Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubff1o Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem msubff1o 30244
Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is bijective to the set of all substitutions. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff1.v  |-  V  =  (mVR `  T )
msubff1.r  |-  R  =  (mREx `  T )
msubff1.s  |-  S  =  (mSubst `  T )
Assertion
Ref Expression
msubff1o  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-onto-> ran  S
)

Proof of Theorem msubff1o
StepHypRef Expression
1 msubff1.v . . . 4  |-  V  =  (mVR `  T )
2 msubff1.r . . . 4  |-  R  =  (mREx `  T )
3 msubff1.s . . . 4  |-  S  =  (mSubst `  T )
4 eqid 2462 . . . 4  |-  (mEx `  T )  =  (mEx
`  T )
51, 2, 3, 4msubff1 30243 . . 3  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-> ( (mEx `  T )  ^m  (mEx `  T )
) )
6 f1f1orn 5848 . . 3  |-  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) -1-1-> ( (mEx `  T )  ^m  (mEx `  T ) )  -> 
( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-onto-> ran  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) )
75, 6syl 17 . 2  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-onto-> ran  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) )
81, 2, 3msubrn 30216 . . . 4  |-  ran  S  =  ( S "
( R  ^m  V
) )
9 df-ima 4866 . . . 4  |-  ( S
" ( R  ^m  V ) )  =  ran  ( S  |`  ( R  ^m  V ) )
108, 9eqtri 2484 . . 3  |-  ran  S  =  ran  ( S  |`  ( R  ^m  V ) )
11 f1oeq3 5830 . . 3  |-  ( ran 
S  =  ran  ( S  |`  ( R  ^m  V ) )  -> 
( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-onto-> ran  S  <->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
)
-1-1-onto-> ran  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . 2  |-  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
)
-1-1-onto-> ran  S  <->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-onto-> ran  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) )
137, 12sylibr 217 1  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-onto-> ran  S
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    = wceq 1455    e. wcel 1898   ran crn 4854    |` cres 4855   "cima 4856   -1-1->wf1 5598   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6315    ^m cmap 7498  mVRcmvar 30148  mRExcmrex 30153  mExcmex 30154  mSubstcmsub 30158  mFScmfs 30163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-seq 12246  df-hash 12548  df-word 12697  df-concat 12699  df-s1 12700  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-frmd 16682  df-mrex 30173  df-mex 30174  df-mrsub 30177  df-msub 30178  df-mfs 30183
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator