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Theorem mtestbdd 23346
Description: Given the hypotheses of the Weierstrass M-test, the convergent function of the sequence is uniformly bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
mtest.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
mtest.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
mtest.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
mtest.m  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
mtest.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
mtest.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
mtest.d  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
mtest.t  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
Assertion
Ref Expression
mtestbdd  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    x, k,
z, F    k, M, x, z    k, N, x, z    ph, k, x, z   
x, T, z    k, Z, x, z    S, k, x, z
Allowed substitution hints:    T( k)    V( x, z, k)    W( x, z, k)

Proof of Theorem mtestbdd
Dummy variables  j  n  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2 mtest.d . . 3  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
3 mtest.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
4 mtest.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
54recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
63, 1, 5serf 12240 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M ) : Z --> CC )
76ffvelrnda 6033 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
)  e.  CC )
87ralrimiva 2839 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  Z  (  seq N (  +  ,  M ) `  m )  e.  CC )
93climbdd 13722 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq N (  +  ,  M )  e.  dom  ~~>  /\ 
A. m  e.  Z  (  seq N (  +  ,  M ) `  m )  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
101, 2, 8, 9syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
111adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  N  e.  ZZ )
12 seqfn 12224 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>= `  N
) )
131, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  N ) )
143fneq2i 5685 . . . . . 6  |-  (  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  Z  <->  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
1513, 14sylibr 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  Z )
16 mtest.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
17 ulmf2 23325 . . . . 5  |-  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  Z  /\  seq N (  oF  +  ,  F ) ( ~~> u `  S
) T )  ->  seq N (  oF  +  ,  F ) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1815, 16, 17syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1918adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
20 simplrl 768 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  y  e.  RR )
21 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  j
) `  x )  =  ( ( F `
 j ) `  z ) )
2221mpteq2dv 4508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  x )
)  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )
2322seqeq3d 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) )  =  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) )
2423fveq1d 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n )  =  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) `
 n ) )
25 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) )  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) )
26 fvex 5887 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) ) `  n )  e.  _V
2724, 25, 26fvmpt 5960 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) `  n
) )
2827adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) `  n
) )
29 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
3029ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
3130feqmptd 5930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F  =  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )
3230ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
33 elmapi 7497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
3534feqmptd 5930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) )
3635mpteq2dva 4507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) )
3731, 36eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F  =  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) ) )
3837seqeq3d 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  seq N (  oF  +  ,  F )  =  seq N (  oF  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) ) )
3938fveq1d 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n )  =  (  seq N (  oF  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) ) `
 n ) )
40 mtest.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4140ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  S  e.  V )
42 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  n  e.  Z )
4342, 3syl6eleq 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
44 elfzuz 11796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4544, 3syl6eleqr 2521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( N ... n )  ->  k  e.  Z )
4645ssriv 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N ... n )  C_  Z
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... n )  C_  Z )
4834ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  /\  n  e.  Z
)  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  j
) `  x )  e.  CC )
4948anasss 651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  (
j  e.  Z  /\  x  e.  S )
)  ->  ( ( F `  j ) `  x )  e.  CC )
5041, 43, 47, 49seqof2 12270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) ) `  n
)  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) ) )
5139, 50eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n )  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) )
5251fveq1d 5879 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z )  =  ( ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z ) )
5345adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  k  e.  Z )
54 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
5554fveq1d 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( F `  j
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
56 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 z ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) )
57 fvex 5887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) `
 z )  e. 
_V
5855, 56, 57fvmpt 5960 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5953, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
60 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  z  e.  S )
6134, 60ffvelrnd 6034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) `  z )  e.  CC )
6261, 56fmptd 6057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) : Z --> CC )
6362ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  e.  CC )
6445, 63sylan2 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  e.  CC )
6559, 64eqeltrrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
6659, 43, 65fsumser 13783 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) `
 n ) )
6728, 52, 663eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `
 z ) )
6867fveq2d 5881 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n ) `  z ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `
 z ) ) )
69 fzfid 12185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... n )  e. 
Fin )
7069, 65fsumcl 13786 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
7170abscld 13485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  e.  RR )
7265abscld 13485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  e.  RR )
7369, 72fsumrecl 13787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
7420adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  RR )
7569, 65fsumabs 13848 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
76 simp-4l 774 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ph )
7776, 53, 4syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
7869, 77fsumrecl 13787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  e.  RR )
79 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  z  e.  S )
80 mtest.l . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
8176, 53, 79, 80syl12anc 1262 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
8269, 72, 77, 81fsumle 13846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k ) )
8378recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  e.  CC )
8483abscld 13485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  e.  RR )
8578leabsd 13464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  <_  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) ) )
86 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
8776, 53, 5syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
8886, 43, 87fsumser 13783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  =  (  seq N (  +  ,  M ) `  n ) )
8988fveq2d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  =  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) ) )
90 simprr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
91 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
)  =  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) )
9291fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  m )
)  =  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 n ) ) )
9392breq1d 4430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y  <->  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) )  <_  y
) )
9493rspccva 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y  /\  n  e.  Z
)  ->  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 n ) )  <_  y )
9590, 94sylan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  n )
)  <_  y )
9695adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  n )
)  <_  y )
9789, 96eqbrtrd 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  <_  y
)
9878, 84, 74, 85, 97letrd 9792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  <_  y
)
9973, 78, 74, 82, 98letrd 9792 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  y )
10071, 73, 74, 75, 99letrd 9792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  y
)
10168, 100eqbrtrd 4441 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n ) `  z ) )  <_ 
y )
102101ralrimiva 2839 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  n
) `  z )
)  <_  y )
103 breq2 4424 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x 
<->  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y ) )
104103ralbidv 2864 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x 
<-> 
A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y ) )
105104rspcev 3182 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x )
10620, 102, 105syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x )
10716adantr 466 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
1083, 11, 19, 106, 107ulmbdd 23339 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
10910, 108rexlimddv 2921 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776    C_ wss 3436   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   dom cdm 4849    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oFcof 6539    ^m cmap 7476   CCcc 9537   RRcr 9538    + caddc 9542    <_ cle 9676   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784    seqcseq 12212   abscabs 13285    ~~> cli 13535   sum_csu 13739   ~~> uculm 23317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-oi 8027  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-clim 13539  df-sum 13740  df-ulm 23318
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