Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mrsubcn Structured version   Unicode version

Theorem mrsubcn 30165
Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
mrsubccat.r  |-  R  =  (mREx `  T )
mrsubcn.v  |-  V  =  (mVR `  T )
mrsubcn.c  |-  C  =  (mCN `  T )
Assertion
Ref Expression
mrsubcn  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  X  e.  ( C  \  V ) )  ->  ( F `  <" X "> )  =  <" X "> )

Proof of Theorem mrsubcn
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3766 . . . . 5  |-  ( F  e.  ran  S  ->  -.  ran  S  =  (/) )
2 mrsubccat.s . . . . . . . 8  |-  S  =  (mRSubst `  T )
3 fvprc 5875 . . . . . . . 8  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mRSubst `  T )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2475 . . . . . . 7  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  S  =  (/) )
54rneqd 5081 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  ran  (/) )
6 rn0 5105 . . . . . 6  |-  ran  (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2479 . . . . 5  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  (/) )
81, 7nsyl2 130 . . . 4  |-  ( F  e.  ran  S  ->  T  e.  _V )
9 mrsubcn.v . . . . 5  |-  V  =  (mVR `  T )
10 mrsubccat.r . . . . 5  |-  R  =  (mREx `  T )
119, 10, 2mrsubff 30158 . . . 4  |-  ( T  e.  _V  ->  S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R ) )
12 ffun 5748 . . . 4  |-  ( S : ( R  ^pm  V ) --> ( R  ^m  R )  ->  Fun  S )
138, 11, 123syl 18 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  Fun  S )
149, 10, 2mrsubrn 30159 . . . . 5  |-  ran  S  =  ( S "
( R  ^m  V
) )
1514eleq2i 2499 . . . 4  |-  ( F  e.  ran  S  <->  F  e.  ( S " ( R  ^m  V ) ) )
1615biimpi 197 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  F  e.  ( S " ( R  ^m  V
) ) )
17 fvelima 5933 . . 3  |-  ( ( Fun  S  /\  F  e.  ( S " ( R  ^m  V ) ) )  ->  E. f  e.  ( R  ^m  V
) ( S `  f )  =  F )
1813, 16, 17syl2anc 665 . 2  |-  ( F  e.  ran  S  ->  E. f  e.  ( R  ^m  V ) ( S `  f )  =  F )
19 elmapi 7504 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( R  ^m  V )  ->  f : V --> R )
2019adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( C 
\  V )  /\  f  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
f : V --> R )
21 ssid 3483 . . . . . . 7  |-  V  C_  V
2221a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( C 
\  V )  /\  f  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  V  C_  V )
23 eldifi 3587 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( C  \  V )  ->  X  e.  C )
24 elun1 3633 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  C  ->  X  e.  ( C  u.  V
) )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( C  \  V )  ->  X  e.  ( C  u.  V
) )
2625adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( C 
\  V )  /\  f  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  X  e.  ( C  u.  V ) )
27 mrsubcn.c . . . . . . 7  |-  C  =  (mCN `  T )
2827, 9, 10, 2mrsubcv 30156 . . . . . 6  |-  ( ( f : V --> R  /\  V  C_  V  /\  X  e.  ( C  u.  V
) )  ->  (
( S `  f
) `  <" X "> )  =  if ( X  e.  V ,  ( f `  X ) ,  <" X "> )
)
2920, 22, 26, 28syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( C 
\  V )  /\  f  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( ( S `  f ) `  <" X "> )  =  if ( X  e.  V ,  ( f `
 X ) , 
<" X "> ) )
30 eldifn 3588 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  ( C  \  V )  ->  -.  X  e.  V )
3130adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( C 
\  V )  /\  f  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  -.  X  e.  V
)
3231iffalsed 3922 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( C 
\  V )  /\  f  e.  ( R  ^m  V ) )  ->  if ( X  e.  V ,  ( f `  X ) ,  <" X "> )  =  <" X "> )
3329, 32eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( C 
\  V )  /\  f  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( ( S `  f ) `  <" X "> )  =  <" X "> )
34 fveq1 5880 . . . . 5  |-  ( ( S `  f )  =  F  ->  (
( S `  f
) `  <" X "> )  =  ( F `  <" X "> ) )
3534eqeq1d 2424 . . . 4  |-  ( ( S `  f )  =  F  ->  (
( ( S `  f ) `  <" X "> )  =  <" X "> 
<->  ( F `  <" X "> )  =  <" X "> ) )
3633, 35syl5ibcom 223 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( C 
\  V )  /\  f  e.  ( R  ^m  V ) )  -> 
( ( S `  f )  =  F  ->  ( F `  <" X "> )  =  <" X "> ) )
3736rexlimdva 2914 . 2  |-  ( X  e.  ( C  \  V )  ->  ( E. f  e.  ( R  ^m  V ) ( S `  f )  =  F  ->  ( F `  <" X "> )  =  <" X "> )
)
3818, 37mpan9 471 1  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  X  e.  ( C  \  V ) )  ->  ( F `  <" X "> )  =  <" X "> )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2772   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    u. cun 3434    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   ran crn 4854   "cima 4856   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7483    ^pm cpm 7484   <"cs1 12663  mCNcmcn 30106  mVRcmvar 30107  mRExcmrex 30112  mRSubstcmrsub 30116
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-hash 12522  df-word 12668  df-concat 12670  df-s1 12671  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-0g 15339  df-gsum 15340  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-submnd 16582  df-frmd 16632  df-mrex 30132  df-mrsub 30136
This theorem is referenced by:  elmrsubrn  30166  mrsubco  30167  mrsubvrs  30168
  Copyright terms: Public domain W3C validator