Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubrn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem msubrn 30167
 Description: Although it is defined for partial mappings of variables, every partial substitution is a substitution on some complete mapping of the variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff.v mVR
msubff.r mREx
msubff.s mSubst
Assertion
Ref Expression
msubrn

Proof of Theorem msubrn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 msubff.v . . . . . 6 mVR
2 msubff.r . . . . . 6 mREx
3 msubff.s . . . . . 6 mSubst
4 eqid 2451 . . . . . 6 mEx mEx
5 eqid 2451 . . . . . 6 mRSubst mRSubst
61, 2, 3, 4, 5msubffval 30161 . . . . 5 mEx mRSubst
76rneqd 5062 . . . 4 mEx mRSubst
81, 2, 5mrsubff 30150 . . . . . . . . . 10 mRSubst
98adantr 467 . . . . . . . . 9 mRSubst
10 ffun 5731 . . . . . . . . 9 mRSubst mRSubst
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 mRSubst
12 ffn 5728 . . . . . . . . . . 11 mRSubst mRSubst
138, 12syl 17 . . . . . . . . . 10 mRSubst
14 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . 10 mRSubst mRSubst mRSubst
1513, 14sylan 474 . . . . . . . . 9 mRSubst mRSubst
161, 2, 5mrsubrn 30151 . . . . . . . . 9 mRSubst mRSubst
1715, 16syl6eleq 2539 . . . . . . . 8 mRSubst mRSubst
18 fvelima 5917 . . . . . . . 8 mRSubst mRSubst mRSubst mRSubst mRSubst
1911, 17, 18syl2anc 667 . . . . . . 7 mRSubst mRSubst
20 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . 13
2120adantl 468 . . . . . . . . . . . 12
22 ssid 3451 . . . . . . . . . . . 12
231, 2, 3, 4, 5msubfval 30162 . . . . . . . . . . . 12 mEx mRSubst
2421, 22, 23sylancl 668 . . . . . . . . . . 11 mEx mRSubst
25 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mEx
2625mptex 6136 . . . . . . . . . . . . . . 15 mEx mRSubst
27 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15 mEx mRSubst mEx mRSubst
2826, 27fnmpti 5706 . . . . . . . . . . . . . 14 mEx mRSubst
296fneq1d 5666 . . . . . . . . . . . . . 14 mEx mRSubst
3028, 29mpbiri 237 . . . . . . . . . . . . 13
3130adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
32 mapsspm 7505 . . . . . . . . . . . . 13
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
34 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
35 fnfvima 6143 . . . . . . . . . . . 12
3631, 33, 34, 35syl3anc 1268 . . . . . . . . . . 11
3724, 36eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . 10 mEx mRSubst
3837adantlr 721 . . . . . . . . 9 mEx mRSubst
39 fveq1 5864 . . . . . . . . . . . 12 mRSubst mRSubst mRSubst mRSubst
4039opeq2d 4173 . . . . . . . . . . 11 mRSubst mRSubst mRSubst mRSubst
4140mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . 10 mRSubst mRSubst mEx mRSubst mEx mRSubst
4241eleq1d 2513 . . . . . . . . 9 mRSubst mRSubst mEx mRSubst mEx mRSubst
4338, 42syl5ibcom 224 . . . . . . . 8 mRSubst mRSubst mEx mRSubst
4443rexlimdva 2879 . . . . . . 7 mRSubst mRSubst mEx mRSubst
4519, 44mpd 15 . . . . . 6 mEx mRSubst
4645, 27fmptd 6046 . . . . 5 mEx mRSubst
47 frn 5735 . . . . 5 mEx mRSubst mEx mRSubst
4846, 47syl 17 . . . 4 mEx mRSubst
497, 48eqsstrd 3466 . . 3
50 fvprc 5859 . . . . . . 7 mSubst
513, 50syl5eq 2497 . . . . . 6
5251rneqd 5062 . . . . 5
53 rn0 5086 . . . . 5
5452, 53syl6eq 2501 . . . 4
55 0ss 3763 . . . 4
5654, 55syl6eqss 3482 . . 3
5749, 56pm2.61i 168 . 2
58 imassrn 5179 . 2
5957, 58eqssi 3448 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wrex 2738  cvv 3045   wss 3404  c0 3731  cop 3974   cmpt 4461   crn 4835  cima 4837   wfun 5576   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  c1st 6791  c2nd 6792   cmap 7472   cpm 7473  mVRcmvar 30099  mRExcmrex 30104  mExcmex 30105  mRSubstcmrsub 30108  mSubstcmsub 30109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-frmd 16633  df-mrex 30124  df-mrsub 30128  df-msub 30129 This theorem is referenced by:  msubff1o  30195
 Copyright terms: Public domain W3C validator