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Theorem mtest 21985
Description: The Weierstrass M-test. If F is a sequence of functions which are uniformly bounded by the convergent sequence M ( k ), then the series generated by the sequence F converges uniformly. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z |- Z = ( ZZ>= ` N )
mtest.n |- ( ph -> N e. ZZ )
mtest.s |- ( ph -> S e. V )
mtest.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
mtest.m |- ( ph -> M e. W )
mtest.c |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M ` k ) e. RR )
mtest.l |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
mtest.d |- ( ph -> seq N ( + , M ) e. dom ~~> )
Assertion
Ref Expression
mtest |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) e. dom ( ~~> u ` S ) )
Distinct variable groups:   z, k, F   k, M, z   k, N, z   ph, k, z   k, Z, z   S, k, z
Allowed substitution hints:   V( z, k)   W( z, k)
Proof of Theorem mtest
Dummy variables i j n r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
2 mtest.d . . . 4 |- ( ph -> seq N ( + , M ) e. dom ~~> )
3 mtest.z . . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` N )
43climcau 13250 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ seq N ( + , M ) e. dom ~~> ) -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r )
51, 2, 4syl2anc 661 . . 3 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r )
6 seqfn 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
71, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
83fneq2i 5604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( seq N ( oF + , F ) Fn Z <-> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
97, 8sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) Fn Z )
10 mtest.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S e. V )
11 elex 3077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S e. V -> S e. _V )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S e. _V )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> S e. _V )
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. Z )
1514, 3syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` N ) )
16 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
18 elfzuz 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( N ... i ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
1918, 3syl6eleqr 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( N ... i ) -> k e. Z )
20 ffvelrn 5940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
2117, 19, 20syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
22 elmapi 7334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2423feqmptd 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) = ( z e. S |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) )
2519adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> k e. Z )
26 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
2726fveq1d 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
28 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) = ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) )
29 fvex 5799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` k ) ` z ) e. _V
3027, 28, 29fvmpt 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. Z -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
3125, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
3231mpteq2dv 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( z e. S |-> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) ) = ( z e. S |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) )
3324, 32eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) = ( z e. S |-> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) ) )
3413, 15, 33seqof 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
351adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> N e. ZZ )
3616ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) )
37 elmapi 7334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
3938ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` n ) ` z ) e. CC )
4039an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ z e. S ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` z ) e. CC )
4140, 28fmptd 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) : Z --> CC )
4241ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ z e. S ) /\ i e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` i ) e. CC )
433, 35, 42serf 11935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) : Z --> CC )
4443ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ z e. S ) /\ i e. Z ) -> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) e. CC )
4544an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ z e. S ) -> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) e. CC )
46 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
4745, 46fmptd 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) : S --> CC )
48 cnex 9464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- CC e. _V
49 elmapg 7327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) <-> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) : S --> CC ) )
5048, 13, 49sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) <-> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) : S --> CC ) )
5147, 50mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) )
5234, 51eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) )
5352ralrimiva 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) )
54 ffnfv 5968 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) <-> ( seq N ( oF + , F ) Fn Z /\ A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) ) )
559, 53, 54sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) )
573uztrn2 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. Z )
5857adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> i e. Z )
5956, 58ffvelrnd 5943 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) )
60 elmapi 7334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) : S --> CC )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) : S --> CC )
6261ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) e. CC )
63 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. Z )
6456, 63ffvelrnd 5943 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) e. ( CC ^m S ) )
65 elmapi 7334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) : S --> CC )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) : S --> CC )
6766ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) e. CC )
6862, 67subcld 9820 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) e. CC )
6968abscld 13024 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) e. RR )
70 fzfid 11896 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( j + 1 ) ... i ) e. Fin )
71 ssun2 3618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j + 1 ) ... i ) C_ ( ( N ... j ) u. ( ( j + 1 ) ... i ) )
7263, 3syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` N ) )
73 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` j ) )
74 elfzuzb 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( N ... i ) <-> ( j e. ( ZZ>= ` N ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) )
7572, 73, 74sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. ( N ... i ) )
76 fzsplit 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( N ... i ) -> ( N ... i ) = ( ( N ... j ) u. ( ( j + 1 ) ... i ) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( N ... i ) = ( ( N ... j ) u. ( ( j + 1 ) ... i ) ) )
7871, 77syl5sseqr 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( j + 1 ) ... i ) C_ ( N ... i ) )
7978sselda 3454 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> k e. ( N ... i ) )
8079adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> k e. ( N ... i ) )
8116ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
8281, 19, 20syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
8382, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
8483ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
8584an32s 802 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
8680, 85syldan 470 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
8786abscld 13024 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
8870, 87fsumrecl 13313 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
89 mtest.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M ` k ) e. RR )
903, 1, 89serfre 11936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> seq N ( + , M ) : Z --> RR )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> seq N ( + , M ) : Z --> RR )
9291, 58ffvelrnd 5943 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( + , M ) ` i ) e. RR )
9391, 63ffvelrnd 5943 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( + , M ) ` j ) e. RR )
9492, 93resubcld 9877 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) e. RR )
9594recnd 9513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) e. CC )
9695abscld 13024 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) e. RR )
9796adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) e. RR )
9857, 34sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
9998adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
10099fveq1d 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) = ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) ` z ) )
101 fvex 5799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) e. _V
10246fvmpt2 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. S /\ ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) e. _V ) -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
103101, 102mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. S -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
104100, 103sylan9eq 2512 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
10534ralrimiva 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
106105ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
107 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = j -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( seq N ( oF + , F ) ` j ) )
108 fveq2 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
109108mpteq2dv 4477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = j -> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) )
110107, 109eqeq12d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = j -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) <-> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ) )
111110rspccv 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) -> ( j e. Z -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ) )
112106, 63, 111sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) )
113112fveq1d 5791 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) = ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ` z ) )
114 fvex 5799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) e. _V
115 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
116115fvmpt2 5880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. S /\ ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) e. _V ) -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
117114, 116mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. S -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
118113, 117sylan9eq 2512 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
119104, 118oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) = ( ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) - ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) )
12019adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> k e. Z )
121120, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
12258adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> i e. Z )
123122, 3syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> i e. ( ZZ>= ` N ) )
124121, 123, 85fsumser 13309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
125 elfzuz 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( N ... j ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
126125, 3syl6eleqr 2550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( N ... j ) -> k e. Z )
127126adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> k e. Z )
128127, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
12963adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> j e. Z )
130129, 3syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> j e. ( ZZ>= ` N ) )
13181, 126, 20syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
132131, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
133132ffvelrnda 5942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
134133an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
135128, 130, 134fsumser 13309 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
136124, 135oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = ( ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) - ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) )
137 eluzelre 10972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( ZZ>= ` N ) -> j e. RR )
13872, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. RR )
139138ltp1d 10364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j < ( j + 1 ) )
140 fzdisj 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j < ( j + 1 ) -> ( ( N ... j ) i^i ( ( j + 1 ) ... i ) ) = (/) )
141139, 140syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( N ... j ) i^i ( ( j + 1 ) ... i ) ) = (/) )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( N ... j ) i^i ( ( j + 1 ) ... i ) ) = (/) )
14377adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( N ... i ) = ( ( N ... j ) u. ( ( j + 1 ) ... i ) ) )
144 fzfid 11896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( N ... i ) e. Fin )
145142, 143, 144, 85fsumsplit 13318 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) = ( sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) )
146145eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) )
147144, 85fsumcl 13312 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
148 fzfid 11896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( N ... j ) e. Fin )
149148, 134fsumcl 13312 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
15070, 86fsumcl 13312 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
151147, 149, 150subaddd 9838 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) <-> ( sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) )
152146, 151mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) )
153119, 136, 1523eqtr2d 2498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) )
154153fveq2d 5793 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) )
15570, 86fsumabs 13366 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) )
156154, 155eqbrtrd 4410 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) <_ sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) )
157 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ph )
158157, 19, 89syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
15979, 158syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
160159adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
16180, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> k e. Z )
162 mtest.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
163162adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
164163adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
165164anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
166161, 165syldan 470 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
16770, 87, 160, 166fsumle 13364 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
168 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( M ` k ) = ( M ` k ) )
16958, 3syl6eleq 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` N ) )
170158recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( M ` k ) e. CC )
171168, 169, 170fsumser 13309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) = ( seq N ( + , M ) ` i ) )
172 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( M ` k ) = ( M ` k ) )
173157, 126, 89syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
174173recnd 9513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( M ` k ) e. CC )
175172, 72, 174fsumser 13309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) = ( seq N ( + , M ) ` j ) )
176171, 175oveq12d 6208 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) ) = ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) )
177 fzfid 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( N ... i ) e. Fin )
178141, 77, 177, 170fsumsplit 13318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) = ( sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) )
179178eqcomd 2459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) )
180177, 170fsumcl 13312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) e. CC )
181 fzfid 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( N ... j ) e. Fin )
182181, 174fsumcl 13312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) e. CC )
183 fzfid 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( j + 1 ) ... i ) e. Fin )
18479, 170syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( M ` k ) e. CC )
185183, 184fsumcl 13312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) e. CC )
186180, 182, 185subaddd 9838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) <-> ( sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) ) )
187179, 186mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
188176, 187eqtr3d 2494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
189188fveq2d 5793 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) )
190189adantr 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) )
191188, 94eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) e. RR )
192191adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) e. RR )
193 0red 9488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> 0 e. RR )
19486absge0d 13032 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) )
195193, 87, 160, 194, 166letrd 9629 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> 0 <_ ( M ` k ) )
19670, 160, 195fsumge0 13360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> 0 <_ sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
197192, 196absidd 13011 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
198190, 197eqtrd 2492 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
199167, 198breqtrrd 4416 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) )
20069, 88, 97, 156, 199letrd 9629 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) )
201 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> r e. RR+ )
202201rpred 11128 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> r e. RR )
203 lelttr 9566 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
20469, 97, 202, 203syl3anc 1219 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
205200, 204mpand 675 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
206205ralrimdva 2902 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
207206anassrs 648 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
208207ralimdva 2824 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
209208reximdva 2924 . . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
210209ralimdva 2824 . . 3 |- ( ph -> ( A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
2115, 210mpd 15 . 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r )
2123, 1, 10, 55ulmcau 21976 . 2 |- ( ph -> ( seq N ( oF + , F ) e. dom ( ~~> u ` S ) <-> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
213211, 212mpbird 232 1 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) e. dom ( ~~> u ` S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068   u. cun 3424   i^i cin 3425   (/)c0 3735   class class class wbr 4390   |-> cmpt 4448   dom cdm 4938   Fn wfn 5511   -->wf 5512   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   oFcof 6418   ^m cmap 7314   CCcc 9381   RRcr 9382   0cc0 9383   1c1 9384   + caddc 9386   < clt 9519   <_ cle 9520   - cmin 9696   ZZcz 10747   ZZ>=cuz 10962   RR+crp 11092   ...cfz 11538   seqcseq 11907   abscabs 12825   ~~> cli 13064   sum_csu 13265   ~~> uculm 21957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-rp 11093  df-ico 11407  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ulm 21958
This theorem is referenced by:  pserulm  22003  lgamgulmlem6  27154
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