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Theorem mtestbdd 20274
Description: Given the hypotheses of the Weierstrass M-test, the convergent function of the sequence is uniformly bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
mtest.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
mtest.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
mtest.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
mtest.m  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
mtest.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
mtest.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
mtest.d  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
mtest.t  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
Assertion
Ref Expression
mtestbdd  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    x, k,
z, F    k, M, x, z    k, N, x, z    ph, k, x, z   
x, T, z    k, Z, x, z    S, k, x, z
Allowed substitution hints:    T( k)    V( x, z, k)    W( x, z, k)

Proof of Theorem mtestbdd
Dummy variables  j  n  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2 mtest.d . . 3  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
3 mtest.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
4 mtest.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
54recnd 9070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
63, 1, 5serf 11306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M ) : Z --> CC )
76ffvelrnda 5829 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (  seq  N (  +  ,  M ) `  m
)  e.  CC )
87ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  Z  (  seq  N (  +  ,  M ) `  m )  e.  CC )
93climbdd 12420 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq  N (  +  ,  M )  e.  dom  ~~>  /\ 
A. m  e.  Z  (  seq  N (  +  ,  M ) `  m )  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
101, 2, 8, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
111adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  N  e.  ZZ )
12 seqfn 11290 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  seq  N (  o F  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
131, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  N ) )
143fneq2i 5499 . . . . . 6  |-  (  seq 
N (  o F  +  ,  F )  Fn  Z  <->  seq  N (  o F  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
1513, 14sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  Fn  Z )
16 mtest.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
17 ulmf2 20253 . . . . 5  |-  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
)  Fn  Z  /\  seq  N (  o F  +  ,  F ) ( ~~> u `  S
) T )  ->  seq  N (  o F  +  ,  F ) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1815, 16, 17syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1918adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  seq  N (  o F  +  ,  F ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
20 simplrl 737 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  y  e.  RR )
21 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  j
) `  x )  =  ( ( F `
 j ) `  z ) )
2221mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  x )
)  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )
2322seqeq3d 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  seq  N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  x )
) )  =  seq  N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) )
2423fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (  seq  N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n )  =  (  seq  N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) `
 n ) )
25 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) )  =  ( x  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) )
26 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq 
N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) ) `  n )  e.  _V
2724, 25, 26fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) `  n
) )
2827adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) `  n
) )
29 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
3029ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
3130feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F  =  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )
3230ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
33 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
3534feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) )
3635mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) )
3731, 36eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F  =  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) ) )
3837seqeq3d 11286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  seq  N (  o F  +  ,  F )  =  seq  N (  o F  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) ) ) )
3938fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 n )  =  (  seq  N (  o F  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) ) `
 n ) )
40 mtest.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4140ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  S  e.  V )
42 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  n  e.  Z )
4342, 3syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
44 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4544, 3syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( N ... n )  ->  k  e.  Z )
4645ssriv 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N ... n )  C_  Z
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... n )  C_  Z )
4834ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  /\  n  e.  Z
)  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  j
) `  x )  e.  CC )
4948anasss 629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  (
j  e.  Z  /\  x  e.  S )
)  ->  ( ( F `  j ) `  x )  e.  CC )
5041, 43, 47, 49seqof2 11336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) ) `  n
)  =  ( x  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) ) )
5139, 50eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 n )  =  ( x  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) )
5251fveq1d 5689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  n
) `  z )  =  ( ( x  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) ) `  z ) )
5345adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  k  e.  Z )
54 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
5554fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( F `  j
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
56 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 z ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) )
57 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) `
 z )  e. 
_V
5855, 56, 57fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5953, 58syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
60 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  z  e.  S )
6134, 60ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) `  z )  e.  CC )
6261, 56fmptd 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) : Z --> CC )
6362ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  e.  CC )
6445, 63sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  e.  CC )
6559, 64eqeltrrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
6659, 43, 65fsumser 12479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) `
 n ) )
6728, 52, 663eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  n
) `  z )  =  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )
6867fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 n ) `  z ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `
 z ) ) )
69 fzfid 11267 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... n )  e. 
Fin )
7069, 65fsumcl 12482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
7170abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  e.  RR )
7265abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  e.  RR )
7369, 72fsumrecl 12483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
7420adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  RR )
7569, 65fsumabs 12535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
76 simp-4l 743 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ph )
7776, 53, 4syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
7869, 77fsumrecl 12483 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  e.  RR )
79 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  z  e.  S )
80 mtest.l . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
8176, 53, 79, 80syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
8269, 72, 77, 81fsumle 12533 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k ) )
8378recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  e.  CC )
8483abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  e.  RR )
8578leabsd 12172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  <_  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) ) )
86 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
8776, 53, 5syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
8886, 43, 87fsumser 12479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  =  (  seq  N (  +  ,  M ) `  n ) )
8988fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  =  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  n
) ) )
90 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
91 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  N (  +  ,  M ) `  m
)  =  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  n
) )
9291fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( abs `  (  seq  N
(  +  ,  M
) `  m )
)  =  ( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 n ) ) )
9392breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y  <->  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  n
) )  <_  y
) )
9493rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y  /\  n  e.  Z
)  ->  ( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 n ) )  <_  y )
9590, 94sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  ( abs `  (  seq  N
(  +  ,  M
) `  n )
)  <_  y )
9695adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  (  seq  N
(  +  ,  M
) `  n )
)  <_  y )
9789, 96eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  <_  y
)
9878, 84, 74, 85, 97letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  <_  y
)
9973, 78, 74, 82, 98letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  y )
10071, 73, 74, 75, 99letrd 9183 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  y
)
10168, 100eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 n ) `  z ) )  <_ 
y )
102101ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  n
) `  z )
)  <_  y )
103 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  n
) `  z )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  n
) `  z )
)  <_  y )
)
104103ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x 
<-> 
A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y ) )
105104rspcev 3012 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  n
) `  z )
)  <_  x )
10620, 102, 105syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  n
) `  z )
)  <_  x )
10716adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  seq  N (  o F  +  ,  F ) ( ~~> u `  S ) T )
1083, 11, 19, 106, 107ulmbdd 20267 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
10910, 108rexlimddv 2794 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   CCcc 8944   RRcr 8945    + caddc 8949    <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   ~~> uculm 20245
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  24771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-ulm 20246
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