Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubvrs Structured version   Unicode version

Theorem msubvrs 29204
 Description: The set of variables in a substitution is the union, indexed by the variables in the original expression, of the variables in the substitution to that variable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubvrs.s mSubst
msubvrs.e mEx
msubvrs.v mVars
msubvrs.h mVH
Assertion
Ref Expression
msubvrs mFS
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem msubvrs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 msubvrs.e . . . . . 6 mEx
2 eqid 2457 . . . . . 6 mRSubst mRSubst
3 msubvrs.s . . . . . 6 mSubst
41, 2, 3elmsubrn 29172 . . . . 5 mRSubst
54eleq2i 2535 . . . 4 mRSubst
6 eqid 2457 . . . . 5 mRSubst mRSubst
7 fvex 5882 . . . . . . 7 mEx
81, 7eqeltri 2541 . . . . . 6
98mptex 6144 . . . . 5
106, 9elrnmpti 5263 . . . 4 mRSubst mRSubst
115, 10bitri 249 . . 3 mRSubst
12 simp2 997 . . . . . . . . 9 mFS mRSubst mRSubst
13 simp3 998 . . . . . . . . . . 11 mFS mRSubst
14 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12 mTC mTC
15 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12 mREx mREx
1614, 1, 15mexval 29146 . . . . . . . . . . 11 mTC mREx
1713, 16syl6eleq 2555 . . . . . . . . . 10 mFS mRSubst mTC mREx
18 xp2nd 6830 . . . . . . . . . 10 mTC mREx mREx
1917, 18syl 16 . . . . . . . . 9 mFS mRSubst mREx
20 eqid 2457 . . . . . . . . . 10 mVR mVR
212, 20, 15mrsubvrs 29166 . . . . . . . . 9 mRSubst mREx mVR mVR mVR
2212, 19, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8 mFS mRSubst mVR mVR mVR
23 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13
24 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14
2524fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13
2623, 25opeq12d 4227 . . . . . . . . . . . 12
27 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12
28 opex 4720 . . . . . . . . . . . 12
2926, 27, 28fvmpt3i 5960 . . . . . . . . . . 11
3013, 29syl 16 . . . . . . . . . 10 mFS mRSubst
3130fveq2d 5876 . . . . . . . . 9 mFS mRSubst
32 xp1st 6829 . . . . . . . . . . . . 13 mTC mREx mTC
3317, 32syl 16 . . . . . . . . . . . 12 mFS mRSubst mTC
342, 15mrsubf 29161 . . . . . . . . . . . . . 14 mRSubst mRExmREx
3512, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 mFS mRSubst mRExmREx
3618, 16eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . . 14 mREx
3713, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 mFS mRSubst mREx
3835, 37ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12 mFS mRSubst mREx
39 opelxpi 5040 . . . . . . . . . . . 12 mTC mREx mTC mREx
4033, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 mFS mRSubst mTC mREx
4140, 16syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . 10 mFS mRSubst
42 msubvrs.v . . . . . . . . . . 11 mVars
4320, 1, 42mvrsval 29149 . . . . . . . . . 10 mVR
4441, 43syl 16 . . . . . . . . 9 mFS mRSubst mVR
45 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13
46 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13
4745, 46op2nd 6808 . . . . . . . . . . . 12
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 mFS mRSubst
4948rneqd 5240 . . . . . . . . . 10 mFS mRSubst
5049ineq1d 3695 . . . . . . . . 9 mFS mRSubst mVR mVR
5131, 44, 503eqtrd 2502 . . . . . . . 8 mFS mRSubst mVR
5220, 1, 42mvrsval 29149 . . . . . . . . . . 11 mVR
5313, 52syl 16 . . . . . . . . . 10 mFS mRSubst mVR
5453iuneq1d 4357 . . . . . . . . 9 mFS mRSubst mVR
55 msubvrs.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mVH
5620, 1, 55mvhf 29202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mFS mVR
57563ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15 mFS mRSubst mVR
58 inss2 3715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mVR mVR
5958sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . 15 mVR mVR
60 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . 15 mVR mVR
6157, 59, 60syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14 mFS mRSubst mVR
62 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16
63 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6562, 64opeq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665, 27, 28fvmpt3i 5960 . . . . . . . . . . . . . 14
6761, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . 13 mFS mRSubst mVR
6859adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mFS mRSubst mVR mVR
69 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mType mType
7020, 69, 55mvhval 29178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mVR mType
7168, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 mFS mRSubst mVR mType
72 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mType
73 s1cli 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
7473elexi 3119 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7572, 74op1std 6809 . . . . . . . . . . . . . . 15 mType mType
7671, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14 mFS mRSubst mVR mType
7772, 74op2ndd 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mType
7871, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 mFS mRSubst mVR
7978fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14 mFS mRSubst mVR
8076, 79opeq12d 4227 . . . . . . . . . . . . 13 mFS mRSubst mVR mType
8167, 80eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12 mFS mRSubst mVR mType
8281fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11 mFS mRSubst mVR mType
83 simpl1 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mFS mRSubst mVR mFS
8420, 14, 69mtyf2 29195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mFS mTypemVRmTC
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 mFS mRSubst mVR mTypemVRmTC
8685, 68ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14 mFS mRSubst mVR mType mTC
8735adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15 mFS mRSubst mVR mRExmREx
88 elun2 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mVR mCN mVR
8968, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mFS mRSubst mVR mCN mVR
9089s1cld 12624 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mFS mRSubst mVR Word mCN mVR
91 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mCN mCN
9291, 20, 15mrexval 29145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mFS mREx Word mCN mVR
9383, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mFS mRSubst mVR mREx Word mCN mVR
9490, 93eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . 15 mFS mRSubst mVR mREx
9587, 94ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . . . 14 mFS mRSubst mVR mREx
96 opelxpi 5040 . . . . . . . . . . . . . 14 mType mTC mREx mType mTC mREx
9786, 95, 96syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 mFS mRSubst mVR mType mTC mREx
9897, 16syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . . . 12 mFS mRSubst mVR mType
9920, 1, 42mvrsval 29149 . . . . . . . . . . . 12 mType mType mType mVR
10098, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11 mFS mRSubst mVR mType mType mVR
101 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15
10272, 101op2nd 6808 . . . . . . . . . . . . . 14 mType
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 mFS mRSubst mVR mType
104103rneqd 5240 . . . . . . . . . . . 12 mFS mRSubst mVR mType
105104ineq1d 3695 . . . . . . . . . . 11 mFS mRSubst mVR mType mVR mVR
10682, 100, 1053eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10 mFS mRSubst mVR mVR
107106iuneq2dv 4354 . . . . . . . . 9 mFS mRSubst mVR mVR mVR
10854, 107eqtrd 2498 . . . . . . . 8 mFS mRSubst mVR mVR
10922, 51, 1083eqtr4d 2508 . . . . . . 7 mFS mRSubst
110 fveq1 5871 . . . . . . . . 9
111110fveq2d 5876 . . . . . . . 8
112 fveq1 5871 . . . . . . . . . 10
113112fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
114113iuneq2d 4359 . . . . . . . 8
115111, 114eqeq12d 2479 . . . . . . 7
116109, 115syl5ibrcom 222 . . . . . 6 mFS mRSubst
1171163expia 1198 . . . . 5 mFS mRSubst
118117com23 78 . . . 4 mFS mRSubst
119118rexlimdva 2949 . . 3 mFS mRSubst
12011, 119syl5bi 217 . 2 mFS
1211203imp 1190 1 mFS
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wrex 2808  cvv 3109   cun 3469   cin 3470  cop 4038  ciun 4332   cmpt 4515   cxp 5006   crn 5009  wf 5590  cfv 5594  c1st 6797  c2nd 6798  Word cword 12538  cs1 12541  mCNcmcn 29104  mVRcmvar 29105  mTypecmty 29106  mTCcmtc 29108  mRExcmrex 29110  mExcmex 29111  mVarscmvrs 29113  mRSubstcmrsub 29114  mSubstcmsub 29115  mVHcmvh 29116  mFScmfs 29120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-lsw 12547  df-concat 12548  df-s1 12549  df-substr 12550  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-frmd 16235  df-mrex 29130  df-mex 29131  df-mvrs 29133  df-mrsub 29134  df-msub 29135  df-mvh 29136  df-mfs 29140 This theorem is referenced by:  mclsppslem  29227
 Copyright terms: Public domain W3C validator