MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mudivsum Structured version   Unicode version

Theorem mudivsum 22663
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  mmu (
n )  /  n  =  O(1). Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mudivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mudivsum
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9388 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
2 reex 9360 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
3 rpssre 10988 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
42, 3ssexi 4425 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
6 fzfid 11778 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
7 rpre 10984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
8 elfznn 11464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
9 nndivre 10344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
107, 8, 9syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1110recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
12 reflcl 11629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
1310, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1413recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
1511, 14subcld 9706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
168adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
17 mucl 22363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1918zcnd 10735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
2015, 19mulcld 9393 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
216, 20fsumcl 13193 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
22 rpcn 10986 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
23 rpne0 10993 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
2421, 22, 23divcld 10094 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
2524adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
26 ovex 6105 . . . . . 6  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
_V )
28 eqidd 2434 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) ) )
29 eqidd 2434 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
305, 25, 27, 28, 29offval2 6325 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
313a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
3221adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
3322adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  CC )
3423adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  =/=  0 )
3532, 33, 34absdivd 12924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
36 rprege0 10992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
37 absid 12768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  x )  =  x )
3938adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  x )  =  x )
4039oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4135, 40eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4232abscld 12905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
43 fzfid 11778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4420adantlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
4544abscld 12905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
4643, 45fsumrecl 13194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
477adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR )
4843, 44fsumabs 13246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
49 reflcl 11629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
51 1red 9388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
5215adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
53 elfznn 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
5453ssriv 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN )
5655sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
5756, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
5857zcnd 10735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
5952, 58absmuld 12923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) ) )
6052abscld 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
6158abscld 12905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  e.  RR )
6252absge0d 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
6358absge0d 12913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( mmu `  n ) ) )
64 simpl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR+ )
658nnrpd 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
66 rpdivcl 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
6764, 65, 66syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
683, 67sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
6968, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
70 flle 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
7168, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
7269, 68, 71abssubge0d 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )
73 fracle1 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7468, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7572, 74eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  1 )
76 mule1 22370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
7756, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  <_  1 )
7860, 51, 61, 51, 62, 63, 75, 77lemul12ad 10262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
( 1  x.  1 ) )
79 1t1e1 10456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
8078, 79syl6breq 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
1 )
8159, 80eqbrtrd 4300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  1 )
8243, 45, 51, 81fsumle 13244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) 1 )
83 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  CC )
84 fsumconst 13239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
8543, 83, 84syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
86 flge1nn 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
877, 86sylan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
8887nnnn0d 10623 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e. 
NN0 )
89 hashfz1 12100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  =  ( |_ `  x
) )
9190oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  x )  x.  1 ) )
9250recnd 9399 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
9392mulid1d 9390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( |_ `  x
)  x.  1 )  =  ( |_ `  x ) )
9485, 91, 933eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( |_
`  x ) )
9582, 94breqtrd 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( |_ `  x ) )
96 flle 11632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
9747, 96syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
9846, 50, 47, 95, 97letrd 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
9942, 46, 47, 48, 98letrd 9515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
10033mulid1d 9390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
10199, 100breqtrrd 4306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) )
102 1red 9388 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  RR )
10342, 102, 64ledivmuld 11063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) ) )
104101, 103mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1 )
10541, 104eqbrtrd 4300 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
106105adantl 463 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
10731, 25, 1, 1, 106elo1d 12997 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
108 ax-1cn 9327 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
109 divrcnv 13297 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
111 rlimo1 13077 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )
112110, 111mp1i 12 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O(1) )
113 o1add 13074 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
114107, 112, 113syl2anc 654 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
11530, 114eqeltrrd 2508 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
116 ovex 6105 . . . 4  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V )
11818zred 10734 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
119118, 16nndivred 10357 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
120119recnd 9399 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1216, 120fsumcl 13193 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
122121adantl 463 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
123121adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
124123abscld 12905 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
125120adantlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
12643, 33, 125fsummulc2 13233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
12714, 19mulcld 9393 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
128127adantlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
12943, 44, 128fsumadd 13198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
13011adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
13114adantlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
132130, 131npcand 9710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  +  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  =  ( x  /  n ) )
133132oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
13452, 131, 58adddird 9398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) ) )
13533adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
13656nnrpd 11013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
137 rpcnne0 10995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
139 div23 10000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
140 divass 9999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
141139, 140eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
142135, 58, 138, 141syl3anc 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
143133, 134, 1423eqtr3d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
144143sumeq2dv 13163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) ) )
145 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
mmu `  n )  =  ( mmu `  n ) )
146 ssrab2 3425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
147 simprr 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
148146, 147sseldi 3342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  NN )
149148, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
150149zcnd 10735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
151145, 47, 150dvdsflsumcom 22412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n ) )
1521503impb 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
153152mulid1d 9390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  ( mmu `  n ) )
1541532sumeq2dv 13165 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )
)
155 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  1  =  1 )
156 nnuz 10883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15787, 156syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
158 eluzfz1 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
160 1cnd 9389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
161155, 43, 55, 159, 160musumsum 22416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  1 )
162154, 161eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  1 )
163 fzfid 11778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  e.  Fin )
164 fsumconst 13239 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  Fin  /\  (
mmu `  n )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
165163, 58, 164syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
166 rprege0 10992 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( ( x  /  n )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n
) ) )
167 flge0nn0 11649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  n ) )  e.  NN0 )
168 hashfz1 12100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )
16967, 166, 167, 1684syl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )
170169oveq1d 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  =  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
171165, 170eqtrd 2465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )
172171sumeq2dv 13163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
173151, 162, 1723eqtr3rd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
)  =  1 )
174173oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
175129, 144, 1743eqtr3d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
176126, 175eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
177176oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
) )
178123, 33, 34divcan3d 10099 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )
179 rpcnne0 10995 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
180179adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
181 divdir 10004 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
18232, 83, 180, 181syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
183177, 178, 1823eqtr3d 2473 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
184183fveq2d 5683 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
185 eqle 9464 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
186124, 184, 185syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
187186adantl 463 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
1881, 115, 117, 122, 187o1le 13113 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O(1) )
189188trud 1371 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362   T. wtru 1363    e. wcel 1755    =/= wne 2596   {crab 2709   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    oFcof 6307   Fincfn 7298   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    <_ cle 9406    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978   ...cfz 11423   |_cfl 11623   #chash 12086   abscabs 12706    ~~> r crli 12946   O(1)co1 12947   sum_csu 13146    || cdivides 13517   mmucmu 22316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-disj 4251  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-ico 11293  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-o1 12951  df-lo1 12952  df-sum 13147  df-dvds 13518  df-gcd 13673  df-prm 13746  df-pc 13886  df-mu 22322
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  22664  mulog2sumlem3  22669  selberglem1  22678
  Copyright terms: Public domain W3C validator