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Theorem mrsubvrs 30160
 Description: The set of variables in a substitution is the union, indexed by the variables in the original expression, of the variables in the substitution to that variable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubco.s mRSubst
mrsubvrs.v mVR
mrsubvrs.r mREx
Assertion
Ref Expression
mrsubvrs
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem mrsubvrs
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3736 . . . . . 6
2 mrsubco.s . . . . . . . . 9 mRSubst
3 fvprc 5859 . . . . . . . . 9 mRSubst
42, 3syl5eq 2497 . . . . . . . 8
54rneqd 5062 . . . . . . 7
6 rn0 5086 . . . . . . 7
75, 6syl6eq 2501 . . . . . 6
81, 7nsyl2 131 . . . . 5
9 eqid 2451 . . . . . 6 mCN mCN
10 mrsubvrs.v . . . . . 6 mVR
11 mrsubvrs.r . . . . . 6 mREx
129, 10, 11mrexval 30139 . . . . 5 Word mCN
138, 12syl 17 . . . 4 Word mCN
1413eleq2d 2514 . . 3 Word mCN
15 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
1615rneqd 5062 . . . . . . . 8
1716ineq1d 3633 . . . . . . 7
18 rneq 5060 . . . . . . . . . . . 12
1918, 6syl6eq 2501 . . . . . . . . . . 11
2019ineq1d 3633 . . . . . . . . . 10
21 incom 3625 . . . . . . . . . . 11
22 in0 3760 . . . . . . . . . . 11
2321, 22eqtri 2473 . . . . . . . . . 10
2420, 23syl6eq 2501 . . . . . . . . 9
2524iuneq1d 4303 . . . . . . . 8
26 0iun 4335 . . . . . . . 8
2725, 26syl6eq 2501 . . . . . . 7
2817, 27eqeq12d 2466 . . . . . 6
2928imbi2d 318 . . . . 5
30 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
3130rneqd 5062 . . . . . . . 8
3231ineq1d 3633 . . . . . . 7
33 rneq 5060 . . . . . . . . 9
3433ineq1d 3633 . . . . . . . 8
3534iuneq1d 4303 . . . . . . 7
3632, 35eqeq12d 2466 . . . . . 6
3736imbi2d 318 . . . . 5
38 fveq2 5865 . . . . . . . . 9 ++ ++
3938rneqd 5062 . . . . . . . 8 ++ ++
4039ineq1d 3633 . . . . . . 7 ++ ++
41 rneq 5060 . . . . . . . . 9 ++ ++
4241ineq1d 3633 . . . . . . . 8 ++ ++
4342iuneq1d 4303 . . . . . . 7 ++ ++
4440, 43eqeq12d 2466 . . . . . 6 ++ ++ ++
4544imbi2d 318 . . . . 5 ++ ++ ++
46 fveq2 5865 . . . . . . . . 9
4746rneqd 5062 . . . . . . . 8
4847ineq1d 3633 . . . . . . 7
49 rneq 5060 . . . . . . . . 9
5049ineq1d 3633 . . . . . . . 8
5150iuneq1d 4303 . . . . . . 7
5248, 51eqeq12d 2466 . . . . . 6
5352imbi2d 318 . . . . 5
542mrsub0 30154 . . . . . . . . 9
5554rneqd 5062 . . . . . . . 8
5655, 6syl6eq 2501 . . . . . . 7
5756ineq1d 3633 . . . . . 6
5857, 23syl6eq 2501 . . . . 5
59 uneq1 3581 . . . . . . . 8
60 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN
61 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN Word mCN
6213adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN Word mCN
6361, 62eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN
64 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word mCN mCN mCN
6564s1cld 12742 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN Word mCN
6665, 62eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN
672, 11mrsubccat 30156 . . . . . . . . . . . . . 14 ++ ++
6860, 63, 66, 67syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13 Word mCN mCN ++ ++
6968rneqd 5062 . . . . . . . . . . . 12 Word mCN mCN ++ ++
702, 11mrsubf 30155 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN
7271, 63ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN
7372, 62eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13 Word mCN mCN Word mCN
7471, 66ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN
7574, 62eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . 13 Word mCN mCN Word mCN
76 ccatrn 12733 . . . . . . . . . . . . 13 Word mCN Word mCN ++
7773, 75, 76syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12 Word mCN mCN ++
7869, 77eqtrd 2485 . . . . . . . . . . 11 Word mCN mCN ++
7978ineq1d 3633 . . . . . . . . . 10 Word mCN mCN ++
80 indir 3691 . . . . . . . . . 10
8179, 80syl6eq 2501 . . . . . . . . 9 Word mCN mCN ++
82 ccatrn 12733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word mCN Word mCN ++
8361, 65, 82syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN ++
84 s1rn 12738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mCN
8584ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word mCN mCN
8685uneq2d 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN
8783, 86eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN ++
8887ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . 13 Word mCN mCN ++
89 indir 3691 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12 Word mCN mCN ++
9190iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . 11 Word mCN mCN ++
92 iunxun 4363 . . . . . . . . . . 11
9391, 92syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10 Word mCN mCN ++
94 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word mCN mCN
9594snssd 4117 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN
96 df-ss 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15
9795, 96sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN
9897iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . 13 Word mCN mCN
99 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14
100 s1eq 12739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102101rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . 15
103102ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . . 14
10499, 103iunxsn 4361 . . . . . . . . . . . . 13
10598, 104syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . 12 Word mCN mCN
106 incom 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15
107 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word mCN mCN
108 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16
109107, 108sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN
110106, 109syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN
111110iuneq1d 4303 . . . . . . . . . . . . 13 Word mCN mCN
11260adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word mCN mCN
113 eldif 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 mCN mCN
114113biimpri 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 mCN mCN
11564, 114sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Word mCN mCN mCN
116 difun2 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 mCN mCN
117115, 116syl6eleq 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word mCN mCN mCN
1182, 11, 10, 9mrsubcn 30157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mCN
119112, 117, 118syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word mCN mCN
120119rneqd 5062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word mCN mCN
12185adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word mCN mCN
122120, 121eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word mCN mCN
123122ineq1d 3633 . . . . . . . . . . . . . 14 Word mCN mCN
124123, 110eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . 13 Word mCN mCN
12526, 111, 1243eqtr4a 2511 . . . . . . . . . . . 12 Word mCN mCN
126105, 125pm2.61dan 800 . . . . . . . . . . 11 Word mCN mCN
127126uneq2d 3588 . . . . . . . . . 10 Word mCN mCN
12893, 127eqtrd 2485 . . . . . . . . 9 Word mCN mCN ++
12981, 128eqeq12d 2466 . . . . . . . 8 Word mCN mCN ++ ++
13059, 129syl5ibr 225 . . . . . . 7 Word mCN mCN ++ ++
131130expcom 437 . . . . . 6 Word mCN mCN ++ ++
132131a2d 29 . . . . 5 Word mCN mCN ++ ++
13329, 37, 45, 53, 58, 132wrdind 12833 . . . 4 Word mCN
134133com12 32 . . 3 Word mCN
13514, 134sylbid 219 . 2
136135imp 431 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045   cdif 3401   cun 3402   cin 3403   wss 3404  c0 3731  csn 3968  ciun 4278   crn 4835  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  Word cword 12656   ++ cconcat 12658  cs1 12659  mCNcmcn 30098  mVRcmvar 30099  mRExcmrex 30104  mRSubstcmrsub 30108 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-word 12664  df-lsw 12665  df-concat 12666  df-s1 12667  df-substr 12668  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-frmd 16633  df-mrex 30124  df-mrsub 30128 This theorem is referenced by:  msubvrs  30198
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