Theorem msqgt0 6593

Description: A nonzero square is positive. Theorem I.20 of [Apostol] p. 20.

Assertion

Ref	Expression
msqgt0	|- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> 0 < (A x. A))

Proof of Theorem msqgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 1859	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A =/= 0 <-> if(A e. RR, A, 0) =/= 0))
2		id 73	. . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> A = if(A e. RR, A, 0))
3	2, 2	opreq12d 4711	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A x. A) = (if(A e. RR, A, 0) x. if(A e. RR, A, 0)))
4	3	breq2d 3170	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < (A x. A) <-> 0 < (if(A e. RR, A, 0) x. if(A e. RR, A, 0))))
5	1, 4	imbi12d 685	. . 3 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((A =/= 0 -> 0 < (A x. A)) <-> (if(A e. RR, A, 0) =/= 0 -> 0 < (if(A e. RR, A, 0) x. if(A e. RR, A, 0)))))
6		0re 6399	. . . . 5 |- 0 e. RR
7	6	elimel 2849	. . . 4 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
8	7	msqgt0i 6590	. . 3 |- (if(A e. RR, A, 0) =/= 0 -> 0 < (if(A e. RR, A, 0) x. if(A e. RR, A, 0)))
9	5, 8	dedth 2835	. 2 |- (A e. RR -> (A =/= 0 -> 0 < (A x. A)))
10	9	imp 375	1 |- ((A e. RR /\ A =/= 0) -> 0 < (A x. A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 239   = wceq 1136   e. wcel 1138   =/= wne 1854  ifcif 2806   class class class wbr 3158  (class class class)co 4695  RRcr 6181  0cc0 6182   x. cmul 6187   < clt 6449

This theorem is referenced by:  recextlem2 6671  msqznn 7203  sqgt0 7662  sqr0 7717  inelr 7780

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454

Copyright terms: Public domain