Theorem msubff1 30194

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msubff1.v	|- V = (mVR ` T )
msubff1.r	|- R = (mREx ` T )
msubff1.s	|- S = (mSubst ` T )
msubff1.e	|- E = (mEx ` T )

Assertion

Ref	Expression
msubff1	|- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) )

Proof of Theorem msubff1

Dummy variables f g r v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msubff1.v	. . . 4 |- V = (mVR ` T )
2		msubff1.r	. . . 4 |- R = (mREx ` T )
3		msubff1.s	. . . 4 |- S = (mSubst ` T )
4		msubff1.e	. . . 4 |- E = (mEx ` T )
5	1, 2, 3, 4	msubff 30168	. . 3 |- ( T e. mFS -> S : ( R ^pm V ) --> ( E ^m E ) )
6		mapsspm 7505	. . . 4 |- ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( T e. mFS -> ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V ) )
8	5, 7	fssresd 5750	. 2 |- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) --> ( E ^m E ) )
9		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mRSubst ` T ) = (mRSubst ` T )
10	1, 2, 9	mrsubff 30150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. mFS -> (mRSubst ` T ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
11	10	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> (mRSubst ` T ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
12		simplrl 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f e. ( R ^m V ) )
13	6, 12	sseldi 3430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f e. ( R ^pm V ) )
14	11, 13	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) e. ( R ^m R ) )
15		elmapi 7493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) e. ( R ^m R ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) : R --> R )
16		ffn 5728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) : R --> R -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) Fn R )
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) Fn R )
18		simplrr 771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> g e. ( R ^m V ) )
19	6, 18	sseldi 3430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> g e. ( R ^pm V ) )
20	11, 19	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) e. ( R ^m R ) )
21		elmapi 7493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) e. ( R ^m R ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) : R --> R )
22		ffn 5728	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) : R --> R -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) Fn R )
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) Fn R )
24		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( S ` f ) = ( S ` g ) )
25	24	fveq1d 5867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) )
26	12	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> f e. ( R ^m V ) )
27		elmapi 7493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( R ^m V ) -> f : V --> R )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> f : V --> R )
29		ssid 3451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V C_ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> V C_ V )
31		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (mTC ` T ) = (mTC ` T )
32		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (mType ` T ) = (mType ` T )
33	1, 31, 32	mtyf2 30189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T e. mFS -> (mType ` T ) : V --> (mTC ` T ) )
34	33	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> (mType ` T ) : V --> (mTC ` T ) )
35		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> v e. V )
36	34, 35	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( (mType ` T ) ` v ) e. (mTC ` T ) )
37		opelxpi 4866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (mType ` T ) ` v ) e. (mTC ` T ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. ( (mTC ` T ) X. R ) )
38	36, 37	sylancom 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. ( (mTC ` T ) X. R ) )
39	31, 4, 2	mexval 30140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( (mTC ` T ) X. R )
40	38, 39	syl6eleqr 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E )
41	1, 2, 3, 4, 9	msubval 30163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : V --> R /\ V C_ V /\ <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
42	28, 30, 40, 41	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
43	18	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> g e. ( R ^m V ) )
44		elmapi 7493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( R ^m V ) -> g : V --> R )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> g : V --> R )
46	1, 2, 3, 4, 9	msubval 30163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : V --> R /\ V C_ V /\ <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E ) -> ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
47	45, 30, 40, 46	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
48	25, 42, 47	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
49		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) e. _V
50		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) e. _V
51	49, 50	opth 4676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. <-> ( ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) /\ ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) ) )
52	51	simprbi 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) )
53	48, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) )
54		fvex 5875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mType ` T ) ` v ) e. _V
55		vex 3048	. . . . . . . . . . . 12 |- r e. _V
56	54, 55	op2nd 6802	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = r
57	56	fveq2i 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` r )
58	56	fveq2i 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` r )
59	53, 57, 58	3eqtr3g 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` r ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` r ) )
60	17, 23, 59	eqfnfvd 5979	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) )
61	1, 2, 9	mrsubff1 30152	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. mFS -> ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) )
62		f1fveq 6163	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> f = g ) )
63	61, 62	sylan 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> f = g ) )
64		fvres 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( R ^m V ) -> ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` f ) )
65		fvres 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( R ^m V ) -> ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) )
66	64, 65	eqeqan12d 2467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
67	66	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
68	63, 67	bitr3d 259	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( f = g <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
69	68	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( f = g <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
70	60, 69	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f = g )
71	70	fveq1d 5867	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( f ` v ) = ( g ` v ) )
72	71	expr 620	. . . . 5 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
73	72	ralrimdva 2806	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
74		fvres 5879	. . . . . 6 |- ( f e. ( R ^m V ) -> ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( S ` f ) )
75		fvres 5879	. . . . . 6 |- ( g e. ( R ^m V ) -> ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) = ( S ` g ) )
76	74, 75	eqeqan12d 2467	. . . . 5 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( S ` f ) = ( S ` g ) ) )
77	76	adantl 468	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( S ` f ) = ( S ` g ) ) )
78		ffn 5728	. . . . . . 7 |- ( f : V --> R -> f Fn V )
79		ffn 5728	. . . . . . 7 |- ( g : V --> R -> g Fn V )
80		eqfnfv 5976	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn V /\ g Fn V ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
81	78, 79, 80	syl2an 480	. . . . . 6 |- ( ( f : V --> R /\ g : V --> R ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
82	27, 44, 81	syl2an 480	. . . . 5 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
83	82	adantl 468	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
84	73, 77, 83	3imtr4d 272	. . 3 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) )
85	84	ralrimivva 2809	. 2 |- ( T e. mFS -> A. f e. ( R ^m V ) A. g e. ( R ^m V ) ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) )
86		dff13 6159	. 2 |- ( ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) <-> ( ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) --> ( E ^m E ) /\ A. f e. ( R ^m V ) A. g e. ( R ^m V ) ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) ) )
87	8, 85, 86	sylanbrc 670	1 |- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   C_ wss 3404   <.cop 3974   X. cxp 4832   |` cres 4836   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   ^m cmap 7472   ^pm cpm 7473  mVRcmvar 30099  mTypecmty 30100  mTCcmtc 30102  mRExcmrex 30104  mExcmex 30105  mRSubstcmrsub 30108  mSubstcmsub 30109  mFScmfs 30114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-frmd 16633  df-mrex 30124  df-mex 30125  df-mrsub 30128  df-msub 30129  df-mfs 30134

This theorem is referenced by:  msubff1o  30195