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Theorem mrsubff 30150
Description: A substitution is a function from  R to  R. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubvr.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mrsubvr.r  |-  R  =  (mREx `  T )
mrsubvr.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
Assertion
Ref Expression
mrsubff  |-  ( T  e.  W  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )

Proof of Theorem mrsubff
Dummy variables  e 
f  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  (mCN `  T )  e.  _V
2 mrsubvr.v . . . . . . . . . 10  |-  V  =  (mVR `  T )
3 fvex 5875 . . . . . . . . . 10  |-  (mVR `  T )  e.  _V
42, 3eqeltri 2525 . . . . . . . . 9  |-  V  e. 
_V
51, 4unex 6589 . . . . . . . 8  |-  ( (mCN
`  T )  u.  V )  e.  _V
6 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  =  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )
76frmdmnd 16643 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mCN `  T )  u.  V )  e.  _V  ->  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  e.  Mnd )
85, 7mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  e  e.  R
)  ->  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  e. 
Mnd )
9 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  e  e.  R
)  ->  e  e.  R )
10 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  (mCN `  T )  =  (mCN
`  T )
11 mrsubvr.r . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  (mREx `  T )
1210, 2, 11mrexval 30139 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  W  ->  R  = Word  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
1312ad2antrr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  e  e.  R
)  ->  R  = Word  ( (mCN `  T )  u.  V ) )
149, 13eleqtrd 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  e  e.  R
)  ->  e  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  V ) )
15 elpmi 7490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( R  ^pm  V )  ->  ( f : dom  f --> R  /\  dom  f  C_  V ) )
1615simpld 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( R  ^pm  V )  ->  f : dom  f --> R )
1716ad3antlr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V
) )  /\  e  e.  R )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  ->  f : dom  f --> R )
1817ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V
) )  /\  e  e.  R )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  /\  v  e. 
dom  f )  -> 
( f `  v
)  e.  R )
1913ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V
) )  /\  e  e.  R )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  /\  v  e. 
dom  f )  ->  R  = Word  ( (mCN `  T )  u.  V
) )
2018, 19eleqtrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V
) )  /\  e  e.  R )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  /\  v  e. 
dom  f )  -> 
( f `  v
)  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  V
) )
21 simplr 762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V
) )  /\  e  e.  R )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  /\  -.  v  e.  dom  f )  -> 
v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V ) )
2221s1cld 12742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V
) )  /\  e  e.  R )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  /\  -.  v  e.  dom  f )  ->  <" v ">  e. Word  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
2320, 22ifclda 3913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V
) )  /\  e  e.  R )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  ->  if (
v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )  e. Word  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
24 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V
)  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  =  ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)
2523, 24fmptd 6046 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  e  e.  R
)  ->  ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) ) : ( (mCN `  T
)  u.  V ) -->Word  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
26 wrdco 12928 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e. Word  ( (mCN
`  T )  u.  V )  /\  (
v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
) : ( (mCN
`  T )  u.  V ) -->Word  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  ->  (
( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e )  e. Word Word  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
2714, 25, 26syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  e  e.  R
)  ->  ( (
v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e )  e. Word Word  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )
28 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) ) )
296, 28frmdbas 16636 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (mCN `  T )  u.  V )  e.  _V  ->  ( Base `  (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) ) )  = Word  (
(mCN `  T )  u.  V ) )
305, 29ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) ) )  = Word  ( (mCN `  T
)  u.  V )
3130eqcomi 2460 . . . . . . . 8  |- Word  ( (mCN
`  T )  u.  V )  =  (
Base `  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) ) )
3231gsumwcl 16624 . . . . . . 7  |-  ( ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  e.  Mnd  /\  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e )  e. Word Word  ( (mCN
`  T )  u.  V ) )  -> 
( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) )  e. Word  ( (mCN
`  T )  u.  V ) )
338, 27, 32syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  e  e.  R
)  ->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) )  e. Word 
( (mCN `  T
)  u.  V ) )
3433, 13eleqtrrd 2532 . . . . 5  |-  ( ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  /\  e  e.  R
)  ->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) )  e.  R )
35 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  =  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) )
3634, 35fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) : R --> R )
37 fvex 5875 . . . . . 6  |-  (mREx `  T )  e.  _V
3811, 37eqeltri 2525 . . . . 5  |-  R  e. 
_V
3938, 38elmap 7500 . . . 4  |-  ( ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) )  e.  ( R  ^m  R )  <->  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) : R --> R )
4036, 39sylibr 216 . . 3  |-  ( ( T  e.  W  /\  f  e.  ( R  ^pm  V ) )  -> 
( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) )  e.  ( R  ^m  R ) )
41 eqid 2451 . . 3  |-  ( f  e.  ( R  ^pm  V )  |->  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )  =  ( f  e.  ( R  ^pm  V )  |->  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) )
4240, 41fmptd 6046 . 2  |-  ( T  e.  W  ->  (
f  e.  ( R 
^pm  V )  |->  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  V
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  V ) 
|->  if ( v  e. 
dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> ) )  o.  e ) ) ) ) : ( R 
^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
43 mrsubvr.s . . . 4  |-  S  =  (mRSubst `  T )
4410, 2, 11, 43, 6mrsubffval 30145 . . 3  |-  ( T  e.  W  ->  S  =  ( f  e.  ( R  ^pm  V
)  |->  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) ) )
4544feq1d 5714 . 2  |-  ( T  e.  W  ->  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R )  <->  ( f  e.  ( R  ^pm  V
)  |->  ( e  e.  R  |->  ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  V ) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  V )  |->  if ( v  e.  dom  f ,  ( f `  v ) ,  <" v "> )
)  o.  e ) ) ) ) : ( R  ^pm  V
) --> ( R  ^m  R ) ) )
4642, 45mpbird 236 1  |-  ( T  e.  W  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    u. cun 3402    C_ wss 3404   ifcif 3881    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834    o. ccom 4838   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    ^m cmap 7472    ^pm cpm 7473  Word cword 12656   <"cs1 12659   Basecbs 15121    gsumg cgsu 15339   Mndcmnd 16535  freeMndcfrmd 16631  mCNcmcn 30098  mVRcmvar 30099  mRExcmrex 30104  mRSubstcmrsub 30108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-hash 12516  df-word 12664  df-concat 12666  df-s1 12667  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-frmd 16633  df-mrex 30124  df-mrsub 30128
This theorem is referenced by:  mrsubrn  30151  mrsubff1  30152  mrsub0  30154  mrsubf  30155  mrsubccat  30156  mrsubcn  30157  elmrsubrn  30158  elmsubrn  30166  msubrn  30167  msubff  30168  msubff1  30194
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