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Theorem msubff1 30194
Description: When restricted to complete mappings, the substitution-producing function is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubff1.v  |-  V  =  (mVR `  T )
msubff1.r  |-  R  =  (mREx `  T )
msubff1.s  |-  S  =  (mSubst `  T )
msubff1.e  |-  E  =  (mEx `  T )
Assertion
Ref Expression
msubff1  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-> ( E  ^m  E ) )

Proof of Theorem msubff1
Dummy variables  f 
g  r  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 msubff1.v . . . 4  |-  V  =  (mVR `  T )
2 msubff1.r . . . 4  |-  R  =  (mREx `  T )
3 msubff1.s . . . 4  |-  S  =  (mSubst `  T )
4 msubff1.e . . . 4  |-  E  =  (mEx `  T )
51, 2, 3, 4msubff 30168 . . 3  |-  ( T  e. mFS  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( E  ^m  E ) )
6 mapsspm 7505 . . . 4  |-  ( R  ^m  V )  C_  ( R  ^pm  V )
76a1i 11 . . 3  |-  ( T  e. mFS  ->  ( R  ^m  V )  C_  ( R  ^pm  V ) )
85, 7fssresd 5750 . 2  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) --> ( E  ^m  E ) )
9 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mRSubst `  T
)  =  (mRSubst `  T
)
101, 2, 9mrsubff 30150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e. mFS  ->  (mRSubst `  T ) : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
1110ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  (mRSubst `  T ) : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
12 simplrl 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  f  e.  ( R  ^m  V ) )
136, 12sseldi 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  f  e.  ( R  ^pm  V )
)
1411, 13ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  e.  ( R  ^m  R
) )
15 elmapi 7493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  f )  e.  ( R  ^m  R )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f ) : R --> R )
16 ffn 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) : R --> R  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  Fn  R )
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  Fn  R )
18 simplrr 771 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^m  V ) )
196, 18sseldi 3430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  g  e.  ( R  ^pm  V )
)
2011, 19ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  g )  e.  ( R  ^m  R
) )
21 elmapi 7493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  g )  e.  ( R  ^m  R )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  g ) : R --> R )
22 ffn 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) : R --> R  ->  ( (mRSubst `  T
) `  g )  Fn  R )
2320, 21, 223syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  g )  Fn  R )
24 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( S `  f )  =  ( S `  g ) )
2524fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( ( S `  f ) `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  ( ( S `  g ) `
 <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )
2612adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  f  e.  ( R  ^m  V ) )
27 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( R  ^m  V )  ->  f : V --> R )
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  f : V
--> R )
29 ssid 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  V  C_  V
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  V  C_  V
)
31 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (mTC `  T )  =  (mTC
`  T )
32 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (mType `  T )  =  (mType `  T )
331, 31, 32mtyf2 30189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  e. mFS  ->  (mType `  T
) : V --> (mTC `  T ) )
3433ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  (mType `  T
) : V --> (mTC `  T ) )
35 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  v  e.  V )
3634, 35ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( (mType `  T ) `  v
)  e.  (mTC `  T ) )
37 opelxpi 4866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( (mType `  T
) `  v )  e.  (mTC `  T )  /\  r  e.  R
)  ->  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.  e.  ( (mTC `  T
)  X.  R ) )
3836, 37sylancom 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.  e.  ( (mTC `  T
)  X.  R ) )
3931, 4, 2mexval 30140 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  E  =  ( (mTC `  T
)  X.  R )
4038, 39syl6eleqr 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.  e.  E )
411, 2, 3, 4, 9msubval 30163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : V --> R  /\  V  C_  V  /\  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>.  e.  E )  -> 
( ( S `  f ) `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. )  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
4228, 30, 40, 41syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( ( S `  f ) `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  <. ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
4318adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  g  e.  ( R  ^m  V ) )
44 elmapi 7493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  ( R  ^m  V )  ->  g : V --> R )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  g : V
--> R )
461, 2, 3, 4, 9msubval 30163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : V --> R  /\  V  C_  V  /\  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>.  e.  E )  -> 
( ( S `  g ) `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. )  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
4745, 30, 40, 46syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( ( S `  g ) `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  <. ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
4825, 42, 473eqtr3d 2493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  <. ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >. )
49 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  e.  _V
50 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  e.  _V
5149, 50opth 4676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  <->  ( ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  ( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  /\  ( (
(mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ) ) )
5251simprbi 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( 1st `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  =  <. ( 1st `  <. (
(mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ,  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) ) >.  ->  (
( (mRSubst `  T
) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ) )
5348, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( (
(mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v ) ,  r
>. ) ) )
54 fvex 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mType `  T ) `  v
)  e.  _V
55 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  r  e. 
_V
5654, 55op2nd 6802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
)  =  r
5756fveq2i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  f ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  f ) `  r )
5856fveq2i 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  ( 2nd `  <. ( (mType `  T ) `  v
) ,  r >.
) )  =  ( ( (mRSubst `  T
) `  g ) `  r )
5953, 57, 583eqtr3g 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  /\  r  e.  R
)  ->  ( (
(mRSubst `  T ) `  f ) `  r
)  =  ( ( (mRSubst `  T ) `  g ) `  r
) )
6017, 23, 59eqfnfvd 5979 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  =  ( (mRSubst `  T
) `  g )
)
611, 2, 9mrsubff1 30152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e. mFS  ->  ( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) -1-1-> ( R  ^m  R ) )
62 f1fveq 6163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) -1-1-> ( R  ^m  R )  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  g
)  <->  f  =  g ) )
6361, 62sylan 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  g
)  <->  f  =  g ) )
64 fvres 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) `  f )  =  ( (mRSubst `  T ) `  f ) )
65 fvres 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) `  g )  =  ( (mRSubst `  T ) `  g ) )
6664, 65eqeqan12d 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 f )  =  ( ( (mRSubst `  T
)  |`  ( R  ^m  V ) ) `  g )  <->  ( (mRSubst `  T ) `  f
)  =  ( (mRSubst `  T ) `  g
) ) )
6766adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( (mRSubst `  T )  |`  ( R  ^m  V
) ) `  g
)  <->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  =  ( (mRSubst `  T
) `  g )
) )
6863, 67bitr3d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( f  =  g  <->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  =  ( (mRSubst `  T
) `  g )
) )
6968adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( f  =  g  <->  ( (mRSubst `  T
) `  f )  =  ( (mRSubst `  T
) `  g )
) )
7060, 69mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  f  =  g )
7170fveq1d 5867 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  (
v  e.  V  /\  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )  ->  ( f `  v )  =  ( g `  v ) )
7271expr 620 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e. mFS  /\  ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  /\  v  e.  V )  ->  (
( S `  f
)  =  ( S `
 g )  -> 
( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
7372ralrimdva 2806 . . . 4  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( S `
 f )  =  ( S `  g
)  ->  A. v  e.  V  ( f `  v )  =  ( g `  v ) ) )
74 fvres 5879 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 f )  =  ( S `  f
) )
75 fvres 5879 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( R  ^m  V )  ->  (
( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 g )  =  ( S `  g
) )
7674, 75eqeqan12d 2467 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( ( ( S  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  g )  <->  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )
7776adantl 468 . . . 4  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  f )  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 g )  <->  ( S `  f )  =  ( S `  g ) ) )
78 ffn 5728 . . . . . . 7  |-  ( f : V --> R  -> 
f  Fn  V )
79 ffn 5728 . . . . . . 7  |-  ( g : V --> R  -> 
g  Fn  V )
80 eqfnfv 5976 . . . . . . 7  |-  ( ( f  Fn  V  /\  g  Fn  V )  ->  ( f  =  g  <->  A. v  e.  V  ( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
8178, 79, 80syl2an 480 . . . . . 6  |-  ( ( f : V --> R  /\  g : V --> R )  ->  ( f  =  g  <->  A. v  e.  V  ( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
8227, 44, 81syl2an 480 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( f  =  g  <->  A. v  e.  V  ( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
8382adantl 468 . . . 4  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( f  =  g  <->  A. v  e.  V  ( f `  v
)  =  ( g `
 v ) ) )
8473, 77, 833imtr4d 272 . . 3  |-  ( ( T  e. mFS  /\  (
f  e.  ( R  ^m  V )  /\  g  e.  ( R  ^m  V ) ) )  ->  ( ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  f )  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 g )  -> 
f  =  g ) )
8584ralrimivva 2809 . 2  |-  ( T  e. mFS  ->  A. f  e.  ( R  ^m  V ) A. g  e.  ( R  ^m  V ) ( ( ( S  |`  ( R  ^m  V
) ) `  f
)  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  g )  ->  f  =  g ) )
86 dff13 6159 . 2  |-  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) -1-1-> ( E  ^m  E )  <->  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V
) --> ( E  ^m  E )  /\  A. f  e.  ( R  ^m  V ) A. g  e.  ( R  ^m  V
) ( ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `  f )  =  ( ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) `
 g )  -> 
f  =  g ) ) )
878, 85, 86sylanbrc 670 1  |-  ( T  e. mFS  ->  ( S  |`  ( R  ^m  V ) ) : ( R  ^m  V ) -1-1-> ( E  ^m  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737    C_ wss 3404   <.cop 3974    X. cxp 4832    |` cres 4836    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -1-1->wf1 5579   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792    ^m cmap 7472    ^pm cpm 7473  mVRcmvar 30099  mTypecmty 30100  mTCcmtc 30102  mRExcmrex 30104  mExcmex 30105  mRSubstcmrsub 30108  mSubstcmsub 30109  mFScmfs 30114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-frmd 16633  df-mrex 30124  df-mex 30125  df-mrsub 30128  df-msub 30129  df-mfs 30134
This theorem is referenced by:  msubff1o  30195
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