Theorem mrsubff 30150

Description: A substitution is a function from R to R. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubvr.v	|- V = (mVR ` T )
mrsubvr.r	|- R = (mREx ` T )
mrsubvr.s	|- S = (mRSubst ` T )

Assertion

Ref	Expression
mrsubff	|- ( T e. W -> S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )

Proof of Theorem mrsubff

Dummy variables e f v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5875	. . . . . . . . 9 |- (mCN ` T ) e. _V
2		mrsubvr.v	. . . . . . . . . 10 |- V = (mVR ` T )
3		fvex 5875	. . . . . . . . . 10 |- (mVR ` T ) e. _V
4	2, 3	eqeltri 2525	. . . . . . . . 9 |- V e. _V
5	1, 4	unex 6589	. . . . . . . 8 |- ( (mCN ` T ) u. V ) e. _V
6		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) = (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) )
7	6	frmdmnd 16643	. . . . . . . 8 |- ( ( (mCN ` T ) u. V ) e. _V -> (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) e. Mnd )
8	5, 7	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) e. Mnd )
9		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> e e. R )
10		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- (mCN ` T ) = (mCN ` T )
11		mrsubvr.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = (mREx ` T )
12	10, 2, 11	mrexval 30139	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. W -> R = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
13	12	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> R = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
14	9, 13	eleqtrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> e e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
15		elpmi 7490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( R ^pm V ) -> ( f : dom f --> R /\ dom f C_ V ) )
16	15	simpld 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( R ^pm V ) -> f : dom f --> R )
17	16	ad3antlr 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) -> f : dom f --> R )
18	17	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ v e. dom f ) -> ( f ` v ) e. R )
19	13	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ v e. dom f ) -> R = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
20	18, 19	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ v e. dom f ) -> ( f ` v ) e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
21		simplr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ -. v e. dom f ) -> v e. ( (mCN ` T ) u. V ) )
22	21	s1cld 12742	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) /\ -. v e. dom f ) -> <" v "> e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
23	20, 22	ifclda 3913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) /\ v e. ( (mCN ` T ) u. V ) ) -> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
24		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) = ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) )
25	23, 24	fmptd 6046	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) : ( (mCN ` T ) u. V ) -->Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
26		wrdco 12928	. . . . . . . 8 |- ( ( e e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) /\ ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) : ( (mCN ` T ) u. V ) -->Word ( (mCN ` T ) u. V ) ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
27	14, 25, 26	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
28		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) ) = ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) )
29	6, 28	frmdbas 16636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (mCN ` T ) u. V ) e. _V -> ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) ) = Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
30	5, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) ) = Word ( (mCN ` T ) u. V )
31	30	eqcomi 2460	. . . . . . . 8 |- Word ( (mCN ` T ) u. V ) = ( Base ` (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) )
32	31	gsumwcl 16624	. . . . . . 7 |- ( ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) e. Mnd /\ ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) e. Word Word ( (mCN ` T ) u. V ) ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
33	8, 27, 32	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) e. Word ( (mCN ` T ) u. V ) )
34	33, 13	eleqtrrd 2532	. . . . 5 |- ( ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) /\ e e. R ) -> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) e. R )
35		eqid 2451	. . . . 5 |- ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) = ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) )
36	34, 35	fmptd 6046	. . . 4 |- ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) : R --> R )
37		fvex 5875	. . . . . 6 |- (mREx ` T ) e. _V
38	11, 37	eqeltri 2525	. . . . 5 |- R e. _V
39	38, 38	elmap 7500	. . . 4 |- ( ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) e. ( R ^m R ) <-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) : R --> R )
40	36, 39	sylibr 216	. . 3 |- ( ( T e. W /\ f e. ( R ^pm V ) ) -> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) e. ( R ^m R ) )
41		eqid 2451	. . 3 |- ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) ) = ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) )
42	40, 41	fmptd 6046	. 2 |- ( T e. W -> ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
43		mrsubvr.s	. . . 4 |- S = (mRSubst ` T )
44	10, 2, 11, 43, 6	mrsubffval 30145	. . 3 |- ( T e. W -> S = ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) ) )
45	44	feq1d 5714	. 2 |- ( T e. W -> ( S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) <-> ( f e. ( R ^pm V ) |-> ( e e. R |-> ( (freeMnd ` ( (mCN ` T ) u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( (mCN ` T ) u. V ) |-> if ( v e. dom f , ( f ` v ) , <" v "> ) ) o. e ) ) ) ) : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) ) )
46	42, 45	mpbird 236	1 |- ( T e. W -> S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   u. cun 3402   C_ wss 3404   ifcif 3881   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ^m cmap 7472   ^pm cpm 7473  Word cword 12656   <"cs1 12659   Basecbs 15121   gsum_g cgsu 15339   Mndcmnd 16535  freeMndcfrmd 16631  mCNcmcn 30098  mVRcmvar 30099  mRExcmrex 30104  mRSubstcmrsub 30108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-frmd 16633  df-mrex 30124  df-mrsub 30128

This theorem is referenced by:  mrsubrn  30151  mrsubff1  30152  mrsub0  30154  mrsubf  30155  mrsubccat  30156  mrsubcn  30157  elmrsubrn  30158  elmsubrn  30166  msubrn  30167  msubff  30168  msubff1  30194