Theorem msubff1 30266

Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
msubff1.v	|- V = (mVR ` T )
msubff1.r	|- R = (mREx ` T )
msubff1.s	|- S = (mSubst ` T )
msubff1.e	|- E = (mEx ` T )

Assertion

Ref	Expression
msubff1	|- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) )

Proof of Theorem msubff1

Dummy variables f g r v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msubff1.v	. . . 4 |- V = (mVR ` T )
2		msubff1.r	. . . 4 |- R = (mREx ` T )
3		msubff1.s	. . . 4 |- S = (mSubst ` T )
4		msubff1.e	. . . 4 |- E = (mEx ` T )
5	1, 2, 3, 4	msubff 30240	. . 3 |- ( T e. mFS -> S : ( R ^pm V ) --> ( E ^m E ) )
6		mapsspm 7523	. . . 4 |- ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( T e. mFS -> ( R ^m V ) C_ ( R ^pm V ) )
8	5, 7	fssresd 5762	. 2 |- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) --> ( E ^m E ) )
9		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mRSubst ` T ) = (mRSubst ` T )
10	1, 2, 9	mrsubff 30222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. mFS -> (mRSubst ` T ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
11	10	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> (mRSubst ` T ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
12		simplrl 778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f e. ( R ^m V ) )
13	6, 12	sseldi 3416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f e. ( R ^pm V ) )
14	11, 13	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) e. ( R ^m R ) )
15		elmapi 7511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) e. ( R ^m R ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) : R --> R )
16		ffn 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) : R --> R -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) Fn R )
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) Fn R )
18		simplrr 779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> g e. ( R ^m V ) )
19	6, 18	sseldi 3416	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> g e. ( R ^pm V ) )
20	11, 19	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) e. ( R ^m R ) )
21		elmapi 7511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) e. ( R ^m R ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) : R --> R )
22		ffn 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) : R --> R -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) Fn R )
23	20, 21, 22	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` g ) Fn R )
24		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( S ` f ) = ( S ` g ) )
25	24	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) )
26	12	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> f e. ( R ^m V ) )
27		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( R ^m V ) -> f : V --> R )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> f : V --> R )
29		ssid 3437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- V C_ V
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> V C_ V )
31		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (mTC ` T ) = (mTC ` T )
32		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (mType ` T ) = (mType ` T )
33	1, 31, 32	mtyf2 30261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T e. mFS -> (mType ` T ) : V --> (mTC ` T ) )
34	33	ad3antrrr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> (mType ` T ) : V --> (mTC ` T ) )
35		simplrl 778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> v e. V )
36	34, 35	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( (mType ` T ) ` v ) e. (mTC ` T ) )
37		opelxpi 4871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (mType ` T ) ` v ) e. (mTC ` T ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. ( (mTC ` T ) X. R ) )
38	36, 37	sylancom 680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. ( (mTC ` T ) X. R ) )
39	31, 4, 2	mexval 30212	. . . . . . . . . . . . . 14 |- E = ( (mTC ` T ) X. R )
40	38, 39	syl6eleqr 2560	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E )
41	1, 2, 3, 4, 9	msubval 30235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : V --> R /\ V C_ V /\ <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
42	28, 30, 40, 41	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` f ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
43	18	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> g e. ( R ^m V ) )
44		elmapi 7511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. ( R ^m V ) -> g : V --> R )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> g : V --> R )
46	1, 2, 3, 4, 9	msubval 30235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g : V --> R /\ V C_ V /\ <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. e. E ) -> ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
47	45, 30, 40, 46	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( S ` g ) ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
48	25, 42, 47	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. )
49		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) e. _V
50		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) e. _V
51	49, 50	opth 4676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. <-> ( ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) /\ ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) ) )
52	51	simprbi 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. = <. ( 1st ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) , ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) >. -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) )
53	48, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) )
54		fvex 5889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (mType ` T ) ` v ) e. _V
55		vex 3034	. . . . . . . . . . . 12 |- r e. _V
56	54, 55	op2nd 6821	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) = r
57	56	fveq2i 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` r )
58	56	fveq2i 5882	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` ( 2nd ` <. ( (mType ` T ) ` v ) , r >. ) ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` r )
59	53, 57, 58	3eqtr3g 2528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) /\ r e. R ) -> ( ( (mRSubst ` T ) ` f ) ` r ) = ( ( (mRSubst ` T ) ` g ) ` r ) )
60	17, 23, 59	eqfnfvd 5994	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) )
61	1, 2, 9	mrsubff1 30224	. . . . . . . . . . 11 |- ( T e. mFS -> ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) )
62		f1fveq 6181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( R ^m R ) /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> f = g ) )
63	61, 62	sylan 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> f = g ) )
64		fvres 5893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( R ^m V ) -> ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` f ) )
65		fvres 5893	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( R ^m V ) -> ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) )
66	64, 65	eqeqan12d 2487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
67	66	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( (mRSubst ` T ) |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
68	63, 67	bitr3d 263	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( f = g <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
69	68	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( f = g <-> ( (mRSubst ` T ) ` f ) = ( (mRSubst ` T ) ` g ) ) )
70	60, 69	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> f = g )
71	70	fveq1d 5881	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ ( v e. V /\ ( S ` f ) = ( S ` g ) ) ) -> ( f ` v ) = ( g ` v ) )
72	71	expr 626	. . . . 5 |- ( ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) /\ v e. V ) -> ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
73	72	ralrimdva 2812	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( S ` f ) = ( S ` g ) -> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
74		fvres 5893	. . . . . 6 |- ( f e. ( R ^m V ) -> ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( S ` f ) )
75		fvres 5893	. . . . . 6 |- ( g e. ( R ^m V ) -> ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) = ( S ` g ) )
76	74, 75	eqeqan12d 2487	. . . . 5 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( S ` f ) = ( S ` g ) ) )
77	76	adantl 473	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) <-> ( S ` f ) = ( S ` g ) ) )
78		ffn 5739	. . . . . . 7 |- ( f : V --> R -> f Fn V )
79		ffn 5739	. . . . . . 7 |- ( g : V --> R -> g Fn V )
80		eqfnfv 5991	. . . . . . 7 |- ( ( f Fn V /\ g Fn V ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
81	78, 79, 80	syl2an 485	. . . . . 6 |- ( ( f : V --> R /\ g : V --> R ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
82	27, 44, 81	syl2an 485	. . . . 5 |- ( ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
83	82	adantl 473	. . . 4 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( f = g <-> A. v e. V ( f ` v ) = ( g ` v ) ) )
84	73, 77, 83	3imtr4d 276	. . 3 |- ( ( T e. mFS /\ ( f e. ( R ^m V ) /\ g e. ( R ^m V ) ) ) -> ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) )
85	84	ralrimivva 2814	. 2 |- ( T e. mFS -> A. f e. ( R ^m V ) A. g e. ( R ^m V ) ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) )
86		dff13 6177	. 2 |- ( ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) <-> ( ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) --> ( E ^m E ) /\ A. f e. ( R ^m V ) A. g e. ( R ^m V ) ( ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` f ) = ( ( S |` ( R ^m V ) ) ` g ) -> f = g ) ) )
87	8, 85, 86	sylanbrc 677	1 |- ( T e. mFS -> ( S |` ( R ^m V ) ) : ( R ^m V ) -1-1-> ( E ^m E ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   C_ wss 3390   <.cop 3965   X. cxp 4837   |` cres 4841   Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1stc1st 6810   2ndc2nd 6811   ^m cmap 7490   ^pm cpm 7491  mVRcmvar 30171  mTypecmty 30172  mTCcmtc 30174  mRExcmrex 30176  mExcmex 30177  mRSubstcmrsub 30180  mSubstcmsub 30181  mFScmfs 30186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-frmd 16711  df-mrex 30196  df-mex 30197  df-mrsub 30200  df-msub 30201  df-mfs 30206

This theorem is referenced by:  msubff1o  30267