MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  msq11 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem msq11 10496
Description: The square of a nonnegative number is a one-to-one function. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
msq11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  =  ( B  x.  B )  <->  A  =  B ) )

Proof of Theorem msq11
StepHypRef Expression
1 le2msq 10495 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B )
) )
2 le2msq 10495 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )
)  ->  ( B  <_  A  <->  ( B  x.  B )  <_  ( A  x.  A )
) )
32ancoms 459 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  <_  A  <->  ( B  x.  B )  <_  ( A  x.  A )
) )
41, 3anbi12d 722 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A )  <->  ( ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B
)  /\  ( B  x.  B )  <_  ( A  x.  A )
) ) )
5 simpll 765 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  A  e.  RR )
6 simprl 769 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  B  e.  RR )
75, 6letri3d 9764 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A
) ) )
85, 5remulcld 9658 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( A  x.  A )  e.  RR )
96, 6remulcld 9658 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( B  x.  B )  e.  RR )
108, 9letri3d 9764 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  =  ( B  x.  B )  <->  ( ( A  x.  A )  <_  ( B  x.  B
)  /\  ( B  x.  B )  <_  ( A  x.  A )
) ) )
114, 7, 103bitr4rd 294 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )
)  ->  ( ( A  x.  A )  =  ( B  x.  B )  <->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891   class class class wbr 4374  (class class class)co 6276   RRcr 9525   0cc0 9526    x. cmul 9531    <_ cle 9663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-op 3943  df-uni 4169  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850
This theorem is referenced by:  msq11i  10510  sq11  12341
  Copyright terms: Public domain W3C validator