC )
73		elrabi 3129	. . . . . . . . 9 |- ( k e. { x e. NN | x || m } -> k e. NN )
74	72, 73, 50	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
75		ssrab2 3452	. . . . . . . . . . 11 |- { x e. NN | x || ( m / k ) } C_ NN
76		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } )
77	75, 76	sseldi 3369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> j e. NN )
78	77, 45	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. ZZ )
79	78	zcnd 10763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) /\ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ) -> ( mmu ` j ) e. CC )
80	71, 74, 79	fsummulc1 13267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) )
81		oveq1 6113	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) = 1 -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = ( 1 x. ( F ` k ) ) )
82		oveq1 6113	. . . . . . . . 9 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) = 0 -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = ( 0 x. ( F ` k ) ) )
83	81, 82	ifsb 3817	. . . . . . . 8 |- ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) )
84		nncn 10345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> m e. CC )
85	84	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> m e. CC )
86	73	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. NN )
87	86	nncnd 10353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k e. CC )
88		1cnd 9417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> 1 e. CC )
89	86	nnne0d 10381	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> k =/= 0 )
90	85, 87, 88, 89	divmuld 10144	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> ( k x. 1 ) = m ) )
91	87	mulid1d 9418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( k x. 1 ) = k )
92	91	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( k x. 1 ) = m <-> k = m ) )
93	90, 92	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( ( m / k ) = 1 <-> k = m ) )
94	74	mulid2d 9419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 1 x. ( F ` k ) ) = ( F ` k ) )
95	74	mul02d 9582	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( 0 x. ( F ` k ) ) = 0 )
96	93, 94, 95	ifbieq12d 3831	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> if ( ( m / k ) = 1 , ( 1 x. ( F ` k ) ) , ( 0 x. ( F ` k ) ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
97	83, 96	syl5eq 2487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> ( if ( ( m / k ) = 1 , 1 , 0 ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
98	66, 80, 97	3eqtr3d 2483	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { x e. NN | x || m } ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
99	98	sumeq2dv 13195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
100	55	nnzd 10761	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. ZZ )
101		iddvds 13561	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m || m )
102	100, 101	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m || m )
103		breq1 4310	. . . . . . . . 9 |- ( x = m -> ( x || m <-> m || m ) )
104	103	elrab 3132	. . . . . . . 8 |- ( m e. { x e. NN | x || m } <-> ( m e. NN /\ m || m ) )
105	55, 102, 104	sylanbrc 664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. { x e. NN | x || m } )
106	105	snssd 4033	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { m } C_ { x e. NN | x || m } )
107	106	sselda 3371	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> k e. { x e. NN | x || m } )
108	107, 74	syldan 470	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> ( F ` k ) e. CC )
109		0cn 9393	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
110		ifcl 3846	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` k ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
111	108, 109, 110	sylancl 662	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. { m } ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) e. CC )
112		eldifsni 4016	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) -> k =/= m )
113	112	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> k =/= m )
114	113	neneqd 2639	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> -. k = m )
115		iffalse 3814	. . . . . . 7 |- ( -. k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = 0 )
116	114, 115	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ k e. ( { x e. NN | x || m } \ { m } ) ) -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = 0 )
117		fzfid 11810	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
118		sgmss 22459	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
119	118	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) )
120		ssfi 7548	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ { x e. NN | x || m } C_ ( 1 ... m ) ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
121	117, 119, 120	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> { x e. NN | x || m } e. Fin )
122	106, 111, 116, 121	fsumss 13217	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) )
123	1	ffvelrnda 5858	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) e. CC )
124		iftrue 3812	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` k ) )
125		fveq2 5706	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( F ` k ) = ( F ` m ) )
126	124, 125	eqtrd 2475	. . . . . . 7 |- ( k = m -> if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
127	126	sumsn 13232	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN /\ ( F ` m ) e. CC ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
128	55, 123, 127	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { m } if ( k = m , ( F ` k ) , 0 ) = ( F ` m ) )
129	99, 122, 128	3eqtr2d 2481	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || m } sum_ j e. { x e. NN | x || ( m / k ) } ( ( mmu ` j ) x. ( F ` k ) ) = ( F ` m ) )
130	54, 59, 129	3eqtrd 2479	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) = ( F ` m ) )
131	130	mpteq2dva 4393	. 2 |- ( ph -> ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( F ` m ) ) )
132	2, 131	eqtr4d 2478	1 |- ( ph -> F = ( m e. NN |-> sum_ j e. { x e. NN | x || m } ( ( mmu ` j ) x. ( G ` ( m / j ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   {crab 2734   \ cdif 3340   C_ wss 3343   ifcif 3806   {csn 3892   class class class wbr 4307   e. cmpt 4365   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Fincfn 7325   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298   x. cmul 9302   < clt 9433   / cdiv 10008   NNcn 10337   ZZcz 10661   ...cfz 11452   sum_csu 13178   || cdivides 13550   mmucmu 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-sum 13179  df-dvds 13551  df-gcd 13706  df-prm 13779  df-pc 13919  df-mu 22453

This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  22759  logsqvma2  22807