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Theorem msubff1 30266
Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff1.v  |-  V  =  (mVR `  T )
msubff1.r  |-  R  =  (mREx `  T )
msubff1.s  |-  S  =  (mSubst `  T )
msubff1.e  |-  E  =  (mEx `  T )
Assertion
Ref Expression
msubff1  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-> ( E  ^m  E ) )

Proof of Theorem msubff1
Dummy variables  f 
g  r  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 msubff1.v . . . 4  |-  V  =  (mVR `  T )
2 msubff1.r . . . 4  |-  R  =  (mREx `  T )
3 msubff1.s . . . 4  |-  S  =  (mSubst `  T )
4 msubff1.e . . . 4  |-  E  =  (mEx `  T )
51, 2, 3, 4msubff 30240 . . 3  |-  ( T  e. mFS  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( E  ^m  E ) )
6 mapsspm 7523 . . . 4  |-  ( R  ^m  V )  C_  ( R  ^pm  V )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T  e. mFS  ->  ( R  ^m  V )  C_  ( R  ^pm  V ) )
85, 7fssresd 5762 . 2  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) --> ( E  ^m  E ) )
9 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mRSubst `  T
)  =  (mRSubst `  T
)
101, 2, 9mrsubff 30222 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. mFS  ->  (mRSubst `  T ) : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
1110ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  (mRSubst `  T ) : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
12 simplrl 778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  f  e.  ( R  ^m  V ) )
136, 12sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  f  e.  ( R  ^pm  V )
)
1411, 13ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  e.  ( R  ^m  R
) )
15 elmapi 7511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  f )  e.  ( R  ^m  R )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f ) : R --> R )
16 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) : R --> R  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  Fn  R )
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  Fn  R )
18 simplrr 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^m  V ) )
196, 18sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^pm  V )
)
2011, 19ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  g )  e.  ( R  ^m  R
) )
21 elmapi 7511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  g )  e.  ( R  ^m  R )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  g ) : R --> R )
22 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) : R --> R  ->  ( (mRSubst `  T
) `  g )  Fn  R )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  g )  Fn  R )
24 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( S `  f )  =  ( S `  g ) )
2524fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( ( S `  f ) `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  ( ( S `  g ) `
 <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )
2612adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  f  e.  ( R  ^m  V ) )
27 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( R  ^m  V )  ->  f : V --> R )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  f : V
--> R )
29 ssid 3437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  C_  V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  V  C_  V
)
31 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (mTC `  T )  =  (mTC
`  T )
32 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (mType `  T )  =  (mType `  T )
331, 31, 32mtyf2 30261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  e. mFS  ->  (mType `  T
) : V --> (mTC `  T ) )
3433ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  (mType `  T
) : V --> (mTC `  T ) )
35 simplrl 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  v  e.  V )
3634, 35ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( (mType `  T ) `  v
)  e.  (mTC `  T ) )
37 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (mType `  T
) `  v )  e.  (mTC `  T )  /\  r  e.  R
)  ->  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.  e.  ( (mTC `  T
)  X.  R ) )
3836, 37sylancom 680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.  e.  ( (mTC `  T
)  X.  R ) )
3931, 4, 2mexval 30212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( (mTC `  T
)  X.  R )
4038, 39syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.  e.  E )
411, 2, 3, 4, 9msubval 30235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : V --> R  /\  V  C_  V  /\  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>.  e.  E )  -> 
( ( S `  f ) `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. )  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
4228, 30, 40, 41syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( ( S `  f ) `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  <. ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
4318adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  g  e.  ( R  ^m  V ) )
44 elmapi 7511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( R  ^m  V )  ->  g : V --> R )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  g : V
--> R )
461, 2, 3, 4, 9msubval 30235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : V --> R  /\  V  C_  V  /\  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>.  e.  E )  -> 
( ( S `  g ) `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. )  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
4745, 30, 40, 46syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( ( S `  g ) `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  <. ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
4825, 42, 473eqtr3d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  <. ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
49 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  e.  _V
50 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  e.  _V
5149, 50opth 4676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  <->  ( ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  /\  ( (
(mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ) ) )
5251simprbi 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  ->  (
( (mRSubst `  T
) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ) )
5348, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( (
(mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ) )
54 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mType `  T ) `  v
)  e.  _V
55 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  r  e. 
_V
5654, 55op2nd 6821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  r
5756fveq2i 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  f ) `  r )
5856fveq2i 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  g ) `  r )
5953, 57, 583eqtr3g 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( (
(mRSubst `  T ) `  f ) `  r
)  =  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  r
) )
6017, 23, 59eqfnfvd 5994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  =  ( (mRSubst `  T
) `  g )
)
611, 2, 9mrsubff1 30224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. mFS  ->  ( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) -1-1-> ( R  ^m  R ) )
62 f1fveq 6181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) -1-1-> ( R  ^m  R )  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  g
)  <->  f  =  g ) )
6361, 62sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  g
)  <->  f  =  g ) )
64 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) `  f )  =  ( (mRSubst `  T ) `  f ) )
65 fvres 5893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) `  g )  =  ( (mRSubst `  T ) `  g ) )
6664, 65eqeqan12d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 f )  =  ( ( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) `  g )  <->  ( (mRSubst `  T ) `  f
)  =  ( (mRSubst `  T ) `  g
) ) )
6766adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  g
)  <->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  =  ( (mRSubst `  T
) `  g )
) )
6863, 67bitr3d 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( f  =  g  <->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  =  ( (mRSubst `  T
) `  g )
) )
6968adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( f  =  g  <->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  =  ( (mRSubst `  T
) `  g )
) )
7060, 69mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  f  =  g )
7170fveq1d 5881 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( f `  v )  =  ( g `  v ) )
7271expr 626 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  (
( S `  f
)  =  ( S `
 g )  -> 
( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
7372ralrimdva 2812 . . . 4  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( S `
 f )  =  ( S `  g
)  ->  A. v  e.  V  ( f `  v )  =  ( g `  v ) ) )
74 fvres 5893 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 f )  =  ( S `  f
) )
75 fvres 5893 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 g )  =  ( S `  g
) )
7674, 75eqeqan12d 2487 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  g )  <->  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )
7776adantl 473 . . . 4  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  f )  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 g )  <->  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )
78 ffn 5739 . . . . . . 7  |-  ( f : V --> R  -> 
f  Fn  V )
79 ffn 5739 . . . . . . 7  |-  ( g : V --> R  -> 
g  Fn  V )
80 eqfnfv 5991 . . . . . . 7  |-  ( ( f  Fn  V  /\  g  Fn  V )  ->  ( f  =  g  <->  A. v  e.  V  ( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
8178, 79, 80syl2an 485 . . . . . 6  |-  ( ( f : V --> R  /\  g : V --> R )  ->  ( f  =  g  <->  A. v  e.  V  ( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
8227, 44, 81syl2an 485 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( f  =  g  <->  A. v  e.  V  ( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
8382adantl 473 . . . 4  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( f  =  g  <->  A. v  e.  V  ( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
8473, 77, 833imtr4d 276 . . 3  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  f )  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 g )  -> 
f  =  g ) )
8584ralrimivva 2814 . 2  |-  ( T  e. mFS  ->  A. f  e.  ( R  ^m  V ) A. g  e.  ( R  ^m  V ) ( ( ( S  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  g )  ->  f  =  g ) )
86 dff13 6177 . 2  |-  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) -1-1-> ( E  ^m  E )  <->  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) --> ( E  ^m  E )  /\  A. f  e.  ( R  ^m  V ) A. g  e.  ( R  ^m  V
) ( ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  f )  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 g )  -> 
f  =  g ) ) )
878, 85, 86sylanbrc 677 1  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-> ( E  ^m  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756    C_ wss 3390   <.cop 3965    X. cxp 4837    |` cres 4841    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811    ^m cmap 7490    ^pm cpm 7491  mVRcmvar 30171  mTypecmty 30172  mTCcmtc 30174  mRExcmrex 30176  mExcmex 30177  mRSubstcmrsub 30180  mSubstcmsub 30181  mFScmfs 30186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-frmd 16711  df-mrex 30196  df-mex 30197  df-mrsub 30200  df-msub 30201  df-mfs 30206
This theorem is referenced by:  msubff1o  30267
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