Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubfval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem mrsubfval 30218
 Description: The substitution of some variables for expressions in a raw expression. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubffval.c mCN
mrsubffval.v mVR
mrsubffval.r mREx
mrsubffval.s mRSubst
mrsubffval.g freeMnd
Assertion
Ref Expression
mrsubfval g
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem mrsubfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mrsubffval.c . . . . . 6 mCN
2 mrsubffval.v . . . . . 6 mVR
3 mrsubffval.r . . . . . 6 mREx
4 mrsubffval.s . . . . . 6 mRSubst
5 mrsubffval.g . . . . . 6 freeMnd
61, 2, 3, 4, 5mrsubffval 30217 . . . . 5 g
76adantr 472 . . . 4 g
8 dmeq 5040 . . . . . . . . . . 11
9 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12
109ad2antrl 742 . . . . . . . . . . 11
118, 10sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . 10
1211eleq2d 2534 . . . . . . . . 9
13 simpr 468 . . . . . . . . . 10
1413fveq1d 5881 . . . . . . . . 9
1512, 14ifbieq1d 3895 . . . . . . . 8
1615mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
1716coeq1d 5001 . . . . . 6
1817oveq2d 6324 . . . . 5 g g
1918mpteq2dv 4483 . . . 4 g g
20 fvex 5889 . . . . . . 7 mREx
213, 20eqeltri 2545 . . . . . 6
2221a1i 11 . . . . 5
23 fvex 5889 . . . . . . 7 mVR
242, 23eqeltri 2545 . . . . . 6
2524a1i 11 . . . . 5
26 simprl 772 . . . . 5
27 simprr 774 . . . . 5
28 elpm2r 7507 . . . . 5
2922, 25, 26, 27, 28syl22anc 1293 . . . 4
3021mptex 6152 . . . . 5 g
3130a1i 11 . . . 4 g
327, 19, 29, 31fvmptd 5969 . . 3 g
3332ex 441 . 2 g
34 0fv 5912 . . . 4
35 fvprc 5873 . . . . . 6 mRSubst
364, 35syl5eq 2517 . . . . 5
3736fveq1d 5881 . . . 4
38 fvprc 5873 . . . . . . 7 mREx
393, 38syl5eq 2517 . . . . . 6
4039mpteq1d 4477 . . . . 5 g g
41 mpt0 5715 . . . . 5 g
4240, 41syl6eq 2521 . . . 4 g
4334, 37, 423eqtr4a 2531 . . 3 g
4443a1d 25 . 2 g
4533, 44pm2.61i 169 1 g
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  cvv 3031   cun 3388   wss 3390  c0 3722  cif 3872   cmpt 4454   cdm 4839   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cpm 7491  cs1 12706   g cgsu 15417  freeMndcfrmd 16709  mCNcmcn 30170  mVRcmvar 30171  mRExcmrex 30176  mRSubstcmrsub 30180 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-pm 7493  df-mrsub 30200 This theorem is referenced by:  mrsubval  30219  mrsubrn  30223  elmrsubrn  30230
 Copyright terms: Public domain W3C validator