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Theorem mrsubfval 30154
Description: The substitution of some variables for expressions in a raw expression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubffval.c  |-  C  =  (mCN `  T )
mrsubffval.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mrsubffval.r  |-  R  =  (mREx `  T )
mrsubffval.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
mrsubffval.g  |-  G  =  (freeMnd `  ( C  u.  V ) )
Assertion
Ref Expression
mrsubfval  |-  ( ( F : A --> R  /\  A  C_  V )  -> 
( S `  F
)  =  ( e  e.  R  |->  ( G 
gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, e, A    C, e, v    e, F, v    R, e, v   
e, G    T, e,
v    e, V, v
Allowed substitution hints:    S( v, e)    G( v)

Proof of Theorem mrsubfval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubffval.c . . . . . 6  |-  C  =  (mCN `  T )
2 mrsubffval.v . . . . . 6  |-  V  =  (mVR `  T )
3 mrsubffval.r . . . . . 6  |-  R  =  (mREx `  T )
4 mrsubffval.s . . . . . 6  |-  S  =  (mRSubst `  T )
5 mrsubffval.g . . . . . 6  |-  G  =  (freeMnd `  ( C  u.  V ) )
61, 2, 3, 4, 5mrsubffval 30153 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  S  =  ( f  e.  ( R  ^pm  V
)  |->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) ) )
76adantr 466 . . . 4  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  S  =  ( f  e.  ( R 
^pm  V )  |->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) ) )
8 dmeq 5054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
9 fdm 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> R  ->  dom  F  =  A )
109ad2antrl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  dom  F  =  A )
118, 10sylan9eqr 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  A )
1211eleq2d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
v  e.  dom  f  <->  v  e.  A ) )
13 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
1413fveq1d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
f `  v )  =  ( F `  v ) )
1512, 14ifbieq1d 3934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  A ,  ( F `
 v ) , 
<" v "> ) )
1615mpteq2dv 4511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  =  ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A , 
( F `  v
) ,  <" v "> ) ) )
1716coeq1d 5015 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e )  =  ( ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  A ,  ( F `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  e
) )
1817oveq2d 6321 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  e ) )  =  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )
1918mpteq2dv 4511 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
20 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  (mREx `  T )  e.  _V
213, 20eqeltri 2503 . . . . . 6  |-  R  e. 
_V
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  R  e.  _V )
23 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  (mVR `  T )  e.  _V
242, 23eqeltri 2503 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  V  e.  _V )
26 simprl 762 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  F : A --> R )
27 simprr 764 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  A  C_  V
)
28 elpm2r 7500 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  _V )  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  ->  F  e.  ( R  ^pm  V
) )
2922, 25, 26, 27, 28syl22anc 1265 . . . 4  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  F  e.  ( R  ^pm  V )
)
3021mptex 6151 . . . . 5  |-  ( e  e.  R  |->  ( G 
gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) )  e.  _V )
327, 19, 29, 31fvmptd 5970 . . 3  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  ( S `  F )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
3332ex 435 . 2  |-  ( T  e.  _V  ->  (
( F : A --> R  /\  A  C_  V
)  ->  ( S `  F )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) ) )
34 0fv 5914 . . . 4  |-  ( (/) `  F )  =  (/)
35 fvprc 5875 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mRSubst `  T )  =  (/) )
364, 35syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  S  =  (/) )
3736fveq1d 5883 . . . 4  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( S `  F )  =  ( (/) `  F
) )
38 fvprc 5875 . . . . . . 7  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mREx `  T )  =  (/) )
393, 38syl5eq 2475 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  R  =  (/) )
4039mpteq1d 4505 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  =  ( e  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
41 mpt0 5723 . . . . 5  |-  ( e  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2479 . . . 4  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  =  (/) )
4334, 37, 423eqtr4a 2489 . . 3  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( S `  F )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
4443a1d 26 . 2  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( ( F : A --> R  /\  A  C_  V
)  ->  ( S `  F )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) ) )
4533, 44pm2.61i 167 1  |-  ( ( F : A --> R  /\  A  C_  V )  -> 
( S `  F
)  =  ( e  e.  R  |->  ( G 
gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911    |-> cmpt 4482   dom cdm 4853    o. ccom 4857   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^pm cpm 7484   <"cs1 12663    gsumg cgsu 15338  freeMndcfrmd 16630  mCNcmcn 30106  mVRcmvar 30107  mRExcmrex 30112  mRSubstcmrsub 30116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-pm 7486  df-mrsub 30136
This theorem is referenced by:  mrsubval  30155  mrsubrn  30159  elmrsubrn  30166
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