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Theorem mrsubrn 30103
Description: Although it is defined for partial mappings of variables, every partial substitution is a substitution on some complete mapping of the variables. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mrsubvr.r  |-  R  =  (mREx `  T )
mrsubvr.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
Assertion
Ref Expression
mrsubrn  |-  ran  S  =  ( S "
( R  ^m  V
) )

Proof of Theorem mrsubrn
Dummy variables  e 
f  v  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubvr.v . . . . . . 7  |-  V  =  (mVR `  T )
2 mrsubvr.r . . . . . . 7  |-  R  =  (mREx `  T )
3 mrsubvr.s . . . . . . 7  |-  S  =  (mRSubst `  T )
41, 2, 3mrsubff 30102 . . . . . 6  |-  ( T  e.  _V  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
5 ffn 5689 . . . . . 6  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R )  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V
) )
64, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V
) )
7 eleq1 2494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
x  e.  dom  f  <->  v  e.  dom  f ) )
8 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  (
f `  x )  =  ( f `  v ) )
9 s1eq 12687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  v  ->  <" x ">  =  <" v "> )
107, 8, 9ifbieq12d 3881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  v  ->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )  =  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )
11 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
)  =  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
)
12 fvex 5835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f `
 v )  e. 
_V
13 s1cli 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <" v ">  e. Word  _V
1413elexi 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <" v ">  e.  _V
1512, 14ifex 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  e.  _V
1610, 11, 15fvmpt 5908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  e.  V  ->  (
( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) `  v )  =  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)
1716adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R 
^pm  V ) )  /\  v  e.  V
)  ->  ( (
x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v )  =  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )
1817ifeq1da 3884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  V ,  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) ,  <" v "> )
)
19 ifan 3900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( v  e.  V  /\  v  e.  dom  f ) ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  V ,  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) ,  <" v "> )
2018, 19syl6eqr 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( ( v  e.  V  /\  v  e. 
dom  f ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )
21 elpmi 7445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  e.  ( R  ^pm  V )  ->  ( f : dom  f --> R  /\  dom  f  C_  V ) )
2221adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( f : dom  f
--> R  /\  dom  f  C_  V ) )
2322simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  dom  f  C_  V )
2423sseld 3406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( v  e.  dom  f  ->  v  e.  V
) )
2524pm4.71rd 639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( v  e.  dom  f 
<->  ( v  e.  V  /\  v  e.  dom  f ) ) )
2625bicomd 204 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( ( v  e.  V  /\  v  e. 
dom  f )  <->  v  e.  dom  f ) )
2726ifbid 3876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  if ( ( v  e.  V  /\  v  e. 
dom  f ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)
2820, 27eqtr2d 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )
2928mpteq2dv 4454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  =  ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V
)  |->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) `  v ) ,  <" v "> )
) )
3029coeq1d 4958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e )  =  ( ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  V , 
( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x
) ,  <" x "> ) ) `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) )
3130oveq2d 6265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) )  =  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )
3231mpteq2dv 4454 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
33 eqid 2428 . . . . . . . . . 10  |-  (mCN `  T )  =  (mCN
`  T )
34 eqid 2428 . . . . . . . . . 10  |-  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  =  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )
3533, 1, 2, 3, 34mrsubfval 30098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : dom  f --> R  /\  dom  f  C_  V )  ->  ( S `  f )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
3622, 35syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  f
)  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
3722simpld 460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
f : dom  f --> R )
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R 
^pm  V ) )  /\  x  e.  V
)  ->  f : dom  f --> R )
3938ffvelrnda 5981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  R )
40 elun2 3577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  V  ->  x  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
4140ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  -.  x  e.  dom  f )  ->  x  e.  ( (mCN `  T )  u.  V ) )
4241s1cld 12690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  -.  x  e.  dom  f )  ->  <" x ">  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  V
) )
4333, 1, 2mrexval 30091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  _V  ->  R  = Word  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
4443ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  -.  x  e.  dom  f )  ->  R  = Word  (
(mCN `  T )  u.  V ) )
4542, 44eleqtrrd 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( T  e. 
_V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  x  e.  V )  /\  -.  x  e.  dom  f )  ->  <" x ">  e.  R )
4639, 45ifclda 3886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R 
^pm  V ) )  /\  x  e.  V
)  ->  if (
x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )  e.  R )
4746, 11fmptd 6005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) : V --> R )
48 ssid 3426 . . . . . . . . 9  |-  V  C_  V
4933, 1, 2, 3, 34mrsubfval 30098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) : V --> R  /\  V  C_  V )  ->  ( S `  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
5047, 48, 49sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  (
x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  V ,  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
5132, 36, 503eqtr4d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  f
)  =  ( S `
 ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x
) ,  <" x "> ) ) ) )
526adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  ->  S  Fn  ( R  ^pm  V ) )
53 mapsspm 7460 . . . . . . . . 9  |-  ( R  ^m  V )  C_  ( R  ^pm  V )
5453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( R  ^m  V
)  C_  ( R  ^pm  V ) )
55 fvex 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  (mREx `  T )  e.  _V
562, 55eqeltri 2502 . . . . . . . . . 10  |-  R  e. 
_V
57 fvex 5835 . . . . . . . . . . 11  |-  (mVR `  T )  e.  _V
581, 57eqeltri 2502 . . . . . . . . . 10  |-  V  e. 
_V
5956, 58elmap 7455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
)  e.  ( R  ^m  V )  <->  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) : V --> R )
6047, 59sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) )  e.  ( R  ^m  V
) )
61 fnfvima 6102 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  Fn  ( R 
^pm  V )  /\  ( R  ^m  V ) 
C_  ( R  ^pm  V )  /\  ( x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
)  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  ( S `  ( x  e.  V  |->  if ( x  e. 
dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> ) ) )  e.  ( S "
( R  ^m  V
) ) )
6252, 54, 60, 61syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  (
x  e.  V  |->  if ( x  e.  dom  f ,  ( f `  x ) ,  <" x "> )
) )  e.  ( S " ( R  ^m  V ) ) )
6351, 62eqeltrd 2506 . . . . . 6  |-  ( ( T  e.  _V  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( S `  f
)  e.  ( S
" ( R  ^m  V ) ) )
6463ralrimiva 2779 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  A. f  e.  ( R  ^pm  V
) ( S `  f )  e.  ( S " ( R  ^m  V ) ) )
65 ffnfv 6008 . . . . 5  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( S "
( R  ^m  V
) )  <->  ( S  Fn  ( R  ^pm  V
)  /\  A. f  e.  ( R  ^pm  V
) ( S `  f )  e.  ( S " ( R  ^m  V ) ) ) )
666, 64, 65sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( T  e.  _V  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( S "
( R  ^m  V
) ) )
67 frn 5695 . . . 4  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( S "
( R  ^m  V
) )  ->  ran  S 
C_  ( S "
( R  ^m  V
) ) )
6866, 67syl 17 . . 3  |-  ( T  e.  _V  ->  ran  S 
C_  ( S "
( R  ^m  V
) ) )
69 fvprc 5819 . . . . . . 7  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mRSubst `  T )  =  (/) )
703, 69syl5eq 2474 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  S  =  (/) )
7170rneqd 5024 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  ran  (/) )
72 rn0 5048 . . . . 5  |-  ran  (/)  =  (/)
7371, 72syl6eq 2478 . . . 4  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  (/) )
74 0ss 3736 . . . 4  |-  (/)  C_  ( S " ( R  ^m  V ) )
7573, 74syl6eqss 3457 . . 3  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  C_  ( S " ( R  ^m  V
) ) )
7668, 75pm2.61i 167 . 2  |-  ran  S  C_  ( S " ( R  ^m  V ) )
77 imassrn 5141 . 2  |-  ( S
" ( R  ^m  V ) )  C_  ran  S
7876, 77eqssi 3423 1  |-  ran  S  =  ( S "
( R  ^m  V
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   _Vcvv 3022    u. cun 3377    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ifcif 3854    |-> cmpt 4425   dom cdm 4796   ran crn 4797   "cima 4799    o. ccom 4800    Fn wfn 5539   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    ^m cmap 7427    ^pm cpm 7428  Word cword 12604   <"cs1 12607    gsumg cgsu 15282  freeMndcfrmd 16574  mCNcmcn 30050  mVRcmvar 30051  mRExcmrex 30056  mRSubstcmrsub 30060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-card 8325  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-hash 12466  df-word 12612  df-concat 12614  df-s1 12615  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-frmd 16576  df-mrex 30076  df-mrsub 30080
This theorem is referenced by:  mrsubff1o  30105  mrsub0  30106  mrsubccat  30108  mrsubcn  30109  msubrn  30119
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