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Theorem mtest 20273
Description: The Weierstrass M-test. If  F is a sequence of functions which are uniformly bounded by the convergent sequence  M ( k ), then the series generated by the sequence  F converges uniformly. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
mtest.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
mtest.s  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
mtest.f  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
mtest.m  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
mtest.c  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
mtest.l  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
mtest.d  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
mtest  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
Distinct variable groups:    z, k, F    k, M, z    k, N, z    ph, k, z   
k, Z, z    S, k, z
Allowed substitution hints:    V( z, k)    W( z, k)

Proof of Theorem mtest
Dummy variables  i 
j  n  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
2 mtest.d . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M )  e. 
dom 
~~>  )
3 mtest.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  N )
43climcau 12419 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  seq  N (  +  ,  M )  e.  dom  ~~>  )  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r )
51, 2, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r )
6 seqfn 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  ZZ  ->  seq  N (  o F  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
71, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  Fn  ( ZZ>= `  N ) )
83fneq2i 5499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (  seq 
N (  o F  +  ,  F )  Fn  Z  <->  seq  N (  o F  +  ,  F )  Fn  ( ZZ>=
`  N ) )
97, 8sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  Fn  Z )
10 mtest.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  S  e.  V )
11 elex 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  V  ->  S  e.  _V )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
1312adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  S  e.  _V )
14 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  Z )
1514, 3syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  N )
)
16 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  F : Z --> ( CC 
^m  S ) )
1716adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
18 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  ( N ... i )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
1918, 3syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  ( N ... i )  ->  k  e.  Z )
20 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F : Z --> ( CC 
^m  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
2117, 19, 20syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
22 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
2423feqmptd 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
2519adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  k  e.  Z )
26 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  k  ->  ( F `  n )  =  ( F `  k ) )
2726fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  =  k  ->  (
( F `  n
) `  z )  =  ( ( F `
 k ) `  z ) )
28 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) )  =  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) )
29 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  k ) `
 z )  e. 
_V
3027, 28, 29fvmpt 5765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
3231mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
z  e.  S  |->  ( ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
) )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( F `  k
) `  z )
) )
3324, 32eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  =  ( z  e.  S  |->  ( ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) `
 k ) ) )
3413, 15, 33seqof 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) )
351adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  N  e.  ZZ )
3616ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S
) )
37 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F `  n )  e.  ( CC  ^m  S )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  ( F `  n ) : S --> CC )
3938ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  n
) `  z )  e.  CC )
4039an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  n  e.  Z )  ->  (
( F `  n
) `  z )  e.  CC )
4140, 28fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) : Z --> CC )
4241ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  i  e.  Z )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  i
)  e.  CC )
433, 35, 42serf 11306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) : Z --> CC )
4443ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  S )  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  CC )
4544an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  Z )  /\  z  e.  S )  ->  (  seq  N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  CC )
46 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )
4745, 46fmptd 5852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) ) : S --> CC )
48 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  CC  e.  _V
49 elmapg 6990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  S  |->  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )  e.  ( CC  ^m  S )  <-> 
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
5048, 13, 49sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )  e.  ( CC 
^m  S )  <->  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) ) : S --> CC ) )
5147, 50mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )  e.  ( CC  ^m  S ) )
5234, 51eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  i  e.  Z )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  e.  ( CC  ^m  S
) )
5352ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  e.  ( CC  ^m  S
) )
54 ffnfv 5853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) : Z --> ( CC 
^m  S )  <->  (  seq  N (  o F  +  ,  F )  Fn  Z  /\  A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  e.  ( CC  ^m  S
) ) )
559, 53, 54sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
) : Z --> ( CC 
^m  S ) )
5655ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  N (  o F  +  ,  F ) : Z --> ( CC  ^m  S ) )
573uztrn2 10459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
i  e.  Z )
5857adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  Z
)
5956, 58ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
60 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  e.  ( CC  ^m  S
)  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) : S --> CC )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) : S --> CC )
6261ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  e.  CC )
63 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  Z
)
6456, 63ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  j
)  e.  ( CC 
^m  S ) )
65 elmapi 6997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  j )  e.  ( CC  ^m  S
)  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) : S --> CC )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  j
) : S --> CC )
6766ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )  e.  CC )
6862, 67subcld 9367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  e.  CC )
6968abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  e.  RR )
70 fzfid 11267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( j  +  1 ) ... i )  e.  Fin )
71 ssun2 3471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  +  1 ) ... i )  C_  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) )
7263, 3syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  N ) )
73 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  j ) )
74 elfzuzb 11009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( N ... i )  <->  ( j  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )
7572, 73, 74sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  ( N ... i ) )
76 fzsplit 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( N ... i )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j
)  u.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ) )
7871, 77syl5sseqr 3357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( j  +  1 ) ... i )  C_  ( N ... i ) )
7978sselda 3308 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  ( N ... i
) )
8079adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  ( N ... i
) )
8116ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  F : Z --> ( CC  ^m  S ) )
8281, 19, 20syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
8382, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
8483ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
8584an32s 780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
8680, 85syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
8786abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  e.  RR )
8870, 87fsumrecl 12483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  e.  RR )
89 mtest.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
903, 1, 89serfre 11307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  seq  N (  +  ,  M ) : Z --> RR )
9190ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  seq  N (  +  ,  M ) : Z --> RR )
9291, 58ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  e.  RR )
9391, 63ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  +  ,  M
) `  j )  e.  RR )
9492, 93resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) )  e.  RR )
9594recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) )  e.  CC )
9695abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR )
9796adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR )
9857, 34sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j )
) )  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) )
9998adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) ) )
10099fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  =  ( ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z ) )
101 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  e.  _V
10246fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  S  /\  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )
103101, 102mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) )
104100, 103sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )
10534ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) ) )
106105ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
) ) )
107 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  =  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) )
108 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( i  =  j  ->  (  seq  N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j ) )
109108mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  j  ->  (
z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) ) )
110107, 109eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  j  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  i ) )  <->  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) ) ) )
111110rspccv 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. i  e.  Z  (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `
 i )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i ) )  ->  ( j  e.  Z  ->  (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) ) )
112106, 63, 111sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  j
)  =  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) ) )
113112fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z )  =  ( ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z ) )
114 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j )  e.  _V
115 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  S  |->  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) )  =  ( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) )
116115fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  S  /\  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j )  e. 
_V )  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) )
117114, 116mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  S  ->  (
( z  e.  S  |->  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) ) `  z )  =  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) )
118113, 117sylan9eq 2456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  j ) )
119104, 118oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  =  ( (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  , 
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) ) `  j ) ) )
12019adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  k  e.  Z )
121120, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
12258adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  i  e.  Z )
123122, 3syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  i  e.  ( ZZ>= `  N )
)
124121, 123, 85fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 i ) )
125 elfzuz 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( N ... j )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  N )
)
126125, 3syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( N ... j )  ->  k  e.  Z )
127126adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  k  e.  Z )
128127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  (
( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `  z
) ) `  k
)  =  ( ( F `  k ) `
 z ) )
12963adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  j  e.  Z )
130129, 3syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  j  e.  ( ZZ>= `  N )
)
13181, 126, 20syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( F `  k )  e.  ( CC  ^m  S
) )
132131, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( F `  k ) : S --> CC )
133132ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
134133an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  (
( F `  k
) `  z )  e.  CC )
135128, 130, 134fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `
 n ) `  z ) ) ) `
 j ) )
136124, 135oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k
) `  z )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  ( (  seq  N (  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n ) `
 z ) ) ) `  i )  -  (  seq  N
(  +  ,  ( n  e.  Z  |->  ( ( F `  n
) `  z )
) ) `  j
) ) )
137 eluzelre 10453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  j  e.  RR )
13872, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  e.  RR )
139138ltp1d 9897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  j  <  (
j  +  1 ) )
140 fzdisj 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  <  ( j  +  1 )  ->  (
( N ... j
)  i^i  ( (
j  +  1 ) ... i ) )  =  (/) )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( N ... j )  i^i  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  =  (/) )
142141adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( N ... j
)  i^i  ( (
j  +  1 ) ... i ) )  =  (/) )
14377adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... i )  =  ( ( N ... j )  u.  (
( j  +  1 ) ... i ) ) )
144 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... i )  e. 
Fin )
145142, 143, 144, 85fsumsplit 12488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  =  (
sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
)  +  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
146145eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k
) `  z )  +  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k ) `
 z ) )
147144, 85fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
148 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( N ... j )  e. 
Fin )
149148, 134fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
15070, 86fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( ( F `
 k ) `  z )  e.  CC )
151147, 149, 150subaddd 9385 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k ) `  z
)  -  sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
)  <->  ( sum_ k  e.  ( N ... j
) ( ( F `
 k ) `  z )  +  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k
) `  z )
)  =  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
152146, 151mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( ( F `  k
) `  z )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( ( F `  k ) `  z
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k
) `  z )
)
153119, 136, 1523eqtr2d 2442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )
154153fveq2d 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( ( F `
 k ) `  z ) ) )
15570, 86fsumabs 12535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
156154, 155eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
157 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ph )
158157, 19, 89syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
15979, 158syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
160159adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
16180, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  k  e.  Z )
162 mtest.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
163162adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
k  e.  Z  /\  z  e.  S )
)  ->  ( abs `  ( ( F `  k ) `  z
) )  <_  ( M `  k )
)
164163adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  ( k  e.  Z  /\  z  e.  S ) )  -> 
( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( M `  k ) )
165164anass1rs 783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  Z )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
166161, 165syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( abs `  ( ( F `
 k ) `  z ) )  <_ 
( M `  k
) )
16770, 87, 160, 166fsumle 12533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k ) )
168 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
16958, 3syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  i  e.  (
ZZ>= `  N ) )
170158recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
171168, 169, 170fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  =  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
) )
172 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  =  ( M `  k ) )
173157, 126, 89syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  e.  RR )
174173recnd 9070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( N ... j
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
175172, 72, 174fsumser 12479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k
)  =  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) )
176171, 175oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k ) )  =  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )
177 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... i )  e.  Fin )
178141, 77, 177, 170fsumsplit 12488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  =  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) ) )
179178eqcomd 2409 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... j
) ( M `  k )  +  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k ) )
180177, 170fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `  k
)  e.  CC )
181 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( N ... j )  e.  Fin )
182181, 174fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k
)  e.  CC )
183 fzfid 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( j  +  1 ) ... i )  e.  Fin )
18479, 170syldan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  ( M `  k )  e.  CC )
185183, 184fsumcl 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
)  e.  CC )
186180, 182, 185subaddd 9385 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `
 k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `  k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k )  <->  ( sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k )  + 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( N ... i ) ( M `
 k ) ) )
187179, 186mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( N ... i
) ( M `  k )  -  sum_ k  e.  ( N ... j ) ( M `
 k ) )  =  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
188176, 187eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )
189188fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) ) )
190189adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  =  ( abs `  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) ) )
191188, 94eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
)  e.  RR )
192191adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( M `  k )  e.  RR )
193 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  RR
194193a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  e.  RR )
19586absge0d 12201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  <_  ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
) )
196194, 87, 160, 195, 166letrd 9183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  /\  k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) )  ->  0  <_  ( M `  k
) )
19770, 160, 196fsumge0 12529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  0  <_ 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
198192, 197absidd 12180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )  =  sum_ k  e.  ( (
j  +  1 ) ... i ) ( M `  k ) )
199190, 198eqtrd 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i ) ( M `  k
) )
200167, 199breqtrrd 4198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  sum_ k  e.  ( ( j  +  1 ) ... i
) ( abs `  (
( F `  k
) `  z )
)  <_  ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) ) )
20169, 88, 97, 156, 200letrd 9183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <_  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) ) )
202 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  r  e.  RR+ )
203202rpred 10604 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  r  e.  RR )
204 lelttr 9121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( (  seq 
N (  +  ,  M ) `  i
)  -  (  seq 
N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  e.  RR  /\  r  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <_  ( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  /\  ( abs `  ( (  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
) )
20569, 97, 203, 204syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( ( abs `  (
( (  seq  N
(  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <_  ( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  /\  ( abs `  ( (  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
) )
206201, 205mpand 657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  ( j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ) )  /\  z  e.  S )  ->  (
( abs `  (
(  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  ( abs `  ( ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
) )
207206ralrimdva 2756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  (
j  e.  Z  /\  i  e.  ( ZZ>= `  j ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
208207anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  /\  i  e.  ( ZZ>=
`  j ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
209208ralimdva 2744 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  RR+ )  /\  j  e.  Z )  ->  ( A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
210209reximdva 2778 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR+ )  ->  ( E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( (  seq  N
(  +  ,  M
) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `
 j ) ) )  <  r  ->  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F
) `  i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
) )
211210ralimdva 2744 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( abs `  ( (  seq  N (  +  ,  M ) `  i )  -  (  seq  N (  +  ,  M ) `  j
) ) )  < 
r  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
2125, 211mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 i ) `  z )  -  (
(  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  j
) `  z )
) )  <  r
)
2133, 1, 10, 55ulmcau 20264 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq  N (  o F  +  ,  F )  e.  dom  (
~~> u `  S )  <->  A. r  e.  RR+  E. j  e.  Z  A. i  e.  ( ZZ>= `  j ) A. z  e.  S  ( abs `  ( ( (  seq  N (  o F  +  ,  F ) `  i
) `  z )  -  ( (  seq 
N (  o F  +  ,  F ) `
 j ) `  z ) ) )  <  r ) )
214212, 213mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  seq  N (  o F  +  ,  F
)  e.  dom  ( ~~> u `  S )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    u. cun 3278    i^i cin 3279   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    ^m cmap 6977   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   ...cfz 10999    seq cseq 11278   abscabs 11994    ~~> cli 12233   sum_csu 12434   ~~> uculm 20245
This theorem is referenced by:  pserulm  20291  lgamgulmlem6  24771
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ulm 20246
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