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Theorem mtest 22526
Description: The Weierstrass M-test. If  F is a sequence of functions which are uniformly bounded by the convergent sequence  M ( k ), then the series generated by the sequence  F converges uniformly. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
mtest.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
mtest.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
mtest.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
mtest.m  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
mtest.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
mtest.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
mtest.d  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
mtest  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
Distinct variable groups:    z, k, F    k, M, z    k, N, z    ph, k, z   
k, Z, z    S, k, z
Allowed substitution hints:    V( z, k)    W( z, k)

Proof of Theorem mtest
Dummy variables  i 
j  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2 mtest.d . . . 4  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
3 mtest.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
43climcau 13442 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq N (  +  ,  M )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r )
51, 2, 4syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r )
6 seqfn 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>= `  N
) )
71, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  N ) )
83fneq2i 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  Z  <->  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  Fn  Z )
10 mtest.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
11 elex 3115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  S  e.  _V )
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
1514, 3syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  N )
)
16 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
18 elfzuz 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( N ... i )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
1918, 3syl6eleqr 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( N ... i )  ->  k  e.  Z )
20 ffvelrn 6010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
2117, 19, 20syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
22 elmapi 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2423feqmptd 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
2519adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  k  e.  Z )
26 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
2726fveq1d 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
28 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) )
29 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  k ) `
 z )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
3231mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
) )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
) )
3324, 32eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) `
 k ) ) )
3413, 15, 33seqof 12120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) )
351adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  N  e.  ZZ )
3616ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S
) )
37 elmapi 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3938ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  n
) `  z )  e.  CC )
4039an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( F `  n
) `  z )  e.  CC )
4140, 28fmptd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) : Z --> CC )
4241ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  i
)  e.  CC )
433, 35, 42serf 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) : Z --> CC )
4443ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  CC )
4544an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  CC )
46 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )
4745, 46fmptd 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) ) : S --> CC )
48 cnex 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  e.  _V
49 elmapg 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  S  |->  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
5048, 13, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
5147, 50mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
5234, 51eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i )  e.  ( CC  ^m  S
) )
5352ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. i  e.  Z  (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i )  e.  ( CC  ^m  S
) )
54 ffnfv 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq N (  oF  +  ,  F ) : Z --> ( CC 
^m  S )  <->  (  seq N (  oF  +  ,  F )  Fn  Z  /\  A. i  e.  Z  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i )  e.  ( CC  ^m  S
) ) )
559, 53, 54sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq N (  oF  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
573uztrn2 11088 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
i  e.  Z )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  Z
)
5956, 58ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
60 elmapi 7430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i )  e.  ( CC  ^m  S
)  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i ) : S --> CC )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
) : S --> CC )
6261ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  e.  CC )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  Z
)
6456, 63ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  j
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
65 elmapi 7430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j )  e.  ( CC  ^m  S
)  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) : S --> CC )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  j
) : S --> CC )
6766ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z )  e.  CC )
6862, 67subcld 9919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  e.  CC )
6968abscld 13216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  e.  RR )
70 fzfid 12039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( j  +  1 ) ... i )  e.  Fin )
71 ssun2 3661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  +  1 ) ... i )  C_  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) )
7263, 3syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  N ) )
73 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  j ) )
74 elfzuzb 11671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( N ... i )  <->  ( j  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )
7572, 73, 74sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  ( N ... i ) )
76 fzsplit 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( N ... i )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j
)  u.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ) )
7871, 77syl5sseqr 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( j  +  1 ) ... i )  C_  ( N ... i ) )
7978sselda 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  ( N ... i
) )
8079adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  ( N ... i
) )
8116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
8281, 19, 20syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
8382, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
8483ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
8584an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
8680, 85syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
8786abscld 13216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  e.  RR )
8870, 87fsumrecl 13505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
89 mtest.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
903, 1, 89serfre 12092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq N (  +  ,  M ) : Z --> RR )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq N (  +  ,  M ) : Z --> RR )
9291, 58ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq N
(  +  ,  M
) `  i )  e.  RR )
9391, 63ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq N
(  +  ,  M
) `  j )  e.  RR )
9492, 93resubcld 9976 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) )  e.  RR )
9594recnd 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) )  e.  CC )
9695abscld 13216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR )
9796adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR )
9857, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) )
9998adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) ) )
10099fveq1d 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  =  ( ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z ) )
101 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  _V
10246fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  S  /\  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )
103101, 102mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )
104100, 103sylan9eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  =  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )
10534ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. i  e.  Z  (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) ) )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  A. i  e.  Z  (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) ) )
107 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i )  =  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `  j
) )
108 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  j  ->  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  =  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j ) )
109108mpteq2dv 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) ) )
110107, 109eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  j  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )  <->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) ) )
111110rspccv 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  Z  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )  ->  ( j  e.  Z  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) ) )
112106, 63, 111sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  j
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) ) )
113112fveq1d 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z )  =  ( ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z ) )
114 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j )  e.  _V
115 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) )
116115fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  S  /\  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) )
117114, 116mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z )  =  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) )
118113, 117sylan9eq 2521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z )  =  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j ) )
119104, 118oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  =  ( (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
)  -  (  seq N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) ) )
12019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  k  e.  Z )
121120, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
12258adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  i  e.  Z )
123122, 3syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  N )
)
124121, 123, 85fsumser 13501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )
125 elfzuz 11673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( N ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
126125, 3syl6eleqr 2559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( N ... j )  ->  k  e.  Z )
127126adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  k  e.  Z )
128127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
12963adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  j  e.  Z )
130129, 3syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  N )
)
13181, 126, 20syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
132131, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
133132ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
134133an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
135128, 130, 134fsumser 13501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j ) )
136124, 135oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k
) `  z )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  ( (  seq N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i )  -  (  seq N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) ) )
137 eluzelre 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  j  e.  RR )
13872, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  RR )
139138ltp1d 10465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  <  (
j  +  1 ) )
140 fzdisj 11701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  <  ( j  +  1 )  ->  (
( N ... j
)  i^i  ( (
j  +  1 ) ... i ) )  =  (/) )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( N ... j )  i^i  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  =  (/) )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( N ... j
)  i^i  ( (
j  +  1 ) ... i ) )  =  (/) )
14377adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) ) )
144 fzfid 12039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... i )  e. 
Fin )
145142, 143, 144, 85fsumsplit 13511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (
sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
)  +  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
146145eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k
) `  z )  +  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k ) `
 z ) )
147144, 85fsumcl 13504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
148 fzfid 12039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... j )  e. 
Fin )
149148, 134fsumcl 13504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
15070, 86fsumcl 13504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
151147, 149, 150subaddd 9937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k ) `  z
)  -  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
)  <->  ( sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  +  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k
) `  z )
)  =  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
152146, 151mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k
) `  z )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k
) `  z )
)
153119, 136, 1523eqtr2d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )
154153fveq2d 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k
) `  z )
) )
15570, 86fsumabs 13564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
156154, 155eqbrtrd 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
157 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ph )
158157, 19, 89syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
15979, 158syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
160159adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
16180, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  Z )
162 mtest.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
163162adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  ( M `  k )
)
164163adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
165164anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
166161, 165syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
16770, 87, 160, 166fsumle 13562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k ) )
168 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
16958, 3syl6eleq 2558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  N ) )
170158recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
171168, 169, 170fsumser 13501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  =  (  seq N (  +  ,  M ) `  i
) )
172 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
173157, 126, 89syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
174173recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
175172, 72, 174fsumser 13501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k
)  =  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) )
176171, 175oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k ) )  =  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )
177 fzfid 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... i )  e.  Fin )
178141, 77, 177, 170fsumsplit 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) ) )
179178eqcomd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... j
) ( M `  k )  +  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k ) )
180177, 170fsumcl 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  e.  CC )
181 fzfid 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... j )  e.  Fin )
182181, 174fsumcl 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k
)  e.  CC )
183 fzfid 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( j  +  1 ) ... i )  e.  Fin )
18479, 170syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
185183, 184fsumcl 13504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
)  e.  CC )
186180, 182, 185subaddd 9937 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `
 k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k )  <->  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `
 k ) ) )
187179, 186mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
188176, 187eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )
189188fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) ) )
190189adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) ) )
191188, 94eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
)  e.  RR )
192191adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k )  e.  RR )
193 0red 9586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  e.  RR )
19486absge0d 13224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
195193, 87, 160, 194, 166letrd 9727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  <_  ( M `  k
) )
19670, 160, 195fsumge0 13558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
197192, 196absidd 13203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )
198190, 197eqtrd 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
199167, 198breqtrrd 4466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( abs `  ( (  seq N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `
 j ) ) ) )
20069, 88, 97, 156, 199letrd 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  <_  ( abs `  (
(  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) ) )
201 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  r  e.  RR+ )
202201rpred 11245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  r  e.  RR )
203 lelttr 9664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <_  ( abs `  (
(  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  /\  ( abs `  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  <  r ) )
20469, 97, 202, 203syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( (  seq N
(  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <_  ( abs `  (
(  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  /\  ( abs `  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  <  r ) )
205200, 204mpand 675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
(  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  <  r ) )
206205ralrimdva 2875 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
207206anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
208207ralimdva 2865 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
209208reximdva 2931 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  <  r ) )
210209ralimdva 2865 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
2115, 210mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  -  (
(  seq N (  oF  +  ,  F
) `  j ) `  z ) ) )  <  r )
2123, 1, 10, 55ulmcau 22517 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq N (  oF  +  ,  F )  e.  dom  (
~~> u `  S )  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq N (  oF  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
213211, 212mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  seq N (  oF  +  ,  F
)  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3106    u. cun 3467    i^i cin 3468   (/)c0 3778   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   dom cdm 4992    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513    ^m cmap 7410   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   RR+crp 11209   ...cfz 11661    seqcseq 12063   abscabs 13017    ~~> cli 13256   sum_csu 13457   ~~> uculm 22498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ulm 22499
This theorem is referenced by:  pserulm  22544  lgamgulmlem6  28066
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