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Theorem mtestbdd 23439
Description: Given the hypotheses of the Weierstrass M-test, the convergent function of the sequence is uniformly bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
mtest.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
mtest.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
mtest.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
mtest.m  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
mtest.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
mtest.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
mtest.d  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
mtest.t  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
Assertion
Ref Expression
mtestbdd  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
Distinct variable groups:    x, k,
z, F    k, M, x, z    k, N, x, z    ph, k, x, z   
x, T, z    k, Z, x, z    S, k, x, z
Allowed substitution hints:    T( k)    V( x, z, k)    W( x, z, k)

Proof of Theorem mtestbdd
Dummy variables  j  n  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2 mtest.d . . 3  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
3 mtest.z . . . . . 6  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
4 mtest.c . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
54recnd 9687 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
63, 1, 5serf 12279 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M ) : Z --> CC )
76ffvelrnda 6037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  Z )  ->  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
)  e.  CC )
87ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  Z  (  seq N (  +  ,  M ) `  m )  e.  CC )
93climbdd 13812 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq N (  +  ,  M )  e.  dom  ~~>  /\ 
A. m  e.  Z  (  seq N (  +  ,  M ) `  m )  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
101, 2, 8, 9syl3anc 1292 . 2  |-  ( ph  ->  E. y  e.  RR  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
111adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  N  e.  ZZ )
12 seqfn 12263 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>= `  N
) )
131, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  N ) )
143fneq2i 5681 . . . . . 6  |-  (  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  Z  <->  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
1513, 14sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  Z )
16 mtest.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
17 ulmf2 23418 . . . . 5  |-  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  Z  /\  seq N (  oF  +  ,  F ) ( ~~> u `  S
) T )  ->  seq N (  oF  +  ,  F ) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1815, 16, 17syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1918adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
20 simplrl 778 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  y  e.  RR )
21 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  j
) `  x )  =  ( ( F `
 j ) `  z ) )
2221mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  x )
)  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 z ) ) )
2322seqeq3d 12259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) )  =  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) )
2423fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n )  =  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) `
 n ) )
25 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) )  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) )
26 fvex 5889 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) ) `  n )  e.  _V
2724, 25, 26fvmpt 5963 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  S  ->  (
( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) `  n
) )
2827adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) ) `  n
) )
29 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
3029ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
3130feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F  =  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )
3230ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S
) )
33 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  j )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j ) : S --> CC )
3534feqmptd 5932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  ( F `  j )  =  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) )
3635mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) )
3731, 36eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  F  =  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `
 j ) `  x ) ) ) )
3837seqeq3d 12259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  seq N (  oF  +  ,  F )  =  seq N (  oF  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) ) )
3938fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n )  =  (  seq N (  oF  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) ) `
 n ) )
40 mtest.s . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
4140ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  S  e.  V )
42 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  n  e.  Z )
4342, 3syl6eleq 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  N )
)
44 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( N ... n )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
4544, 3syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( N ... n )  ->  k  e.  Z )
4645ssriv 3422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N ... n )  C_  Z
4746a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... n )  C_  Z )
4834ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  /\  n  e.  Z
)  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  /\  x  e.  S )  ->  (
( F `  j
) `  x )  e.  CC )
4948anasss 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  (
j  e.  Z  /\  x  e.  S )
)  ->  ( ( F `  j ) `  x )  e.  CC )
5041, 43, 47, 49seqof2 12309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( x  e.  S  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) ) `  n
)  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  x
) ) ) `  n ) ) )
5139, 50eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n )  =  ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) )
5251fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z )  =  ( ( x  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 x ) ) ) `  n ) ) `  z ) )
5345adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  k  e.  Z )
54 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
5554fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
( F `  j
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
56 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `
 z ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) )
57 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) `
 z )  e. 
_V
5855, 56, 57fvmpt 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
5953, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
60 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  z  e.  S )
6134, 60ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  j  e.  Z )  ->  (
( F `  j
) `  z )  e.  CC )
6261, 56fmptd 6061 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
j  e.  Z  |->  ( ( F `  j
) `  z )
) : Z --> CC )
6362ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  e.  CC )
6445, 63sylan2 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( ( F `  j ) `  z
) ) `  k
)  e.  CC )
6559, 64eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
6659, 43, 65fsumser 13873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq N (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( ( F `
 j ) `  z ) ) ) `
 n ) )
6728, 52, 663eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z )  =  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `
 z ) )
6867fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n ) `  z ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `
 z ) ) )
69 fzfid 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... n )  e. 
Fin )
7069, 65fsumcl 13876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
7170abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  e.  RR )
7265abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  e.  RR )
7369, 72fsumrecl 13877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
7420adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  RR )
7569, 65fsumabs 13938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
76 simp-4l 784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ph )
7776, 53, 4syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
7869, 77fsumrecl 13877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  e.  RR )
79 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  z  e.  S )
80 mtest.l . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
8176, 53, 79, 80syl12anc 1290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
8269, 72, 77, 81fsumle 13936 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k ) )
8378recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  e.  CC )
8483abscld 13575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  e.  RR )
8578leabsd 13553 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  <_  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) ) )
86 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
8776, 53, 5syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... n
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
8886, 43, 87fsumser 13873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  =  (  seq N (  +  ,  M ) `  n ) )
8988fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  =  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) ) )
90 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
)
91 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
)  =  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) )
9291fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  n  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  m )
)  =  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 n ) ) )
9392breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y  <->  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  n
) )  <_  y
) )
9493rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y  /\  n  e.  Z
)  ->  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 n ) )  <_  y )
9590, 94sylan 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  n )
)  <_  y )
9695adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  (  seq N
(  +  ,  M
) `  n )
)  <_  y )
9789, 96eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( M `  k
) )  <_  y
)
9878, 84, 74, 85, 97letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( M `  k )  <_  y
)
9973, 78, 74, 82, 98letrd 9809 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... n
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  y )
10071, 73, 74, 75, 99letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( N ... n ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  y
)
10168, 100eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( y  e.  RR  /\ 
A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 n ) `  z ) )  <_ 
y )
102101ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  n
) `  z )
)  <_  y )
103 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x 
<->  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y ) )
104103ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x 
<-> 
A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y ) )
105104rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A. z  e.  S  ( abs `  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_ 
y )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x )
10620, 102, 105syl2anc 673 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `  m
) )  <_  y
) )  /\  n  e.  Z )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  n ) `  z ) )  <_  x )
10716adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) ( ~~> u `  S ) T )
1083, 11, 19, 106, 107ulmbdd 23432 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  A. m  e.  Z  ( abs `  (  seq N (  +  ,  M ) `
 m ) )  <_  y ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
10910, 108rexlimddv 2875 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  S  ( abs `  ( T `
 z ) )  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548    ^m cmap 7490   CCcc 9555   RRcr 9556    + caddc 9560    <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810    seqcseq 12251   abscabs 13374    ~~> cli 13625   sum_csu 13829   ~~> uculm 23410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-ulm 23411
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