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Theorem mrsubccat 29075
Description: Substitution distributes over concatenation. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mrsubccat.s  |-  S  =  (mRSubst `  T )
mrsubccat.r  |-  R  =  (mREx `  T )
Assertion
Ref Expression
mrsubccat  |-  ( ( F  e.  ran  S  /\  X  e.  R  /\  Y  e.  R
)  ->  ( F `  ( X ++  Y ) )  =  ( ( F `  X ) ++  ( F `  Y
) ) )

Proof of Theorem mrsubccat
Dummy variables  f 
v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3798 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ran  S  ->  -.  ran  S  =  (/) )
2 mrsubccat.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  (mRSubst `  T )
3 fvprc 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  (mRSubst `  T )  =  (/) )
42, 3syl5eq 2510 . . . . . . . 8  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  S  =  (/) )
54rneqd 5240 . . . . . . 7  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  ran  (/) )
6 rn0 5264 . . . . . . 7  |-  ran  (/)  =  (/)
75, 6syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( -.  T  e.  _V  ->  ran 
S  =  (/) )
81, 7nsyl2 127 . . . . 5  |-  ( F  e.  ran  S  ->  T  e.  _V )
9 eqid 2457 . . . . . 6  |-  (mVR `  T )  =  (mVR
`  T )
10 mrsubccat.r . . . . . 6  |-  R  =  (mREx `  T )
119, 10, 2mrsubff 29069 . . . . 5  |-  ( T  e.  _V  ->  S : ( R  ^pm  (mVR `  T ) ) --> ( R  ^m  R
) )
12 ffun 5739 . . . . 5  |-  ( S : ( R  ^pm  (mVR `  T ) ) --> ( R  ^m  R
)  ->  Fun  S )
138, 11, 123syl 20 . . . 4  |-  ( F  e.  ran  S  ->  Fun  S )
149, 10, 2mrsubrn 29070 . . . . . 6  |-  ran  S  =  ( S "
( R  ^m  (mVR `  T ) ) )
1514eleq2i 2535 . . . . 5  |-  ( F  e.  ran  S  <->  F  e.  ( S " ( R  ^m  (mVR `  T
) ) ) )
1615biimpi 194 . . . 4  |-  ( F  e.  ran  S  ->  F  e.  ( S " ( R  ^m  (mVR `  T ) ) ) )
17 fvelima 5925 . . . 4  |-  ( ( Fun  S  /\  F  e.  ( S " ( R  ^m  (mVR `  T
) ) ) )  ->  E. f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) ) ( S `  f )  =  F )
1813, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( F  e.  ran  S  ->  E. f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) ) ( S `
 f )  =  F )
19 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  X  e.  R )
20 elfvex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  (mREx `  T
)  ->  T  e.  _V )
2120, 10eleq2s 2565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  R  ->  T  e.  _V )
22 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (mCN `  T )  =  (mCN
`  T )
2322, 9, 10mrexval 29058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  _V  ->  R  = Word  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )
2419, 21, 233syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  R  = Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )
2519, 24eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  X  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )
26 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  Y  e.  R )
2726, 24eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  Y  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )
28 elmapi 7459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  ->  f : (mVR
`  T ) --> R )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  f :
(mVR `  T ) --> R )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R
) )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )  ->  f : (mVR
`  T ) --> R )
3130ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R
) )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )  /\  v  e.  (mVR
`  T ) )  ->  ( f `  v )  e.  R
)
3224ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R
) )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )  /\  v  e.  (mVR
`  T ) )  ->  R  = Word  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )
3331, 32eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R
) )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )  /\  v  e.  (mVR
`  T ) )  ->  ( f `  v )  e. Word  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )
34 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R
) )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )  /\  -.  v  e.  (mVR `  T )
)  ->  v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )
3534s1cld 12624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R
) )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )  /\  -.  v  e.  (mVR `  T )
)  ->  <" v ">  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) )
3633, 35ifclda 3976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R
) )  /\  v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )  ->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> )  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) )
37 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  =  ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )
3836, 37fmptd 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) ) : ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) -->Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )
39 ccatco 12813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  /\  Y  e. Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  /\  ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) ) : ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) -->Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )  ->  (
( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  ( X ++  Y ) )  =  ( ( ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  X ) ++  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  Y
) ) )
4025, 27, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( (
v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  ( X ++  Y ) )  =  ( ( ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  X ) ++  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  Y
) ) )
4140oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) ) 
gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  ( X ++  Y ) ) )  =  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) 
gsumg  ( ( ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  X ) ++  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  Y
) ) ) )
42 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mCN `  T )  e.  _V
43 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mVR `  T )  e.  _V
4442, 43unex 6597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  e.  _V
45 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )  =  (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )
4645frmdmnd 16154 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  e.  _V  ->  (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )  e.  Mnd )
4744, 46mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )  e.  Mnd )
48 wrdco 12809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e. Word  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  /\  ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) ) : ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) -->Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )  ->  (
( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  X
)  e. Word Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) )
4925, 38, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( (
v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  X
)  e. Word Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) )
50 wrdco 12809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e. Word  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  /\  ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) ) : ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) -->Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )  ->  (
( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  Y
)  e. Word Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) )
5127, 38, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( (
v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  Y
)  e. Word Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) )
52 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) )  =  ( Base `  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) )
5345, 52frmdbas 16147 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  e.  _V  ->  (
Base `  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) ) )  = Word  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) )
5444, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) )  = Word  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)
5554eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11  |- Word  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  =  ( Base `  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) )
56 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) )  =  ( +g  `  (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) )
5755, 56gsumccat 16136 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) )  e.  Mnd  /\  (
( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  X
)  e. Word Word  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) )  /\  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  Y )  e. Word Word  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
) )  ->  (
(freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) 
gsumg  ( ( ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  X ) ++  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  Y
) ) )  =  ( ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  X ) ) ( +g  `  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) ) ) ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) 
gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  Y ) ) ) )
5847, 49, 51, 57syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T
) )  /\  ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )
)  ->  ( (freeMnd `  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) ) ) 
gsumg  ( ( ( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  X ) ++  ( ( v  e.  ( (mCN
`  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  Y
) ) )  =  ( ( (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) )  gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  X ) ) ( +g  `  (freeMnd `  (
(mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
) ) ) ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) ) 
gsumg  ( ( v  e.  ( (mCN `  T
)  u.  (mVR `  T ) )  |->  if ( v  e.  (mVR
`  T ) ,  ( f `  v
) ,  <" v "> ) )  o.  Y ) ) ) )
5955gsumwcl 16135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (freeMnd `  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T ) ) )  e.  Mnd  /\  (
( v  e.  ( (mCN `  T )  u.  (mVR `  T )
)  |->  if ( v  e.  (mVR `  T
) ,  ( f `
 v ) , 
<" v "> ) )  o.  X
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( (mCN `  T
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( S `  f
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( ( S `  f ) `  ( X ++  Y ) )  =  ( ( ( S `
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 ( X ++  Y
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8584ex 434 . . . . 5  |-  ( f  e.  ( R  ^m  (mVR `  T ) )  ->  ( ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )  ->  (
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( ( X  e.  R  /\  Y  e.  R )  ->  ( F `  ( X ++  Y ) )  =  ( ( F `  X ) ++  ( F `  Y ) ) ) )
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   "cima 5011    o. ccom 5012   Fun wfun 5588   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438    ^pm cpm 7439  Word cword 12538   ++ cconcat 12540   <"cs1 12541   Basecbs 14644   +g cplusg 14712    gsumg cgsu 14858   Mndcmnd 16046  freeMndcfrmd 16142  mCNcmcn 29017  mVRcmvar 29018  mRExcmrex 29023  mRSubstcmrsub 29027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-hash 12409  df-word 12546  df-concat 12548  df-s1 12549  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-frmd 16144  df-mrex 29043  df-mrsub 29047
This theorem is referenced by:  elmrsubrn  29077  mrsubco  29078  mrsubvrs  29079
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