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Theorem mrsubrn 29070
Description: Although it is defined for partial mappings of variables, every partial substitution is a substitution on some complete mapping of the variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mrsubvr.r  |-  R  =  (mREx `  T )
mrsubvr.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
Assertion
Ref Expression
mrsubrn  |-  ran  S  =  ( S "
( R  ^m  V
) )

Proof of Theorem mrsubrn
Dummy variables  e 
f  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . . . . 7  |-  V  =  (mVR `  T )
2 mrsubvr.r . . . . . . 7  |-  R  =  (mREx `  T )
3 mrsubvr.s . . . . . . 7  |-  S  =  (mRSubst `  T )
41, 2, 3mrsubff 29069 . . . . . 6  |-  ( T  e.  _V  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
5 ffn 5737 . . . . . 6  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R )  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V
) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V
) )
7 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  dom  f  <->  v  e.  dom  f ) )
8 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
f `  x )  =  ( f `  v ) )
9 s1eq 12621 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  <" x ">  =  <" v "> )
107, 8, 9ifbieq12d 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )  =  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )
11 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
)  =  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
)
12 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 v )  e. 
_V
13 s1cli 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <" v ">  e. Word  _V
1413elexi 3119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <" v ">  e.  _V
1512, 14ifex 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  e.  _V
1610, 11, 15fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) `  v )  =  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)
1716adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R 
^pm  V ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v )  =  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )
1817ifeq1da 3974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  V ,  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) ,  <" v "> )
)
19 ifan 3990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( v  e.  V  /\  v  e.  dom  f ) ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  V ,  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) ,  <" v "> )
2018, 19syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( ( v  e.  V  /\  v  e. 
dom  f ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )
21 elpmi 7456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  ( R  ^pm  V )  ->  ( f : dom  f --> R  /\  dom  f  C_  V ) )
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( f : dom  f
--> R  /\  dom  f  C_  V ) )
2322simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  dom  f  C_  V )
2423sseld 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( v  e.  dom  f  ->  v  e.  V
) )
2524pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( v  e.  dom  f 
<->  ( v  e.  V  /\  v  e.  dom  f ) ) )
2625bicomd 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( ( v  e.  V  /\  v  e. 
dom  f )  <->  v  e.  dom  f ) )
2726ifbid 3966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  if ( ( v  e.  V  /\  v  e. 
dom  f ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)
2820, 27eqtr2d 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )
2928mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  =  ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) `  v ) ,  <" v "> )
) )
3029coeq1d 5174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e )  =  ( ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  V , 
( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x
) ,  <" x "> ) ) `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) )
3130oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) )  =  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )
3231mpteq2dv 4544 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
33 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  (mCN `  T )  =  (mCN
`  T )
34 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  =  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )
3533, 1, 2, 3, 34mrsubfval 29065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : dom  f --> R  /\  dom  f  C_  V )  ->  ( S `  f )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
3622, 35syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  f
)  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
3722simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
f : dom  f --> R )
3837adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R 
^pm  V ) )  /\  x  e.  V
)  ->  f : dom  f --> R )
3938ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  R )
40 elun2 3668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  -.  x  e.  dom  f )  ->  x  e.  ( (mCN `  T )  u.  V ) )
4241s1cld 12624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  -.  x  e.  dom  f )  ->  <" x ">  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  V
) )
4333, 1, 2mrexval 29058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  _V  ->  R  = Word  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
4443ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  -.  x  e.  dom  f )  ->  R  = Word  (
(mCN `  T )  u.  V ) )
4542, 44eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  -.  x  e.  dom  f )  ->  <" x ">  e.  R )
4639, 45ifclda 3976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R 
^pm  V ) )  /\  x  e.  V
)  ->  if (
x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )  e.  R )
4746, 11fmptd 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) : V --> R )
48 ssid 3518 . . . . . . . . 9  |-  V  C_  V
4933, 1, 2, 3, 34mrsubfval 29065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) : V --> R  /\  V  C_  V )  ->  ( S `  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
5047, 48, 49sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  (
x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
5132, 36, 503eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  f
)  =  ( S `
 ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x
) ,  <" x "> ) ) ) )
526adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V ) )
53 mapsspm 7471 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  C_  ( R  ^pm  V )
5453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( R  ^m  V
)  C_  ( R  ^pm  V ) )
55 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  (mREx `  T )  e.  _V
562, 55eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10  |-  R  e. 
_V
57 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  (mVR `  T )  e.  _V
581, 57eqeltri 2541 . . . . . . . . . 10  |-  V  e. 
_V
5956, 58elmap 7466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
)  e.  ( R  ^m  V )  <->  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) : V --> R )
6047, 59sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) )  e.  ( R  ^m  V
) )
61 fnfvima 6151 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Fn  ( R 
^pm  V )  /\  ( R  ^m  V ) 
C_  ( R  ^pm  V )  /\  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
)  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( S `  ( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) )  e.  ( S "
( R  ^m  V
) ) )
6252, 54, 60, 61syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  (
x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) )  e.  ( S " ( R  ^m  V ) ) )
6351, 62eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  f
)  e.  ( S
" ( R  ^m  V ) ) )
6463ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  A. f  e.  ( R  ^pm  V
) ( S `  f )  e.  ( S " ( R  ^m  V ) ) )
65 ffnfv 6058 . . . . 5  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( S "
( R  ^m  V
) )  <->  ( S  Fn  ( R  ^pm  V
)  /\  A. f  e.  ( R  ^pm  V
) ( S `  f )  e.  ( S " ( R  ^m  V ) ) ) )
666, 64, 65sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( T  e.  _V  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( S "
( R  ^m  V
) ) )
67 frn 5743 . . . 4  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( S "
( R  ^m  V
) )  ->  ran  S 
C_  ( S "
( R  ^m  V
) ) )
6866, 67syl 16 . . 3  |-  ( T  e.  _V  ->  ran  S 
C_  ( S "
( R  ^m  V
) ) )
69 fvprc 5866 . . . . . . 7  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mRSubst `  T )  =  (/) )
703, 69syl5eq 2510 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  S  =  (/) )
7170rneqd 5240 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  ran  (/) )
72 rn0 5264 . . . . 5  |-  ran  (/)  =  (/)
7371, 72syl6eq 2514 . . . 4  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  (/) )
74 0ss 3823 . . . 4  |-  (/)  C_  ( S " ( R  ^m  V ) )
7573, 74syl6eqss 3549 . . 3  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  C_  ( S " ( R  ^m  V
) ) )
7668, 75pm2.61i 164 . 2  |-  ran  S  C_  ( S " ( R  ^m  V ) )
77 imassrn 5358 . 2  |-  ( S
" ( R  ^m  V ) )  C_  ran  S
7876, 77eqssi 3515 1  |-  ran  S  =  ( S "
( R  ^m  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011    o. ccom 5012    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438    ^pm cpm 7439  Word cword 12538   <"cs1 12541    gsumg cgsu 14858  freeMndcfrmd 16142  mCNcmcn 29017  mVRcmvar 29018  mRExcmrex 29023  mRSubstcmrsub 29027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-frmd 16144  df-mrex 29043  df-mrsub 29047
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  29072  mrsub0  29073  mrsubccat  29075  mrsubcn  29076  msubrn  29086
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