MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  msdcn Structured version   Unicode version

Theorem msdcn 21796
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
msdcn.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
msdcn.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
msdcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  M )
msdcn.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
msdcn  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem msdcn
StepHypRef Expression
1 msdcn.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 msdcn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2msmet2 21412 . . 3  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
4 eqid 2420 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )
5 msdcn.2 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
64, 5metdcn2 21794 . . 3  |-  ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )  Cn  K ) )
73, 6syl 17 . 2  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )  Cn  K ) )
8 msdcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  M )
92reseq1i 5112 . . . . 5  |-  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )
108, 1, 9mstopn 21404 . . . 4  |-  ( M  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) ) )
1110, 10oveq12d 6314 . . 3  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( J  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) )  tX  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) ) ) )
1211oveq1d 6311 . 2  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( ( J  tX  J )  Cn  K )  =  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )  Cn  K ) )
137, 12eleqtrrd 2511 1  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867    X. cxp 4843   ran crn 4846    |` cres 4847   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   (,)cioo 11624   Basecbs 15081   distcds 15159   TopOpenctopn 15280   topGenctg 15296   Metcme 18897   MetOpencmopn 18901    Cn ccn 20177    tX ctx 20512   MetSpcmt 21270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-ec 7364  df-map 7473  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-hom 15174  df-cco 15175  df-rest 15281  df-topn 15282  df-0g 15300  df-gsum 15301  df-topgen 15302  df-pt 15303  df-prds 15306  df-ordt 15359  df-xrs 15360  df-qtop 15365  df-imas 15366  df-xps 15368  df-mre 15444  df-mrc 15445  df-acs 15447  df-ps 16398  df-tsr 16399  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-submnd 16535  df-mulg 16628  df-cntz 16923  df-cmn 17373  df-psmet 18903  df-xmet 18904  df-met 18905  df-bl 18906  df-mopn 18907  df-top 19858  df-bases 19859  df-topon 19860  df-topsp 19861  df-cn 20180  df-cnp 20181  df-tx 20514  df-hmeo 20707  df-xms 21272  df-ms 21273  df-tms 21274
This theorem is referenced by:  cnmpt1ds  21797  cnmpt2ds  21798
  Copyright terms: Public domain W3C validator