MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mstri2 Structured version   Unicode version

Theorem mstri2 20700
Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
mscl.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
Assertion
Ref Expression
mstri2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )

Proof of Theorem mstri2
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 mscl.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2msmet2 20693 . . 3  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
4 mettri2 20574 . . 3  |-  ( ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
)  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  <_  ( ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) A )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B ) ) )
53, 4sylan 471 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  <_  (
( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) A )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) ) )
6 simpr2 998 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
7 simpr3 999 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  B  e.  X )
86, 7ovresd 6420 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  =  ( A D B ) )
9 simpr1 997 . . . 4  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  C  e.  X )
109, 6ovresd 6420 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C
( D  |`  ( X  X.  X ) ) A )  =  ( C D A ) )
119, 7ovresd 6420 . . 3  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( C
( D  |`  ( X  X.  X ) ) B )  =  ( C D B ) )
1210, 11oveq12d 6295 . 2  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( C ( D  |`  ( X  X.  X
) ) A )  +  ( C ( D  |`  ( X  X.  X ) ) B ) )  =  ( ( C D A )  +  ( C D B ) ) )
135, 8, 123brtr3d 4471 1  |-  ( ( M  e.  MetSp  /\  ( C  e.  X  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A D B )  <_  (
( C D A )  +  ( C D B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442    X. cxp 4992    |` cres 4996   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    + caddc 9486    <_ cle 9620   Basecbs 14481   distcds 14555   Metcme 18170   MetSpcmt 20551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-xms 20553  df-ms 20554
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator