MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  msdcn Structured version   Unicode version

Theorem msdcn 21173
Description: The metric function of a metric space is always continuous in the topology generated by it. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
msdcn.x  |-  X  =  ( Base `  M
)
msdcn.d  |-  D  =  ( dist `  M
)
msdcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  M )
msdcn.2  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
msdcn  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem msdcn
StepHypRef Expression
1 msdcn.x . . . 4  |-  X  =  ( Base `  M
)
2 msdcn.d . . . 4  |-  D  =  ( dist `  M
)
31, 2msmet2 20790 . . 3  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( Met `  X ) )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) )
5 msdcn.2 . . . 4  |-  K  =  ( topGen `  ran  (,) )
64, 5metdcn2 21171 . . 3  |-  ( ( D  |`  ( X  X.  X ) )  e.  ( Met `  X
)  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )  Cn  K ) )
73, 6syl 16 . 2  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )  Cn  K ) )
8 msdcn.j . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen `  M )
92reseq1i 5269 . . . . 5  |-  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  M
)  |`  ( X  X.  X ) )
108, 1, 9mstopn 20782 . . . 4  |-  ( M  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) ) )
1110, 10oveq12d 6303 . . 3  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( J  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) )  tX  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X
) ) ) ) )
1211oveq1d 6300 . 2  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( ( J  tX  J )  Cn  K )  =  ( ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( D  |`  ( X  X.  X ) ) ) )  Cn  K ) )
137, 12eleqtrrd 2558 1  |-  ( M  e.  MetSp  ->  ( D  |`  ( X  X.  X
) )  e.  ( ( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   (,)cioo 11530   Basecbs 14493   distcds 14567   TopOpenctopn 14680   topGenctg 14696   Metcme 18215   MetOpencmopn 18219    Cn ccn 19531    tX ctx 19888   MetSpcmt 20648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6903  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-ec 7314  df-map 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7831  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ioc 11535  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-hom 14582  df-cco 14583  df-rest 14681  df-topn 14682  df-0g 14700  df-gsum 14701  df-topgen 14702  df-pt 14703  df-prds 14706  df-ordt 14759  df-xrs 14760  df-qtop 14765  df-imas 14766  df-xps 14768  df-mre 14844  df-mrc 14845  df-acs 14847  df-ps 15690  df-tsr 15691  df-mnd 15735  df-submnd 15790  df-mulg 15874  df-cntz 16169  df-cmn 16615  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-topsp 19210  df-cn 19534  df-cnp 19535  df-tx 19890  df-hmeo 20083  df-xms 20650  df-ms 20651  df-tms 20652
This theorem is referenced by:  cnmpt1ds  21174  cnmpt2ds  21175
  Copyright terms: Public domain W3C validator