Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  msubf Structured version   Unicode version

Theorem msubf 29176
Description: A substitution is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msubco.s  |-  S  =  (mSubst `  T )
msubf.e  |-  E  =  (mEx `  T )
Assertion
Ref Expression
msubf  |-  ( F  e.  ran  S  ->  F : E --> E )

Proof of Theorem msubf
StepHypRef Expression
1 n0i 3798 . . . . 5  |-  ( F  e.  ran  S  ->  -.  ran  S  =  (/) )
2 msubco.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (mSubst `  T )
3 fvprc 5866 . . . . . . . 8  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mSubst `  T )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2510 . . . . . . 7  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  S  =  (/) )
54rneqd 5240 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  ran  (/) )
6 rn0 5264 . . . . . 6  |-  ran  (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2514 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  (/) )
81, 7nsyl2 127 . . . 4  |-  ( F  e.  ran  S  ->  T  e.  _V )
9 eqid 2457 . . . . 5  |-  (mVR `  T )  =  (mVR
`  T )
10 eqid 2457 . . . . 5  |-  (mREx `  T )  =  (mREx `  T )
11 msubf.e . . . . 5  |-  E  =  (mEx `  T )
129, 10, 2, 11msubff 29174 . . . 4  |-  ( T  e.  _V  ->  S : ( (mREx `  T )  ^pm  (mVR `  T ) ) --> ( E  ^m  E ) )
13 frn 5743 . . . 4  |-  ( S : ( (mREx `  T )  ^pm  (mVR `  T ) ) --> ( E  ^m  E )  ->  ran  S  C_  ( E  ^m  E ) )
148, 12, 133syl 20 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  ran  S  C_  ( E  ^m  E ) )
15 id 22 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  F  e.  ran  S )
1614, 15sseldd 3500 . 2  |-  ( F  e.  ran  S  ->  F  e.  ( E  ^m  E ) )
17 elmapi 7459 . 2  |-  ( F  e.  ( E  ^m  E )  ->  F : E --> E )
1816, 17syl 16 1  |-  ( F  e.  ran  S  ->  F : E --> E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ran crn 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438    ^pm cpm 7439  mVRcmvar 29105  mRExcmrex 29110  mExcmex 29111  mSubstcmsub 29115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-struct 14737  df-ndx 14738  df-slot 14739  df-base 14740  df-sets 14741  df-ress 14742  df-plusg 14816  df-0g 14950  df-gsum 14951  df-mgm 16090  df-sgrp 16129  df-mnd 16139  df-submnd 16185  df-frmd 16235  df-mrex 29130  df-mex 29131  df-mrsub 29134  df-msub 29135
This theorem is referenced by:  mclsssvlem  29206  mclsax  29213  mclsppslem  29227  mclspps  29228
  Copyright terms: Public domain W3C validator