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Theorem mudivsum 24447
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  mmu (
n )  /  n  =  O(1). Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mudivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mudivsum
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9676 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
2 reex 9648 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
3 rpssre 11335 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
42, 3ssexi 4541 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
6 fzfid 12224 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
7 rpre 11331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
8 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
9 nndivre 10667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
107, 8, 9syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1110recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
12 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
1310, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1413recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
1511, 14subcld 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
168adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
17 mucl 24147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1918zcnd 11064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
2015, 19mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
216, 20fsumcl 13876 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
22 rpcn 11333 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
23 rpne0 11340 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
2421, 22, 23divcld 10405 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
2524adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
26 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
_V )
28 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) ) )
29 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
305, 25, 27, 28, 29offval2 6567 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
313a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
3221adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
3322adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  CC )
3423adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  =/=  0 )
3532, 33, 34absdivd 13594 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
36 rprege0 11339 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
37 absid 13436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  x )  =  x )
3938adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  x )  =  x )
4039oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4135, 40eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4232abscld 13575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
43 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4420adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
4544abscld 13575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
4643, 45fsumrecl 13877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
477adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR )
4843, 44fsumabs 13938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
49 reflcl 12065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
5047, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
51 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
5215adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
53 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
5453ssriv 3422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN )
5655sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
5756, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
5857zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
5952, 58absmuld 13593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) ) )
6052abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
6158abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  e.  RR )
6252absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
6358absge0d 13583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( mmu `  n ) ) )
64 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR+ )
658nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
66 rpdivcl 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
6764, 65, 66syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
683, 67sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
6968, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
70 flle 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
7168, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
7269, 68, 71abssubge0d 13570 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )
73 fracle1 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7468, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7572, 74eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  1 )
76 mule1 24154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
7756, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  <_  1 )
7860, 51, 61, 51, 62, 63, 75, 77lemul12ad 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
( 1  x.  1 ) )
79 1t1e1 10780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
8078, 79syl6breq 4435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
1 )
8159, 80eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  1 )
8243, 45, 51, 81fsumle 13936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) 1 )
83 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  CC )
84 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
8543, 83, 84syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
86 flge1nn 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
877, 86sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
8887nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e. 
NN0 )
89 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  =  ( |_ `  x
) )
9190oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  x )  x.  1 ) )
9250recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
9392mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( |_ `  x
)  x.  1 )  =  ( |_ `  x ) )
9485, 91, 933eqtrd 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( |_
`  x ) )
9582, 94breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( |_ `  x ) )
96 flle 12068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
9747, 96syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
9846, 50, 47, 95, 97letrd 9809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
9942, 46, 47, 48, 98letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
10033mulid1d 9678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
10199, 100breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) )
102 1red 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  RR )
10342, 102, 64ledivmuld 11414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) ) )
104101, 103mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1 )
10541, 104eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
106105adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
10731, 25, 1, 1, 106elo1d 13677 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
108 ax-1cn 9615 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
109 divrcnv 13987 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
111 rlimo1 13757 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )
112110, 111mp1i 13 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O(1) )
113 o1add 13754 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
114107, 112, 113syl2anc 673 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
11530, 114eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
116 ovex 6336 . . . 4  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V )
11818zred 11063 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
119118, 16nndivred 10680 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
120119recnd 9687 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1216, 120fsumcl 13876 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
122121adantl 473 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
123121adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
124123abscld 13575 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
125120adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
12643, 33, 125fsummulc2 13922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
12714, 19mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
128127adantlr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
12943, 44, 128fsumadd 13882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
13011adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
13114adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
132130, 131npcand 10009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  +  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  =  ( x  /  n ) )
133132oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
13452, 131, 58adddird 9686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) ) )
13533adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
13656nnrpd 11362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
137 rpcnne0 11342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
138136, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
139 div23 10311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
140 divass 10310 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
141139, 140eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
142135, 58, 138, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
143133, 134, 1423eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
144143sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) ) )
145 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
mmu `  n )  =  ( mmu `  n ) )
146 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
147 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
148146, 147sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  NN )
149148, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
150149zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
151145, 47, 150dvdsflsumcom 24196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n ) )
1521503impb 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
153152mulid1d 9678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  ( mmu `  n ) )
1541532sumeq2dv 13848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )
)
155 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  1  =  1 )
156 nnuz 11218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15787, 156syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
158 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
159157, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
160 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
161155, 43, 55, 159, 160musumsum 24200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  1 )
162154, 161eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  1 )
163 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  e.  Fin )
164 fsumconst 13928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  Fin  /\  (
mmu `  n )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
165163, 58, 164syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
166 rprege0 11339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( ( x  /  n )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n
) ) )
167 flge0nn0 12087 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  n ) )  e.  NN0 )
168 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )
16967, 166, 167, 1684syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )
170169oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  =  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
171165, 170eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )
172171sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
173151, 162, 1723eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
)  =  1 )
174173oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
175129, 144, 1743eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
176126, 175eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
177176oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
) )
178123, 33, 34divcan3d 10410 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )
179 rpcnne0 11342 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
180179adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
181 divdir 10315 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
18232, 83, 180, 181syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
183177, 178, 1823eqtr3d 2513 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
184183fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
185 eqle 9754 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
186124, 184, 185syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
187186adantl 473 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
1881, 115, 117, 122, 187o1le 13793 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O(1) )
189188trud 1461 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   T. wtru 1453    e. wcel 1904    =/= wne 2641   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   |_cfl 12059   #chash 12553   abscabs 13374    ~~> r crli 13626   O(1)co1 13627   sum_csu 13829    || cdvds 14382   mmucmu 24100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-lo1 13632  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-mu 24106
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