Theorem msflem 9080

Description: Lemma for msf 9081 and others.

Hypotheses

Ref	Expression
msf.1	|- X = (1st` M)
msf.2	|- D = (2nd` M)

Assertion

Ref	Expression
msflem	|- (M e. MetSp -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))

Distinct variable groups:   x,y,z,D   x,X,y,z

Proof of Theorem msflem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfms2 9076	. . 3 |- MetSp = {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))}
2	1	eleq2i 1961	. 2 |- (M e. MetSp <-> M e. {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))})
3		msf.1	. . . . 5 |- X = (1st` M)
4	3	eqeq2i 1894	. . . 4 |- (w = X <-> w = (1st` M))
5		xpeq1 4016	. . . . . . 7 |- (w = X -> (w X. w) = (X X. w))
6		xpeq2 4017	. . . . . . 7 |- (w = X -> (X X. w) = (X X. X))
7	5, 6	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- (w = X -> (w X. w) = (X X. X))
8	7	feq2d 4557	. . . . 5 |- (w = X -> (v:(w X. w)-->RR <-> v:(X X. X)-->RR))
9		raleq 2266	. . . . . . . 8 |- (w = X -> (A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))
10	9	anbi2d 678	. . . . . . 7 |- (w = X -> ((((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
11	10	raleqbi1dv 2271	. . . . . 6 |- (w = X -> (A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
12	11	raleqbi1dv 2271	. . . . 5 |- (w = X -> (A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))))
13	8, 12	anbi12d 690	. . . 4 |- (w = X -> ((v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))))
14	4, 13	sylbir 218	. . 3 |- (w = (1st` M) -> ((v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))))
15		msf.2	. . . . 5 |- D = (2nd` M)
16	15	eqeq2i 1894	. . . 4 |- (v = D <-> v = (2nd` M))
17		feq1 4551	. . . . 5 |- (v = D -> (v:(X X. X)-->RR <-> D:(X X. X)-->RR))
18		opreq 4888	. . . . . . . . 9 |- (v = D -> (xvy) = (xDy))
19	18	eqeq1d 1892	. . . . . . . 8 |- (v = D -> ((xvy) = 0 <-> (xDy) = 0))
20	19	bibi1d 681	. . . . . . 7 |- (v = D -> (((xvy) = 0 <-> x = y) <-> ((xDy) = 0 <-> x = y)))
21		opreq 4888	. . . . . . . . . 10 |- (v = D -> (zvx) = (zDx))
22		opreq 4888	. . . . . . . . . 10 |- (v = D -> (zvy) = (zDy))
23	21, 22	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- (v = D -> ((zvx) + (zvy)) = ((zDx) + (zDy)))
24	18, 23	breq12d 3351	. . . . . . . 8 |- (v = D -> ((xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
25	24	ralbidv 2123	. . . . . . 7 |- (v = D -> (A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)) <-> A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))
26	20, 25	anbi12d 690	. . . . . 6 |- (v = D -> ((((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
27	26	2ralbidv 2140	. . . . 5 |- (v = D -> (A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))) <-> A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
28	17, 27	anbi12d 690	. . . 4 |- (v = D -> ((v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
29	16, 28	sylbir 218	. . 3 |- (v = (2nd` M) -> ((v:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xvy) <_ ((zvx) + (zvy)))) <-> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy))))))
30	14, 29	elopabi 5059	. 2 |- (M e. {<.w, v>. | (v:(w X. w)-->RR /\ A.x e. w A.y e. w (((xvy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. w (xvy) <_ ((zvx) + (zvy))))} -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))
31	2, 30	sylbi 216	1 |- (M e. MetSp -> (D:(X X. X)-->RR /\ A.x e. X A.y e. X (((xDy) = 0 <-> x = y) /\ A.z e. X (xDy) <_ ((zDx) + (zDy)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  {copab 3395   X. cxp 3984  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   <_ cle 6448  MetSpcmt 9067

This theorem is referenced by:  msf 9081

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-met 9070  df-ms 9071

Copyright terms: Public domain