MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muinv Structured version   Unicode version

Theorem muinv 22492
Description: The Möbius inversion formula. If  G ( n )  =  sum_ k  ||  n F ( k ) for every  n  e.  NN, then  F ( n )  = 
sum_ k  ||  n  mmu ( k ) G ( n  /  k )  = 
sum_ k  ||  n mmu ( n  /  k
) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function  1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
muinv.2  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
muinv  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, j, n, F    x, j,
k, m, n    ph, j,
k, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x)    G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
21feqmptd 5741 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `
 m ) ) )
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
43ad2antrr 720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) )
54fveq1d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) ) )
6 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  m  <->  j  ||  m ) )
76elrab 3114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  m ) )
87simprbi 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  ||  m )
98adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  ||  m )
10 elrabi 3111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  e.  NN )
1110adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  NN )
1211nnzd 10742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  ZZ )
1311nnne0d 10362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  =/=  0 )
14 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1514ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  ZZ )
16 dvdsval2 13534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
j  ||  m  <->  ( m  /  j )  e.  ZZ ) )
1712, 13, 15, 16syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  ||  m  <->  ( m  / 
j )  e.  ZZ ) )
189, 17mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  ZZ )
19 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
20 nngt0 10347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
2119, 20jca 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  e.  RR  /\  0  <  m ) )
2221ad2antlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  e.  RR  /\  0  < 
m ) )
23 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
24 nngt0 10347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  j )
2523, 24jca 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  e.  RR  /\  0  <  j ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )
27 divgt0 10193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <  m )  /\  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )  -> 
0  <  ( m  /  j ) )
2822, 26, 27syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  0  <  ( m  /  j ) )
29 elnnz 10652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  <->  ( (
m  /  j )  e.  ZZ  /\  0  <  ( m  /  j
) ) )
3018, 28, 29sylanbrc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  NN )
31 breq2 4293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  (
x  ||  n  <->  x  ||  (
m  /  j ) ) )
3231rabbidv 2962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) } )
3332sumeq1d 13174 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) )
34 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) )
35 sumex 13161 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
)  e.  _V
3633, 34, 35fvmpt 5771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
385, 37eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3938oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  ( ( mmu `  j
)  x.  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) ) )
40 fzfid 11791 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
j ) )  e. 
Fin )
41 sgmss 22403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
4230, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
43 ssfi 7529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  j ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  j ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
45 mucl 22438 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
mmu `  j )  e.  ZZ )
4611, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
4746zcnd 10744 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
481ad2antrr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  F : NN
--> CC )
49 elrabi 3111 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
50 ffvelrn 5838 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
5148, 49, 50syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5244, 47, 51fsummulc2 13247 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  ( F `  k )
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
5339, 52eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
5453sumeq2dv 13176 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
55 simpr 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5647adantrr 711 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
mmu `  j )  e.  CC )
5751anasss 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5856, 57mulcld 9402 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
( mmu `  j
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  CC )
5955, 58fsumdvdsdiag 22483 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
60 ssrab2 3434 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  NN
61 dvdsdivcl 22480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  ->  (
m  /  k )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
6261adantll 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
6360, 62sseldi 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e.  NN )
64 musum 22490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6665oveq1d 6105 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) ) )
67 fzfid 11791 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
k ) )  e. 
Fin )
68 sgmss 22403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
6963, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
70 ssfi 7529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  k ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  k ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
7167, 69, 70syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
721adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : NN
--> CC )
73 elrabi 3111 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  k  e.  NN )
7472, 73, 50syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
75 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  NN
76 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) } )
7775, 76sseldi 3351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  NN )
7877, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
7978zcnd 10744 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
8071, 74, 79fsummulc1 13248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
81 oveq1 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) )
82 oveq1 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 k ) ) )
8381, 82ifsb 3799 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( ( m  /  k )  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) ,  ( 0  x.  ( F `  k
) ) )
84 nncn 10326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
8584ad2antlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  CC )
8673adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  NN )
8786nncnd 10334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  CC )
88 1cnd 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  1  e.  CC )
8986nnne0d 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  =/=  0 )
9085, 87, 88, 89divmuld 10125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  ( k  x.  1 )  =  m ) )
9187mulid1d 9399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( k  x.  1 )  =  k )
9291eqeq1d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
k  x.  1 )  =  m  <->  k  =  m ) )
9390, 92bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  k  =  m ) )
9474mulid2d 9400 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9574mul02d 9563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 0  x.  ( F `  k ) )  =  0 )
9693, 94, 95ifbieq12d 3813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  if (
( m  /  k
)  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `  k )
) ,  ( 0  x.  ( F `  k ) ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
9783, 96syl5eq 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
9866, 80, 973eqtr3d 2481 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k
) ,  0 ) )
9998sumeq2dv 13176 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
10055nnzd 10742 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
101 iddvds 13542 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  ||  m )
102100, 101syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  ||  m )
103 breq1 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  (
x  ||  m  <->  m  ||  m
) )
104103elrab 3114 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( m  e.  NN  /\  m  ||  m ) )
10555, 102, 104sylanbrc 659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
106105snssd 4015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { m }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
107106sselda 3353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } )
108107, 74syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
109 0cn 9374 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
110 ifcl 3828 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  e.  CC )
111108, 109, 110sylancl 657 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  CC )
112 eldifsni 3998 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } )  ->  k  =/=  m )
113112adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  -> 
k  =/=  m )
114113neneqd 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  -.  k  =  m
)
115 iffalse 3796 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
116114, 115syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
117 fzfid 11791 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
118 sgmss 22403 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
119118adantl 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
120 ssfi 7529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
121117, 119, 120syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
122106, 111, 116, 121fsumss 13198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
1231ffvelrnda 5840 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
124 iftrue 3794 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 k ) )
125 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
126124, 125eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
127126sumsn 13213 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( F `  m )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  =  ( F `  m ) )
12855, 123, 127syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
12999, 122, 1283eqtr2d 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  m
) )
13054, 59, 1293eqtrd 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  ( F `
 m ) )
131130mpteq2dva 4375 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `  m ) ) )
1322, 131eqtr4d 2476 1  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   {crab 2717    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    < clt 9414    / cdiv 9989   NNcn 10318   ZZcz 10642   ...cfz 11433   sum_csu 13159    || cdivides 13531   mmucmu 22391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-pc 13900  df-mu 22397
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  22703  logsqvma2  22751
  Copyright terms: Public domain W3C validator