MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mudivsum Structured version   Unicode version

Theorem mudivsum 22784
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  mmu (
n )  /  n  =  O(1). Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mudivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O(1)
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mudivsum
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 9406 . . 3  |-  ( T. 
->  1  e.  RR )
2 reex 9378 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
3 rpssre 11006 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
42, 3ssexi 4442 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  RR+  e.  _V )
6 fzfid 11800 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
7 rpre 11002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
8 elfznn 11483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
9 nndivre 10362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
107, 8, 9syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1110recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
12 reflcl 11651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
1310, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1413recnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
1511, 14subcld 9724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
168adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
17 mucl 22484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1918zcnd 10753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
2015, 19mulcld 9411 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
216, 20fsumcl 13215 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
22 rpcn 11004 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
23 rpne0 11011 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
2421, 22, 23divcld 10112 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
2524adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
26 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2726a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
_V )
28 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) ) )
29 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
305, 25, 27, 28, 29offval2 6341 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
313a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  RR+  C_  RR )
3221adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
3322adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  CC )
3423adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  =/=  0 )
3532, 33, 34absdivd 12946 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
36 rprege0 11010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
37 absid 12790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  x )  =  x )
3938adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  x )  =  x )
4039oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4135, 40eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4232abscld 12927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
43 fzfid 11800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4420adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
4544abscld 12927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
4643, 45fsumrecl 13216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
477adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR )
4843, 44fsumabs 13269 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
49 reflcl 11651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
51 1red 9406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
5215adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
53 elfznn 11483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
5453ssriv 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN )
5655sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
5756, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
5857zcnd 10753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
5952, 58absmuld 12945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) ) )
6052abscld 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
6158abscld 12927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  e.  RR )
6252absge0d 12935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
6358absge0d 12935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( mmu `  n ) ) )
64 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR+ )
658nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
66 rpdivcl 11018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
6764, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
683, 67sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
6968, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
70 flle 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
7168, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
7269, 68, 71abssubge0d 12923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )
73 fracle1 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7468, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7572, 74eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  1 )
76 mule1 22491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
7756, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  <_  1 )
7860, 51, 61, 51, 62, 63, 75, 77lemul12ad 10280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
( 1  x.  1 ) )
79 1t1e1 10474 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
8078, 79syl6breq 4336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
1 )
8159, 80eqbrtrd 4317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  1 )
8243, 45, 51, 81fsumle 13267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) 1 )
83 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  CC )
84 fsumconst 13262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
8543, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
86 flge1nn 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
877, 86sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
8887nnnn0d 10641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e. 
NN0 )
89 hashfz1 12122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  =  ( |_ `  x
) )
9190oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  x )  x.  1 ) )
9250recnd 9417 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
9392mulid1d 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( |_ `  x
)  x.  1 )  =  ( |_ `  x ) )
9485, 91, 933eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( |_
`  x ) )
9582, 94breqtrd 4321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( |_ `  x ) )
96 flle 11654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
9747, 96syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
9846, 50, 47, 95, 97letrd 9533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
9942, 46, 47, 48, 98letrd 9533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
10033mulid1d 9408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
10199, 100breqtrrd 4323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) )
102 1red 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  RR )
10342, 102, 64ledivmuld 11081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) ) )
104101, 103mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1 )
10541, 104eqbrtrd 4317 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
106105adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
10731, 25, 1, 1, 106elo1d 13019 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O(1) )
108 ax-1cn 9345 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
109 divrcnv 13320 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
110108, 109ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
111 rlimo1 13099 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )
112110, 111mp1i 12 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O(1) )
113 o1add 13096 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O(1) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
114107, 112, 113syl2anc 661 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  oF  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
11530, 114eqeltrrd 2518 . . 3  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O(1) )
116 ovex 6121 . . . 4  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V
117116a1i 11 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V )
11818zred 10752 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
119118, 16nndivred 10375 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
120119recnd 9417 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1216, 120fsumcl 13215 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
122121adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
123121adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
124123abscld 12927 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
125120adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
12643, 33, 125fsummulc2 13256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
12714, 19mulcld 9411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
128127adantlr 714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
12943, 44, 128fsumadd 13220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
13011adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
13114adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
132130, 131npcand 9728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  +  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  =  ( x  /  n ) )
133132oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
13452, 131, 58adddird 9416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) ) )
13533adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
13656nnrpd 11031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
137 rpcnne0 11013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
138136, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
139 div23 10018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
140 divass 10017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
141139, 140eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
142135, 58, 138, 141syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
143133, 134, 1423eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
144143sumeq2dv 13185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) ) )
145 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
mmu `  n )  =  ( mmu `  n ) )
146 ssrab2 3442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
147 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
148146, 147sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  NN )
149148, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
150149zcnd 10753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
151145, 47, 150dvdsflsumcom 22533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n ) )
1521503impb 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
153152mulid1d 9408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  ( mmu `  n ) )
1541532sumeq2dv 13187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )
)
155 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  1  =  1 )
156 nnuz 10901 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15787, 156syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
158 eluzfz1 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
160 1cnd 9407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
161155, 43, 55, 159, 160musumsum 22537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  1 )
162154, 161eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  1 )
163 fzfid 11800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  e.  Fin )
164 fsumconst 13262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  Fin  /\  (
mmu `  n )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
165163, 58, 164syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
166 rprege0 11010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( ( x  /  n )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n
) ) )
167 flge0nn0 11671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  n ) )  e.  NN0 )
168 hashfz1 12122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )
16967, 166, 167, 1684syl 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )
170169oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  =  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
171165, 170eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )
172171sumeq2dv 13185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
173151, 162, 1723eqtr3rd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
)  =  1 )
174173oveq2d 6112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
175129, 144, 1743eqtr3d 2483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
176126, 175eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
177176oveq1d 6111 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
) )
178123, 33, 34divcan3d 10117 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )
179 rpcnne0 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
180179adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
181 divdir 10022 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
18232, 83, 180, 181syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
183177, 178, 1823eqtr3d 2483 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
184183fveq2d 5700 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
185 eqle 9482 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
186124, 184, 185syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
187186adantl 466 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
1881, 115, 117, 122, 187o1le 13135 . 2  |-  ( T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O(1) )
189188trud 1378 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O(1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   T. wtru 1370    e. wcel 1756    =/= wne 2611   {crab 2724   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323   Fincfn 7315   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290    x. cmul 9292    <_ cle 9424    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ZZ>=cuz 10866   RR+crp 10996   ...cfz 11442   |_cfl 11645   #chash 12108   abscabs 12728    ~~> r crli 12968   O(1)co1 12969   sum_csu 13168    || cdivides 13540   mmucmu 22437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-ico 11311  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-o1 12973  df-lo1 12974  df-sum 13169  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-pc 13909  df-mu 22443
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  22785  mulog2sumlem3  22790  selberglem1  22799
  Copyright terms: Public domain W3C validator