MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mstri2 Structured version   Unicode version

Theorem mstri2 21264
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
mstri2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mstri2
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2msmet2 21257 . . 3  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
4 mettri2 21138 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  <_  ( ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) A )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) ) )
53, 4sylan 471 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  <_  (
( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) A )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) ) )
6 simpr2 1006 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
7 simpr3 1007 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
86, 7ovresd 6426 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  =  ( A D B ) )
9 simpr1 1005 . . . 4  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
109, 6ovresd 6426 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C
( D  |`  ( X  X.  X ) ) A )  =  ( C D A ) )
119, 7ovresd 6426 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  =  ( C D B ) )
1210, 11oveq12d 6298 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) A )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) )  =  ( ( C D A )  +  ( C D B ) ) )
135, 8, 123brtr3d 4426 1  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   class class class wbr 4397    X. cxp 4823    |` cres 4827   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    + caddc 9527    <_ cle 9661   Basecbs 14843   distcds 14920   Metcme 18726   MetSpcmt 21115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-topgen 15060  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-xms 21117  df-ms 21118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator