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Theorem mtestbdd 21885
Description: Given the hypotheses of the Weierstrass M-test, the convergent function of the sequence is uniformly bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
mtest.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
mtest.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
mtest.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
mtest.m  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
mtest.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
mtest.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
mtest.d  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
mtest.t  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
Assertion
Ref Expression
mtestbdd  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    x, k,
z, F    k, M, x, z    k, N, x, z    ph, k, x, z   
x, T, z    k, Z, x, z    S, k, x, z
Allowed substitution hints:    T( k)    V( x, z, k)    W( x, z, k)

Proof of Theorem mtestbdd
Dummy variables  j  n  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2 mtest.d . . 3  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
3 mtest.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
4 mtest.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
54recnd 9427 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
63, 1, 5serf 11849 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M ) : Z --> CC )
76ffvelrnda 5858 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
)  e.  CC )
87ralrimiva 2814 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  Z  (  seq N (  +  ,  M ) `  m )  e.  CC )
93climbdd 13164 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq N (  +  ,  M )  e.  dom  ~~>  /\ 
A. m  e.  Z  (  seq N (  +  ,  M ) `  m )  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
101, 2, 8, 9syl3anc 1218 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
111adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  N  e.  ZZ )
12 seqfn 11833 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>= `  N
) )
131, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  N ) )
143fneq2i 5521 . . . . . 6  |-  (  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  Z  <->  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
1513, 14sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  Z )
16 mtest.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
17 ulmf2 21864 . . . . 5  |-  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  Z  /\  seq N (  oF  +  ,  F ) ( ~~> u `  S
) T )  ->  seq N (  oF  +  ,  F ) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1815, 16, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1918adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
20 simplrl 759 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  y  e.  RR )
21 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  j
) `  x )  =  ( ( F `
 j ) `  z ) )
2221mpteq2dv 4394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  x )
)  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )
2322seqeq3d 11829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) )  =  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) )
2423fveq1d 5708 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n )  =  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) `
 n ) )
25 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) )  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) )
26 fvex 5716 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) ) `  n )  e.  _V
2724, 25, 26fvmpt 5789 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) `  n
) )
2827adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) `  n
) )
29 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
3029ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
3130feqmptd 5759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F  =  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )
3230ffvelrnda 5858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
33 elmapi 7249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
3534feqmptd 5759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) )
3635mpteq2dva 4393 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) )
3731, 36eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F  =  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) ) )
3837seqeq3d 11829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  seq N (  oF  +  ,  F )  =  seq N (  oF  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) ) )
3938fveq1d 5708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n )  =  (  seq N (  oF  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) ) `
 n ) )
40 mtest.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4140ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  S  e.  V )
42 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  n  e.  Z )
4342, 3syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
44 elfzuz 11464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4544, 3syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( N ... n )  ->  k  e.  Z )
4645ssriv 3375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N ... n )  C_  Z
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... n )  C_  Z )
4834ffvelrnda 5858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  /\  n  e.  Z
)  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  j
) `  x )  e.  CC )
4948anasss 647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  (
j  e.  Z  /\  x  e.  S )
)  ->  ( ( F `  j ) `  x )  e.  CC )
5041, 43, 47, 49seqof2 11879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) ) `  n
)  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) ) )
5139, 50eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n )  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) )
5251fveq1d 5708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z )  =  ( ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z ) )
5345adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  k  e.  Z )
54 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
5554fveq1d 5708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( F `  j
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
56 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 z ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) )
57 fvex 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) `
 z )  e. 
_V
5855, 56, 57fvmpt 5789 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5953, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
60 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  z  e.  S )
6134, 60ffvelrnd 5859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) `  z )  e.  CC )
6261, 56fmptd 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) : Z --> CC )
6362ffvelrnda 5858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  e.  CC )
6445, 63sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  e.  CC )
6559, 64eqeltrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
6659, 43, 65fsumser 13222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) `
 n ) )
6728, 52, 663eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `
 z ) )
6867fveq2d 5710 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n ) `  z ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `
 z ) ) )
69 fzfid 11810 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... n )  e. 
Fin )
7069, 65fsumcl 13225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
7170abscld 12937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  e.  RR )
7265abscld 12937 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  e.  RR )
7369, 72fsumrecl 13226 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
7420adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  RR )
7569, 65fsumabs 13279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
76 simp-4l 765 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ph )
7776, 53, 4syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
7869, 77fsumrecl 13226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  e.  RR )
79 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  z  e.  S )
80 mtest.l . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
8176, 53, 79, 80syl12anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
8269, 72, 77, 81fsumle 13277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k ) )
8378recnd 9427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  e.  CC )
8483abscld 12937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  e.  RR )
8578leabsd 12916 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  <_  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) ) )
86 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
8776, 53, 5syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
8886, 43, 87fsumser 13222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  =  (  seq N (  +  ,  M ) `  n ) )
8988fveq2d 5710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  =  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) ) )
90 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
91 fveq2 5706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
)  =  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) )
9291fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  m )
)  =  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 n ) ) )
9392breq1d 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y  <->  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) )  <_  y
) )
9493rspccva 3087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y  /\  n  e.  Z
)  ->  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 n ) )  <_  y )
9590, 94sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  n )
)  <_  y )
9695adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  n )
)  <_  y )
9789, 96eqbrtrd 4327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  <_  y
)
9878, 84, 74, 85, 97letrd 9543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  <_  y
)
9973, 78, 74, 82, 98letrd 9543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  y )
10071, 73, 74, 75, 99letrd 9543 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  y
)
10168, 100eqbrtrd 4327 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n ) `  z ) )  <_ 
y )
102101ralrimiva 2814 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  n
) `  z )
)  <_  y )
103 breq2 4311 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x 
<->  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y ) )
104103ralbidv 2750 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x 
<-> 
A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y ) )
105104rspcev 3088 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x )
10620, 102, 105syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x )
10716adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
1083, 11, 19, 106, 107ulmbdd 21878 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
10910, 108rexlimddv 2860 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   E.wrex 2731    C_ wss 3343   class class class wbr 4307    e. cmpt 4365   dom cdm 4855    Fn wfn 5428   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    oFcof 6333    ^m cmap 7229   CCcc 9295   RRcr 9296    + caddc 9300    <_ cle 9434   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   ...cfz 11452    seqcseq 11821   abscabs 12738    ~~> cli 12977   sum_csu 13178   ~~> uculm 21856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-rp 11007  df-ico 11321  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-sum 13179  df-ulm 21857
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