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Theorem mrsubfval 30218
Description: The substitution of some variables for expressions in a raw expression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubffval.c  |-  C  =  (mCN `  T )
mrsubffval.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mrsubffval.r  |-  R  =  (mREx `  T )
mrsubffval.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
mrsubffval.g  |-  G  =  (freeMnd `  ( C  u.  V ) )
Assertion
Ref Expression
mrsubfval  |-  ( ( F : A --> R  /\  A  C_  V )  -> 
( S `  F
)  =  ( e  e.  R  |->  ( G 
gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
Distinct variable groups:    v, e, A    C, e, v    e, F, v    R, e, v   
e, G    T, e,
v    e, V, v
Allowed substitution hints:    S( v, e)    G( v)

Proof of Theorem mrsubfval
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubffval.c . . . . . 6  |-  C  =  (mCN `  T )
2 mrsubffval.v . . . . . 6  |-  V  =  (mVR `  T )
3 mrsubffval.r . . . . . 6  |-  R  =  (mREx `  T )
4 mrsubffval.s . . . . . 6  |-  S  =  (mRSubst `  T )
5 mrsubffval.g . . . . . 6  |-  G  =  (freeMnd `  ( C  u.  V ) )
61, 2, 3, 4, 5mrsubffval 30217 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  S  =  ( f  e.  ( R  ^pm  V
)  |->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) ) )
76adantr 472 . . . 4  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  S  =  ( f  e.  ( R 
^pm  V )  |->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) ) )
8 dmeq 5040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
9 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> R  ->  dom  F  =  A )
109ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  dom  F  =  A )
118, 10sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  A )
1211eleq2d 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
v  e.  dom  f  <->  v  e.  A ) )
13 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  f  =  F )
1413fveq1d 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
f `  v )  =  ( F `  v ) )
1512, 14ifbieq1d 3895 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  =  if ( v  e.  A ,  ( F `
 v ) , 
<" v "> ) )
1615mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  =  ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A , 
( F `  v
) ,  <" v "> ) ) )
1716coeq1d 5001 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e )  =  ( ( v  e.  ( C  u.  V ) 
|->  if ( v  e.  A ,  ( F `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  e
) )
1817oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  e ) )  =  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )
1918mpteq2dv 4483 . . . 4  |-  ( ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  /\  f  =  F )  ->  (
e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
20 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  (mREx `  T )  e.  _V
213, 20eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  R  e. 
_V
2221a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  R  e.  _V )
23 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  (mVR `  T )  e.  _V
242, 23eqeltri 2545 . . . . . 6  |-  V  e. 
_V
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  V  e.  _V )
26 simprl 772 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  F : A --> R )
27 simprr 774 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  A  C_  V
)
28 elpm2r 7507 . . . . 5  |-  ( ( ( R  e.  _V  /\  V  e.  _V )  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V
) )  ->  F  e.  ( R  ^pm  V
) )
2922, 25, 26, 27, 28syl22anc 1293 . . . 4  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  F  e.  ( R  ^pm  V )
)
3021mptex 6152 . . . . 5  |-  ( e  e.  R  |->  ( G 
gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . 4  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) )  e.  _V )
327, 19, 29, 31fvmptd 5969 . . 3  |-  ( ( T  e.  _V  /\  ( F : A --> R  /\  A  C_  V ) )  ->  ( S `  F )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
3332ex 441 . 2  |-  ( T  e.  _V  ->  (
( F : A --> R  /\  A  C_  V
)  ->  ( S `  F )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) ) )
34 0fv 5912 . . . 4  |-  ( (/) `  F )  =  (/)
35 fvprc 5873 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mRSubst `  T )  =  (/) )
364, 35syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  S  =  (/) )
3736fveq1d 5881 . . . 4  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( S `  F )  =  ( (/) `  F
) )
38 fvprc 5873 . . . . . . 7  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mREx `  T )  =  (/) )
393, 38syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  R  =  (/) )
4039mpteq1d 4477 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  =  ( e  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
41 mpt0 5715 . . . . 5  |-  ( e  e.  (/)  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) )  =  (/)
4240, 41syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  =  (/) )
4334, 37, 423eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( S `  F )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V )  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
4443a1d 25 . 2  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ( ( F : A --> R  /\  A  C_  V
)  ->  ( S `  F )  =  ( e  e.  R  |->  ( G  gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) ) )
4533, 44pm2.61i 169 1  |-  ( ( F : A --> R  /\  A  C_  V )  -> 
( S `  F
)  =  ( e  e.  R  |->  ( G 
gsumg  ( ( v  e.  ( C  u.  V
)  |->  if ( v  e.  A ,  ( F `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   _Vcvv 3031    u. cun 3388    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^pm cpm 7491   <"cs1 12706    gsumg cgsu 15417  freeMndcfrmd 16709  mCNcmcn 30170  mVRcmvar 30171  mRExcmrex 30176  mRSubstcmrsub 30180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-pm 7493  df-mrsub 30200
This theorem is referenced by:  mrsubval  30219  mrsubrn  30223  elmrsubrn  30230
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